中考数学专项练习

代数

第一课时 实数的有关概念

考查题型：

以填空和选择题为主。如

一、考查题型：

1． －1的相反数的倒数是

2． 已知｜a+3|+b+1 ＝0，则实数（a+b）的相反数

3． 数－3．14与－Л的大小关系是

4． 和数轴上的点成一一对应关系的是

5． 和数轴上表示数－3的点A距离等于2．5的B所表示的数是

26． 在实数中Л,－3 ,－3．4 无理数有（ ） 5（A）1 个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

7．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ）

（A）非负数 （B）非正数 （C）负数 （D）正数

8．若x＜－3，则｜x＋3｜等于（ ）

（A）x＋3 （B）－x－3 （C）－x＋3 （D）x－3

9．下列说法正确是（ ）

（A） 有理数都是实数 （B）实数都是有理数

（B） 带根号的数都是无理数 （D）无理数都是开方开不尽的数

10．实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：

（1） c-b和d-a

（2） bc和ad

二、考点训练：

1．判断题：

（1）如果a为实数，那么－a一定是负数；（ ）

（2）对于任何实数a与b,|a－b|=|b－a|恒成立；（ ）

（3）两个无理数之和一定是无理数；（ ）

（4）两个无理数之积不一定是无理数；（ ）

（5）任何有理数都有倒数；（ ） （6）最小的负数是－1；（ ）

（7）a的相反数的绝对值是它本身；（ ）

（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则a－b=－1；（ ）

2．把下列各数分别填入相应的集合里

3－122Лº－|－3|，21．3，－1．234，sin60°,9 , , －8 , 782(2 －3 )，3，ctg45°,1.2121121112．．．．．．中

无理数集合｛ ｝ 负分数集合｛ ｝

整数集合 ｛ ｝ 非负数集合｛ ｝

3．已知1<x<2，则|x－(1-x) 等于（ ）

（A）－2x （B）2 （C）2x （D）－2

4．下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？

1－1－2 －1， 3， － 0．3， 3，2 ，3

互为相反数： 互为倒数： 互为负倒数： 0－2

代数

5．已知ｘ、ｙ是实数，且（X－2 ）和｜ｙ＋2｜互为相反数，求ｘ，y的值

|a+b|6．ａ,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2，求 +4m-3cd= 。 2m+1（ａ－3ｂ）＋｜ａ－4｜7 ＝0，求ａ＋ｂ= 。 a+2

三、解题指导：

1．下列语句正确的是（ ）

（A）无尽小数都是无理数 （B）无理数都是无尽小数

（C）带拫号的数都是无理数 （D）不带拫号的数一定不是无理数。

2．和数轴上的点一一对应的数是（ ）

（A）整数 （B）有理数 （C）无理数 （D）实数

3．零是（ ）

（A） 最小的有理数 （B）绝对值最小的实数

（C）最小的自然数 （D）最小的整数

24.如果a是实数，下列四种说法：（1）ａ和｜ａ｜都是正数，

1（2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，（3）ａ的倒数是 ，（4）ａ和－ａ的两个分别在a

原点的两侧，其中正确的是（ ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

5．比较下列各组数的大小：

（1） 343

452222211时,  ab|4-a|+a+b2a+3b6．若a,b满足 =0,则的值是 a+2a

7．实数a,b,c在数轴上的对应点如图，其中O是原点，且|a|=|c|

（1） 判定a+b, a+c, c-b的符号

（2） 化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b| 8．数轴上点A表示数－1，若AB＝3，则点B所表示的数为

9．已知x<0,y>0，且y<|x|，用"<"连结x，－x，－|y|，y。

10．最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？ 11．绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？

12．把下列语句译成式子：

（1）a是负数 ；（2）a、b两数异号 ；（3）a、b互为相反数 ；

（4） a、b互为倒数 ；(5)x与y的平方和是非负数 ；

（6）c、d两数中至少有一个为零 ；（7）a、b两数均不为0 。

13.2 3 5 的点。

四．独立训练：

31．0的相反数是 ，3－л的相反数是 ，－8 的相反数是 ；－л的绝对值是 ，0 的绝对值是 ，2 －3 的倒数是

2．数轴上表示－3．2的点它离开原点的距离是 。

11

A表示的数是－ ，且AB＝ ，则点B表示的数是 。 23

代数

223ºº－1 3 －3 ,л,(12 ),－ ,0．1313 ,2cos60, －3,1．101001000 7

(两1之间依次多一个0),中无理数有 ，整数有 ，负数有 。

4. 若a的相反数是27，则｜a|＝ ；5．若|a|2 ，则a=

25．若实数x，y满足等式（x＋3）＋｜4－y｜＝0，则x＋y的值是

6．实数可分为（ ）

（A）正数和零（B）有理数和无理数（C）负数和零 （D）正数和负数

7．若2a与1－a互为相反数，则a等于（ ）

11 （A）1 （B）－1 （C） （D） 23

8．当aa =－a在数轴上对应的点在（ ）

（C） 原点右侧（B）原点左侧（C）原点或原点的右侧（D）原点或原点左侧

ａｂａｂ＊9．代数式＋＋ 的所有可能的值有（ ） ｜ａ｜｜ｂ｜｜ａｂ｜

（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）无数个

10．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图

（1）比较a－b与a+b的大小

（2）化简|b－

a|+|a+b|

11．实数ａ、ｂ、ｃ在数轴上的对应点如图所示，其中｜ａ｜＝｜ｃ

｜

试化简：｜ｂ－ｃ｜－｜ｂ－ａ｜＋｜ａ－ｃ－2ｂ｜－｜ｃ－ａ｜

2212．已知等腰三角形一边长为ａ，一边长ｂ，且（2ａ－ｂ）＋｜9－ａ｜＝0 。求它的周

长。

＊13．若3，ｍ，5为三角形三边，化简：（2－ｍ） －（ｍ－8）

第二课 实数的运算

典型题型与习题

一、填空题：

1．我国数学家刘徽，是第一个找到计算圆周率π方法的人，他求出π的近似值是3.1416，如果取3.142是精确到 位，它有 个有效数字，分别是 。

1.5972精确到百分位的近似数是 ；我国的国土面积约为9600000平方干米，用

2 。

3．我国1990年的人口出生数为23784659人。保留三个有效数字的近似值是

人。

44．由四舍五入法得到的近似数3.10³10，它精确到 位。这个近似值的有效数字

是 。 22

代数

5．2的相反数与倒数的和的绝对值等于 。

2n+12n6．若n为自然数时(－1)+(－1)= .

232237．查表得2.13＝4.5，4.105＝69.18，则－21.3＝ 。（－0.0213）＝ ，0.4105

＝ ，－（－410.5）＝69.32,x＝6.932³10，则x＝4.44 ＝2.107 44.4 ＝＝ .

8.已知2a－b＝4, 2(b－2a)－3(b－2a)＋1＝

129．已知：｜x|＝4，y＝ 且x>0,y<0，则x－y＝ 。 49

二、选择题

1． 下列命题中：（1）几个有理数相乘，如果负因数个数是奇数，则积必为负；

（2）两数之积为1，那么这两数都是1或都是－1；（3）两个实数之和为正数，积为负数，则两数异号，且正数的绝对值大；（4）一个实数的偶次幂是正数，那么这个实数一定不等于零，其中错误的命题的个数是（ ）

（A）1 个 （B）2 个 （C）3个 （D）4个

2．近似数1.30所表示的准确数A的范围是（ ）

（A）1.25≤A＜1.35 （B）1.20＜A＜1.30

（C）1.295≤A＜1.305 （D）1.300≤A＜1.305

3．设a为实数，则|a+|a||运算的结果（ ）

（A） 可能是负数（B）不可能是负数（C）一定是负数（D）可能是正数。

4．已知|a|＝8，|b|＝2，|a－b|=b－a,则a+b的值是（ ）

（A） 10 （B）－6 （C）－6或－10 （D）－10

5．绝对值小于8的所有整数的和是( )

(A)0 (B)28 (C)－28 (D)以上都不是

6．由四舍五入法得到的近似数4.9万精确到( ) (A)万位 (B)千位 (C)十分位 (D)千分位

7． 计算下列各题：

122（1） 3÷(－3)+|－ ³(－49 ； 611213（2） ｛2 ）－ ³ －8 ÷｝³（－6）； 3236

14132（3）－0.25÷（－ ）＋（1＋2－3.75）³24； 228

23122 32（4）｛－3（ ）－2³0.125－（－1）÷ ｝÷｛2³（－ ）－1｝。 342

11211199521996（5）｛ ³（－2）－( )＋｝÷| 2²| . 22121－3

3

225

代数

1234(－2)³(－1)(-12) ÷{－(}2（6）20.25³4+{1－3³(－2)}

1－23－1－1020 （7）0.3－（－ ）＋4－3＋（π－3）＋tg306

2－1002²²（8）（ ）－（2001＋ｃtg30）＋（－2）²3

分式

考查题型:

1． 下列运算正确的是（ ）

10 -1m-n2m-n -1-1-1 （A）－4=1 (B) (－2)= －3)=9(D)(a+b)=a+b2

2．化简并求值：

xx-y2x+2°–2),其中x=cos30°,y=sin90 . (x-y)x+xy+yx-y

ａx-4x-ｙ1ｐ33ａｂｃ3． 、、、 、 、 ａ＋ｂ、 中分式有＿＿＿ 3x2ａЛ＋125

|x|-14．当x=-----------时， 分式 的值为零； (x-3)(x+1)

x-15．当x取---------------值时，分式2 有意义； x+2x-3

4AB6．已知2＝ ＋ 是恒等式，则A＝＿＿＿，B＝＿＿＿。 x－1x－1x＋1

x+2x-1x-47．化简(– x-2xx-4x+4x

x-3x-2x-3118．先化简后再求值：2 ÷2 ,其中x= x-1x+2x+1x+1 2 -1

ａａ－4ａｂ－5ａｂ9 ＝2，求322的值 ａ－ｂａ－6ａｂ＋5ａｂ

考点训练：

-31当x=----------- 时有意义，当x=-----------时值为正。 x-232222233311 +162-1

代数

12 中的取值范围是（ ） 11- 1-x（A）x≠1 （B）x≠-1 （C）x≠0 （D）x≠±1且x≠0

|x|-33，当x=-------------------时，分式2的值为零？ x+4x+12

4，化简

12a+7a+10a+1a+1（1）1－ 2÷ 2 (2) 2x+11-xa-a+1a+4a+4a+2

12-a-a(3) [a+(a- ) 2 ]÷(a-2)(a+1) 1-aa-a+1

a+b(4)。已知b(b－1)－a(2b－a)=－b+6，求 –ab的值 2

444＊(5).[(1+－4+ )–3]÷ (–1) x-2xx

12x＊(6). 已知x+5 ，求 42的值 xx-x+1

ａｂ2（ｂ－ａ）＊（7）若ａ＋ｂ＝1，求证：3 3 22ｂ－1ａ－1ａｂ＋3

解题指导,

a-11．当a=----- -时,分式 无意义,当a-=----- -时,这个分式的值为零. a-2a-3

2．写出下列各式中未知的分子或分母,

x-y(y-x)-2x( )(1) =25y( )1-2x2x-x

433．不改变分式的值,把分式 的分子,分母各项的系数化为整数,且最高次项的系数均12 -2b2

ａ－1为正整数,得-------------------------，分式 约分的结果为＿＿＿＿。 2－ａ－ａ＋2

3x4．把分式中的x,y都扩大两倍,那么分式的值( ) x+y

(A)扩大两倍 (B) 不变 (C) 缩小 (D) 缩小两倍

15x-1252的最简公分母为( ) 2x4(m-n)n-m

12222(A) 4(m－n)(n－m)x (B)2 (C)4x(m－n) (D)4(m－n)x 4x(m-n)222222223

代数

6．下列各式的变号中,正确的是

x-yy-xx-yy-x-x-1x-1-x-yx+y (A) = － ( B) =＝－ y-xx-yy-xy-x-y+1y+1y-xy-x

x+1y7．若x >y>0,－ 的结果是( ) y+1x

(A) 0 (B)正数 (C) 负数 (D) 以上情况都有可能

8．化简下列各式:

1a+16x+2xy+yx+y2(1) － 2 (2) (xy+y)÷2 a-36+2aa-9xyy

12a-a+11＊(3) [1－(a÷ 2²1-aa-2a+11-a

a1(4) 若2 –1)a=1 －的值 11+a1+a

x+3xy(5) 已知 x－5xy+6y=0 求 2的值 2y222222

独立训练

6-5x+xx-3x+5x+412 ÷ ² 2 x-164-x4-x

a+6a+1a+8＊2．当3 时，求分式2－ 432 的值 a-1a-1a+3a+2a

aa+1111ab＊3．化简 值, 的值 2。已知 + = 3aaba+bba1+a-1

12315．已知m－5m+1=o 求(1) m+的值 mm

x-y＊6。当x=1998,y=1999时， 求分式 3223 的值 x+xy+xy+y

a+2b3b-c2c-ac-2b7．已知 ,求 的值 5373a+2b

ａ－ａ－ａ＋1＊ 82 1－2｜ａ｜＋ａ32442322

代数

ｘ1ｘ＊（9 ＝求 的值。 ｘ＋ｘ＋14ｘ＋ｘ＋1

1111＊（10）设＋＋＝ ，求证：ａ、ｂ、ｃ三个数中必有两个数之和为零。 abｃａ＋b＋ｃ

数的开方与二次根式

考查题型

1．下列命题中，假命题是（ ）

（A）9的算术平方根是3 （B16的平方根是±2

（C）27的立方根是±3 （D）立方根等于－1的实数是－1

2．在二次根式45， 2x， 11， 325，4x中，最简二次根式个数是（ ） 4

（A） 1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

（2）下列各组二次根式中，同类二次根式是（ ）

11 （A6，2 （B）515 （C）12，321 （D）8，32 3

a+abab－b3. ，其中a＝2＋3，b＝23 ab+ba－ab

4．2＋1的倒数与23的相反数的和列式为 ，计算结果为

15．（－）2的算术平方根是 ，27的立方根是 ，4方根是 ，49 . 814 9

考点训练：

21．如果x＝a，已知x求a的运算叫做 ，其中a叫做x的 ；已知a求x的运算叫做 ，其中x叫做a的 。

2．(－2 )的平方根是 ，9的算术平方根是 ， 是－64的立方根。

3323．当a<0时，化简∣aa ＋a ＝ 。

4．若5.062 =2.249，50.62 =7.114，x =0.2249，则x等于（ ）

（A）5.062 （B）0.5062 （C）0.005062 （D）0.05062

5．设x是实数，则(2x＋3)(2x－5)＋16的算术平方根是（ ）

（A）2x－1 （B）1－2x （C）∣2x－1∣ （D）∣2x＋1∣

6．x为实数，当x取何值时，下列各根式才有意义：

（1）－3x－2 （ ）（2）x＋5 （ ）（3）

（4）1221（ ） x1（ ） （ ）（6）x ＋－x （ ） 1－x＋2 3 1－x

3－x3－x ＝成立的条件是（ ） x＋2 x＋2 7

代数

（A）－2<x≤3 （B）－2≤x≤3 （C）x>－2 （D）x≤3

8．计算及化简：

（1）(－2a（4）3b222 22 ) （2ab(c＋1) （3）7bbx44 （b>1） （5）aax－3y0.01³640.36³324xy－6xy＋9y（x>3y） x

2（6）(48 －3 18 )－(23 －32 )

2（7）已知方程4ｘ－2ａｘ＋2ａ－3＝0无实数根，

化简4ａ－12ａ＋9 ＋｜ａ－6｜

解题指导

1．下列命题：（1）任何数的平方根都有两个（2）如果一个数有立方根，那么它一定有平方根（3）算术平方根一定是正数（4）非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

33332．已知0.5 =0.794，5 =1.710，50 =3.684，则5000 等于（ ）

（A）7.94 （B）17.10 （C）36.84 （D）79.4

3．当1<x<2时，化简∣1－x∣＋4－4x＋x 的结果是（ ）

（A）－1 （B）2x－1 （C）1 （D）3－

2x

4．(x－2) ＋2－x )的值一定是（ ） （A）0 （B）4

－2x （C）2x－4 （D）4 5．比较大小：

（1）315（27 2 －1 （3）35 －33 ab－4ab＋4b（2b>a） a

1 311 75 ） 8522a6 a－2b7．计算：32 ＋0.5 －2

8．已知a＝3－23＋222 ，b＝ ，求a－5ab＋b的值。 3＋23－2

13³ 52262．化简： 332－39．计算：45 ÷3

11.设5+1122 的整数部分为ａ，小数部分为ｂ，求ａ＋ ａｂ＋ｂ的值。 25-1

独立训练

1．2 －3 的倒数是 2 －3 的绝对值是 。

2．8 的有理化因式是 x－y 的有理化因式是 。

113．与的关系是 。 x－x－1x－1＋x

4．三角形三边a＝50 ，b＝472 ，c＝298 ，则周长是 。

代数

5．直接写出答案：

（1）3 ²2 ÷30 ＝ ，（2）4xy，（3）3 －2)3 ＋2)= 。 2x88

6a －b 的相反数与a ＋b 互为倒数，那么（ ）

（A）a、b中必有一个为0 （B）∣a∣＝∣b∣（C）a＝b＋1 （D）b＝a＋1

7(2－x) ＋(x－3) ＝（x－2）＋（3－x），那么x的取值范围是（ ）

（A）x≥3 （B）x≤2 （C）x>3 （D）2≤x≤3

8．把（a－b）1－ 化成最简二次根式，正确的结果是（ ） a－b

13 4x 的结果必为（ ） x22（A）b－a （B）a－b （C）－b－a （Da－b 9．化简－3xx －

（A）正数 （B）负数 （C）零 （D）不能确定

10．计算及化简：

（1）（8 27121 ²54 ） （2）18 ＋ －32－110 －2 ＋1)2

a－ab（a>b） a－2ab+ab23xx231xyxxa（3）（ －（4） 2y5xy322ya－b

ｘ＋31x-3511. 求÷(－的值x－2)。 ｘ＋22x－4x－23+2+1

ｘ＋xy +y1ｘ- y+112.先化简,再求值:( x ＋y x - y x

其中x=2 - 3 ,y=2 + 3

213.设11－2 的整数部分为m，小数部分为n，求代数式m＋n的值。 n

14.试求函数ｔ＝2－3ｘ＋12ｘ－9 的最大值和最小值。

15.ｃ－1 －1｜＝ａ－2 ＋2ｂ＋1 －4，那么ａ＋2ｂ－3ｃ的值

整式方程

考查题型

2 1．方程x= x +1的根是（ ）

1±5 -1±5 x+1 ( B) x = (C) x = ± x+1 (D) x = 22

2 2．方程 2 x+ x = 0 的解为（ ）

111(A) x1 = 0 x 2= (B) x1 = 0 x 2= - 2 (C) x = - (D) x1 = 0 x 2 = - 222

3． p x– 3x + p– p= 0 是关于x的一元二次方程，则（ ）

（A） p=1 （B） p＞0 （C）p≠0 （D） p为任何实数

4．下列方程中，解为x = 2的是（ ）

（A）3x = x+3 （B）- x + 3 = 0 （C） 2 x = 6 (D) 5 x –2 = 8

225． 关于x的方程x- 3 m x + m – m = 0 的一个根为-1，那么m的值是（ ） 2 2 2

代数

6． 已知2 x – 3和1 + 4x 互为相反数，则x = 。

7．解下列方程：

111（1） X - [ x－ (x – 9)] = (x–9) 339

（2） x– 12 x = 3 (配方法) （3）y– 2 y= 5 y – 10

2 2（4）3x– 5 x – 2 = 0 (5) x – 6x + 1=0

考点训练：

21. 关于x的一元二次方程(2-m)x=m(3-x)-1的二次项系数是 ，一

次项系数是 ，常数项是 ，对的限制是 。

1-x2. 当x = ______ 时, x - 的值等于1。 3

3. 方程a x + b x + c = 0, 当a ≠ 0, b– 4 a c ≥ 0 时，其实根x =

4. X的20 % 减去15的差的一半等于2 ,用方程表示_______________

2 5. 将方程(2 X +1) (3 X – 2 ) = 3 (X– 2 ) 化成一元二次方程的一般形式得

_____________

1 6．若方程a - (7 – 5 x ) = 5 - x 的解是x = - ，则a = 2

22 22 32 2k-117．代数式 与代数式 的值相等时，k 的值为（ ） 34

（A） 7 （B） 8 （C） 9 （D） 10

12m-78．若 m + 1与 互为相反数，则m的值为（ ） 33

3434 （A）（B） （C）- （D）- 4343

9．方程 a x+ b x = 0 ( a ≠ 0 ) 的二根是( )

bbab (A) X1 = X2 = 0(B)X1 = 0 ,X2 1 = 0, X2 1 = , X2 = aaba

10．解下列方程：

2x-1x+0.12x+12(t-3)15t4t-28 (1) - – = 30.645106

(3) 2 x(5x – 2 )= x(7–5 x)+14 (4) 2 t–4 = 7 t

23 2 (5) 3(2x – 1) = 75 (6) x+ 8 x+ 15 x = 0

2 2 2 (7) (x– x )– 4 (2 x– 2 x – 3 ) = 0

解题指导

1．k = 时，2是关于x的方程3│k│- 2 x = 6 x + 4的解

2 2 2．方程4 x– 9 = 0的根是 ,方程 (x – a )= b (b > 0 ) 的根是

12 3．若x+ 3 x + 1 = 0 则 x + = x4．已知三角形的两边长分别是1和2，第三边的数值是方程2 x– 5 x +3 = 0的根，则

. 三角形的周长为

2 2 2 5．k为 时, 方程 (k– 3 k + 2 ) x+ (k+ 6 k – 7 ) x + 2 k + 1 = 0, 是

关于X的一元 二次方程; k为 时, 这个方程是关于X的一元一次方程.

2-xx-16 = 5的解是（ ） 342 2 2

代数

（A） 5 （B） - 5 （C） 7 （D）- 7

7．若关于x的方程2x – 4= 3m和x+2=m有相同的根，则m的值是（ ）

(A) 10 (B) – 8 (C) – 10 (D) 8

8．把下列各式配方

12222(1) X (2) X - X+25=(x - ) 2x229若2x – 3xy – 20y=0 y≠0 求 = . y 10． 解下列方程:

2 (1) (x – 1 ) ( x + 3 ) – 2 ( x + 3 )+ 3 ( x + 3 ) ( x – 3 ) = 0

32 2 2 (2) x–2x+1=0 (3)(3 x–2x +1)( 3x–2 x –7) +12 = 0

独立训练

1．已知实数a.b.c满足 a-3a+2 +│b+1│+(c + 3) = 0 求方程ax+bx+c=0的根

2．已知关于x的一元二次方程 (a x + 1 ) ( x – a ) = a – 2 的各项系数之和等于

3, 求这时方程的解

3．解方程

4x+14x-5222(1) (2x – 3) = (3x – 2) (2) = x+2 523

2 )x–(3 +2 )x+ =0 (4) 5m – 17m + 14=0

2 2 2 22 (5) (x+x+1)(x+x + 12)=42 (6) 2x+ (3a-b)x –2a+3ab- b=0

224．解关于x的方程x+x – 2+k(x+2x)=0 （对k要讨论）

分式方程与二次根式方程

考题类型

3xx－13x1．（1）用换元法解分式方程＋＝3时，设＝y，原方程变形为（ ） x－13xx－1

（A）y－3y＋1＝0（B）y＋3y＋1＝0（C）y＋3y－1＝0（D）y－y＋3＝0

2．用换元法解方程x＋8x＋x＋8x－11 ＝23，若设y＝x＋8x－11 ，则原方程可化为（ ）

2222（A）y＋y＋12＝0（B）y＋y－23＝0（C）y＋y－12＝0（D）y＋y－34=0

2xm＋1x＋13 －2 ＝ 产生增根，则m的值是（ ） x－1x＋xx

（A）－1或－2 （B）－1或2 （C）1或2 （D）1或－2

414－ ＝1时，需将方程两边都乘以同一个整式（各分母的最简公分母），约xx－1

去分母，所乘的这个整式为（ ）

（A）x－1 （B）x（x－1） （C）x （D）x＋1

5．先阅读下面解方程xx－2 ＝2的过程，然后填空.

解：（第一步）将方程整理为x－2＋x－2 ＝0；（第二步）设yx－2 ，原方程可化为2y＋y＝0；（第三步）解这个方程的 y1＝0，y2＝－1（第四步）当y＝0x－2 ＝0；解得 x＝2，当y＝－1x－2 ＝－1，方程无解；（第五步）所以x＝2是原方程的根以上解题过程中，第二步用的方法是＿＿＿，第四步中，x－2 ＝－1无解原根据是＿＿。上述解题过程不完整，缺少的一步是＿＿＿。

考点训练：

1． 给出下列六个方程：1）x－2x＋2＝0 2x－2 ＝1－x 3x－3 x－2 ＝0 4）2222222222 2222

代数

111xx＋1 ＋2＝0 5） ＋＝0 6） ＋1＝具中有实数解的方程有（ ） xx－1x－1x－1

（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）多于2个

2． 方程2x1－1＝ 的解是（ ） 2 x－4x＋2

（A）－1 （B）2或－1 （C）－2或3 （D）3

x－3m3． 当分母解x 的方程＝ 时产生增根，则m的值等于（ ） x－1x－1

（A）－2 （B）－1 （C）1. （D）2

4． 5．

6．

7． 2x－3 －x＋1 ＝0的解是＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 能使（x－5x－7 ＝0成立的x是＿＿＿＿＿＿。 关于xm(m－1)x＋3 ＝2x－15是根式方程，则m的取值范围是＿＿＿＿＿。 解下列方程： 212x＋1343xx－15 （12－ ＝（2）2＋＝ 2x－7x＋51－x 2x－5 x－13x 2

1712（3）x2－ （x－ ）＋1＝0 x2x

解题指导：

1．解下列方程：

2x－21（1）x＋2 ＝x （2）2＋ 2 x－9 x(x－3) x＋3x

62（3）x＋2x＋2＝x－8 ＝32 （4）3x＋2 （x＋1）

独立训练

11x(x＋1) ＝0的解是_______. 方程2x＋3 ＝－x的解是_______ x－1

＝4 的解是___________ . x＋2

xx22．设y＝ ____时，分式方程（ ）＋5（）＋6＝0可转化为__________. x－1 x－1

3．用换元法解方程2x－3x＋43x－2x＋5 ＋1＝0可设y ＝_________.从而把方程化为_____________.

4．下列方程有实数解的是（ ）

（A）x＋2 ＋5＝4 （B）3－x x－3 ＝0

2362（C）x－2x＋4＝0 （D）＋ 2 x＋1x－1 x－1

5．解下列方程.

1x＋2x＋411 (1) 2 （22 ＝＋1 x－2 x－4 x＋2x x＋2 xa－x4（b＋x）（3）＝5－ (a＋b≠0) （4）2－x ＋5－4x ＝2 b＋xa－x

11222 (5) 2x－4x－3x－2x－4 ＝10 （6）4（x＋2）－5（x－ ）－14＝0 xx22

代数

(7)3x +15x+2 3x +15x+1 =2

2

2

(8)

x+2 + x-1

x-1 5 = x+2 2

x m+1 x+1 - 2 = +1 产生增根，求 m 的值。 6.若关于 x 的方程 x x-2 x +2 m 为何值时，关于 x 的方程 2 mx 3 - 2 = 会产生增根。 x-2 x -4 x+2

x-1 8x+a x + =0 只有一个实数根。 7. 当 a 为何值时，方程 x 2x(x-1) x-1 x x+1 4x+a 方程 + = 只有一个实数根，求 a 的值 x+1 x x(x+1) 3 6 x+m 8.当 m 为何值时，方程 + = 0 有解 x x-1 x(x-1) 方程组 考题类型 1.方程组 A.4 2.方程组

6x 2 -5xy+y 2 =0 (1) 的解的个数( 2 y=x +6x+4 ( 2 ) B.3 C.2

) D.1

ax+by=4 x=2 的解是 ,则 a+b= bx+ay=5 y=1 y=mx+2 (1) 没有实数解，则实数 m 的取值范围是( y +4x+1=2y ( 2 ) 2

3.若方程组 A.m>1

)

B.m<-1

C.m<1 且 m≠0

D.m>-1 且 m≠0

4.阅读：解方程组

x 2 -3xy+2y 2 =0 (1) 2 2 x +y =10 ( 2 ) (第一步)

解：由①的(x-y)(x-2y)=0 则 x-y=0 或 x-2y=0 因此，原方程组化为两个方程组

x-y=0 x-2y=0 2 2 2 2 x +y =10 x +y =10

分别解这两个方程组，得原方程组的解为

x1 = 5 y1 = 5

x 2 =- 5 x 3 =2 2 x 4 =-2 2 y 2 =- 5 y3 = 2 y 4 =- 2

(第二步)

填空： 第一步中， 运用_______法将方程①化为两个二元一次方程,达到了_________的目的。 由第一步到第二步， 将原方程组化为两个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方 程组，体现了_________的数学思想，第二步中，两个方程组都运用了_______法达到了 ________的目的，从而使方程组得以求解。

x 2 - (2k+1)y - 4=0 (1) 5.已知方程组 y=x - 2 ( 2 )

代数

(1) 求证不论 k 为何值时此方程总一定有实数解。 (2) 设等腰△ABC 的三边长分别为 a、b、c,其中 c=4,且 两个解，求△ABC 的周长 6.解方程组 解题指导 1.若

x=a x=b , 是该方程的 y=a-2 y=b-2

x + 1+ y 1=5 x+y=13

x = 2 3x-by=7a+4 2 2001 是关于 x,y 的二元一次方程组 的解， 求 4a+b +(-a) 的值。 y=-1 ax+by=2-b2 y

2.已知(3x-y-4) + 4x+y-3 =0 求 x 的值。 2 5m+2n+2 3 3 6 3m-2n-1 3.若 x y 与 - xy 的和是单项式，求 m,n 的值。 5 4 4.在公式 s=v0t + 5.解下列方程

组 1 2 at 中,当 t=1 时 s=13;当 t=2 时 s=42,求 t=3 时 s 的值。 2

(1)

3 2x+y+z= - 2 4 x+2y+z = -2 x+y+2z = 3

(2)

x 2 +y 2 = 5 2 2 2x - 3xy-2y = 0

考点训练 1. 若

x = 1 ax+by=12 是方程组 的解，求 a,b 的值。 y=2 ay-bx= - 1m -1

2.已知方程 (m-2)x 若x =

+(n+3)y n -8 =5 是二元一次方程，求 m,n 的值。

2

1 时,求相应的 y 的值。 2

3.解方程组

x y x+ y 1 = (1) 7 6 2 5(x+y) - 2(x-y) - 1 = 0 4.方程组 独立训练 1.如果方程组

(2)

x+y=4 2 2 x - y = 8

2

kx-y-4=0

2 4x +9y +18y-18=0

中,k 为何值时此方程组只有一个实数解？

y 2 =2x y=x+b

有两个相等的实数解，那么 b=___,这时方程组解为_______.

代数

2. 方程组

(x+y)(x-y)=0 的解是______________________. (x+2y-1)(x-2y+1)=0

3.方程组

x + 1+ y 2=5 的解是_____________________ x+y=14 5x+my=1是 关 于 x,y 的 二 元 二 次 方 程 组 ，

4 . 当 m_______ 时 ， 方 程 组

2 2 mx+(m -1)y = - 4

当 m=0 时，这个方程组的解是________________。 5.已知方程 4x+5y=8,用含 x 的代数式表示 y 为____________________. 6.方程 x+2y=5 在自然数范围内的解是____________________. 7.已知关于 x,y 的方程组 8.解下列方程组：

x+y=5m 的解满足 2x-3y=9,则 m 的值是_________. x-y=9m

x 2 -4y 2 +x+3y-1=0 (1) 2x-y-1=0 x:y=3:2 (3) y:z=5:4 x+y+z=66 2x-y=5 (4) 2 y x - =1 x y

(2)

2v+t 3v-2t = =3 3 8

(5)

x 2 +y(y-2x)=9 (x+y)(x+y-3)=10

应用题 一、填空题 1.某商品标价为 165 元， 若降价以九折出售 (即优惠 10%) 仍可获利 10% , (相对于进货价) , 则该商品的进货价是 2.甲、乙二人投资合办一个企业，并协议按照投资额的比例分配所得利润，已知甲与乙投资 额的比例为 3:4,首年的利润为 38500 元，则甲、乙二人可获得利润分别为 元 元 和 3.某公司 1996 年出口创收 135 万美元，1997 年、1998 年每年都比上一年增加 a%,那么， 1998 年这个公司出口创汇 万美元 4.某城市现有 42 万人口，计划一年后城镇人口增加 0.8%,农村人口增加 1.1%,这样全市 人口将增加 1%, 求这个城市现有的城镇人口数与农村人口数， 若设城镇现有人口数为 x 万， 农村现有人口 y 万，则所列方程组为 5.在农业生产上，需要用含盐 16%的盐水来选种，现有含盐 24%的盐水 200 千克，需要加 水多少千克？ 解：设需要加水 x 千克根据题意，列方程为 ，解这个方程，得 答： . 6.某电视机厂 1994 年向国家上缴利税 400 万元，1996 年增加到 484 万元，则该厂两年上缴 的利税平均每年增长的百分率 7.某种商品的进货价每件为 x 元，

零售价为每件 900 元，为了适应市场竞争，商店按零售价 元 的九折降价并让利 40 元销售，仍可获利 10%(相对于进价) ,则 x=

代数

8.一个批发与零售兼营的文具店规定，凡是一次购买铅笔 301 支以上(包括 301 支) ,可以 按批发价付款；购买 300 支以下(包括 300 支)只能按零售价付款，现有学生小王来购买铅 2 笔，如果给学校初三年级学生每人买 1 支，则只能按零售价付款，需用(m -1)元(m 为正整 2 2 数，且 m -1>100) ;如果多买 60 支，则可以按批发价付款，同样需用(m -1)元. (1)设这个学校初三年级共有 x 名学生，则(a)x 的取值范围应为 (b)铅笔的零售价每支应为 元，批发价每支应为 元 (用含 x,m 的代数式表示) (2)若按批发价每购 15 支比按零售价每购 15 少付款 1 元，试求这个学校初三年级共有多少 名学生，并确定 m 的值。 二.列方程解应用题 1. 某商店运进 120 台空调准备销售，由于开展了促销活动，每天比原计划多售出 4 台，结 果提前 5 天完成销售任务，原计划每天销售多少台？ 2. 我省 1995 年初中毕业会考(中考)六科成绩合格的人数为 8 万人，1997 年上升到 9 万 人，求则两年平均增长的百分率(取 2 =1.41) 3. 甲、 乙两队完成某项工作， 甲单独完成比乙单独完成快 15 天， 如果甲单独先工作 10 天， 2 再由乙单独工作 15 天，就可完成这项工作的 ，求甲、乙两人单独完成这项工作各需多少 3 天？ 4. 某校校长暑期将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说： “如果校长买全 票一张，则其余学生可享受半价优待” ,乙旅行社说： “包括校长在内全部按全票价的 6 折优 惠(即按全票价的 60%收费) ,若全票为 240 元 (1)设学生数为 x,甲旅行社收费为 y 甲，乙旅行社收费为 y 乙，分别计算两家旅行社的收费 (建立表达式) (2)当学生数为多少时，两家旅行社的收费一样？ (3)就学生数 x 讨论哪家旅行社更优惠？ 5. 现有含盐 15%的盐水内 400 克，张老师要求将盐水质量分数变为 12%。某同学由于计 算失误，加进了 110 克的水，请你通过列方程计算说明这位同学加多了，并指出多加了多少 克的水？ 6. 甲步行上午 6 时从 A 地出发于下午 5 时到达 B 地，乙骑自行车上午 10 时从 A 地出发， 于下午 3 时到达 B 地，问乙在什么时间追上甲的？ 7. 中华中学为迎接香港回归，从 1994 年到 1997 年内师生共植树 1997 棵，已知该校 1994 年植树 342 棵，1995 年植树 500 棵，如果 1996 年和 1997 年植树棵数的年增长率相同，那 么该校 1997 年植树多少棵？ 2 8. 要建一个面积为 150m 的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一

条墙， 墙长为 am,另三边用竹篱笆围成，如图，如果篱笆的长为 35m, (1)求鸡场的长与宽各为多 少？(2)题中墙的长度 a 对题目的解起着怎样的作用？ F C B 9. 永盛电子有限公司向工商银行申请了甲乙两种款，共 A 计 68 万元，每年需付出利息 8.42 万元，甲种贷款每年的 利率是 12%,乙种贷款每年的利率是 13%,求这两种贷 E D 款的数额各是多少？ 10.小明将勤工俭学挣得的 100 元钱按一年期存入少儿银 行，到期后取出 50 元用来购买学习用品，剩下的 50 元和应得的利息又全部按一年期存入。 若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本金和利息共 66 元，求这种存款的年利率。 11.某公司向银行贷款 40 万元，用来生产某种新产品，已知该贷款的年利率为 15%(不计

代数

复利，即还贷前每年息不重复计息) ,每个新产品的成本是 2.3 元，售价是 4 元，应纳税款 为销售额的 10%。如果每年生产该种产品 20 万个，并把所得利润(利润=销售额-成本- 应纳税款)用来归还贷款，问需几年后能一次还清？ 12.某车间在规定时间内加工 130 个零件，加工了 40 个零件后，由于改进操作技术，每天比 原来计划多加工 10 个零件，结果总共用 5 天完成任务。求原计划每天加工多少个零件? 13.东西两车站相距 600 千米，甲车从西站、乙车从东站同时同速相向而行，相遇后，甲车 以原速，乙车以每小时比原速快 10 千米的速度继续行驶，结果，当乙车到达西站 1 小时后， 甲车也到达东站，求甲、乙两车相遇后的速度？ 14.一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用 10 小时。如 果单独开放甲管 10 小时后，加入乙管，需要 6 小时可把水池注满。问单独开放一个水管， 各需多少小时才能把水池注满？ 15.某商店 1995 年实现利税 40 万元(利税=销售金额-成本) ,1996 年由于在销售管理上 进行了一系列改革，销售金额增加到 154 万元，成本却下降到 90 万元， (1)这个商店利税 1996 年比 1995 年增长百分之几？ (2)若这个商店 1996 年比 1995 年销售金额增长的百分数和成本下降的百分数相同，求这 个商店销售金额 1996 年比 1995 年增长百分之几？ 16.甲、乙两辆汽车同时从 A 地出发，经 C 地去 B 地，已知 C 地离 B 地 180 千米，出发时甲 车每小时比乙车多行驶 5 千米。因此，乙车经过 C 地比甲车晚半小时，为赶上甲车，乙车从 C 地起将车速每小时增加 10 千米，结果两从同时到达 B 地，求(1)甲、乙两从出发时的速 度； (2)A、B 两地间的距离. 17.某项工程，甲、乙两人合作，8 天可以完成，需费用 3520 元；若甲单独做 6 天后，剩下 的工

程由乙独做，乙还需 12 天才能完成，这样需要费用 3480 元，问： (1)甲、乙两人单独 完成此项工程，各需多少天？ (2)甲、乙两人单独完成此项工程，各需费用多少元？ 18.某河的水流速度为每小时 2 千米，A、B 两地相距 36 千米，一动力橡皮船从 A 地出发， 逆流而上去 B 地，出航后 1 小时，机器发生故障，橡皮船随水向下漂移，30 分钟后机器修 复，继续向 B 地开去，但船速比修复前每小时慢了 1 千米，到达 B 地比预定时间迟了 54 分 钟，求橡皮船在静水中起初的速度. 不等式 考查题型 1.下列式子中是一元一次不等式的是( (A)-2>-5 (B)x >42

) (D) x –x< -1 2

(C)xy>0

2.下列说法正确的是( ) (A) 不等式两边都乘以同一个数，不等号的方向不变； (B) 不等式两边都乘以同一个不为零的数，不等号的方向不变； (C) 不等式两边都乘以同一个非负数，不等号的方向不变； (D) 不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变； 3.对不等式的两边进行变形，使不等号方向改变，可采取的变形方法是( (A)加上同一个负数 (B)乘以同一个小于零的数 (C)除以同一个不为零的数 (D) 乘以同一个非正数 4.在数轴上表示不等式组

)

x>-2 的解，其中正确的是( x ≤ 1

)

代数

5.下列不等式组中，无解的是( (A)

) (C)

2x+3<0 3x+2>0

(B)

3x+2<0 2x+3>0

3x+2>0 2x+3>0

(D)

2x+3<0 3x+2<0

6.若 a<b 则下列不等式中正确的是( ) (A)a-b>0 (B)a+b<0 (C)ac<bc 7.解下列不等式(组) x-3 3(x+1) (1)x- <2 + 8 2 (2)

(D)-a> -b

2x-1<x+1 2x+3 ≥ 5

考点训练： 1. 以知 a>b 用”>”或”<”连接下列各式； (1)a-3----

b-3,

(2)2a

-----

2b, (3)-

a 3

-----

b - 3

(4)4a-3

----

4b-3

(5)a-b

---

0

2. 判断题： (1) 若 1 1 a>b 则 < ( a b ) ) (2) 若 a>b 则|a|>|b| a b (4)若 2 > 2 则 a>b c c ( ( ) )

(3)若 ac >bc 则 a>b (

3.a,b 是已知数，当 a>0 时，不等式 ax+b<0 的解集为------------, 当 a<0 不等式 ax+b<0 的解 集为---------------x-2 7 1999 4.已知正整数 x 满足 <0 ,则代数式(x-2) - 的值是----------------. 3 x 3x-2 2(1+x) 5.解不等式 x- ≥ -1,将解集在数轴上表示出来，且写出它的正整数解 4 3

x+2 x+1 >2 16.解不等式组 2 3 x(x-1) <(x+3)(x-3) x 7. x 为何值时，代数式 -3(x+4)的值是： (1)非负数(2)不大于零 2 8.已知三角形三边长分别为 3, (1-2a) ,8,试求a的取值范围。 解题指导： 7x-1 3x-2 > ,并说明每一步的理由。 1. 解不等式 1- 8 4 2. 比较 x -4x-1 与 x -6x+3 的大小。 3. 已知不等式 5(x-2)+8 < 6(x-1)+7 的最小整数解为方程 2x-ax=3 的解，求代数

式 14 4a- 的值。 a2 2

3x-10 < 0 4. 求不等式组 16 的整数解 -1< 6x 3

代数

5. 已 知 方 程 组

x+y=3a+9 x-y=5a+1

的 解 为 正 数 ， 求 ( 1 ) a 的 取 值 范 围 。

(2)化简|4a+5|-|a-4| 2 2 *6.a、b为任意实数。解关于x的不等式a(x+b )>b(x+a ) 独立训练： 2 1.用不等式表示：x 的 与 5 的差小于 1 为________ 3 2. 不 等 式 5x - 17 ≤ 0 的 正 整 数 解 是-------------_

; 不 等 式 组

-4<x<3 x>-1

的解集是-------------x-2 1+3x 3.代数式 1的值不大于 的值，那么的取值范围是_____________. 2 3 4.不等式组

2x+3>5 的解集在数轴上的表示是( ) 3x-2<4

1 2 5.如果 0<x<1 则 ,x,x 这三个数的大小关系可表示为( ) x (A)x< 1 2 < x x (B)x <x <2

1 x

(C)

1 2 <x<x x

(D) x <x<

2

1 x

6.如果方程(a-2)x= -3 的解是正数，那么( ) (A)a>0 (B)a<0 (C)a<2 (D)a>2

6x-1 ≥ 3x-3 2 2 7. 已知不等式组 2 x + 1 x + 1 的整数解满足方程 3(x+a)-5a= -2, 求代数式 633(a + ) a 3 < 2 的值。 2x+1 8.解不等式-1≤ < 4 3 9.不等式

2x-3a<7b 组的解 5<x<22 是求 a,b 的值 6b-3x<5a1 2 5 11.解不等式- x -3x> 2 2

10.解不等式 3 <|2x+1| < 5

坐标系与函数 1.考查各象限内点的符号，有关试题常出选择题，如： 若点 P(a,b)在第四象限，则点 M(b-a,a-b)在( ) (A) 第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

代数

2.考查对称点的坐标， 有关试题在中考试卷中经常出现， 习题类型多为填空题或选择题， 如：点 P(-1,-3)关于 y 轴对称的点的坐标是( ) (A) (-1,3) (B) (1,3) (C) (3,-1) (D) (1,-3) 3.考查自变量的取值范围， 有关试题出现的频率很高， 重点考查的是含有二次根式的函数式 中自变量的取值范围，题型多为填空题，如：函数 y= 2x-3的自变量 x 的取值范围是 4.函数自变量的取值范围： 1 (1)函数 y= 中自变量 x 的取值范围是 x-1 (2)函数 y= x+2+ (3)函数 y= x-2 (2-x) -12

5-x中自变量 x 的取值范围是 中自变量 x 的取值范围是

5.已知点 P(a,b),a·b>0,a+b<0,则点 P 在( ) (A) 第一象限(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 1 6.在直角坐标系中，点 P(-1,- )关于 x 轴对称的点的坐标是( 2 1 1 1 1 (A) (-1,- ) (1,- ) (1, ) (-1, ) (B) (C) (D) 2 2 2 2 ) 7.已知点 P(x,y)的坐标满足方程|x+1|+ y-2 =0,则点 P 在( (A) 第一象限(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 考点训练： 1. A(x,y)是平面直角坐标系中的一点， xy<0, 点 若 则点 A 在 象限； x=0 则点 A 在 若 ； ; 若 xy>0,且 x=y,

则点 A 在 若 x<0,y≠0 则点 A 在 2.已知点 A(a,b), B(a,-b), 那么点 A,B 关于 对称，直线 AB 平行于 轴 3.点 P(-4,-7)到 x 轴的距离为 ，到 y 轴的距离为 ，到原点距离为 4.已知 P 是第二象限内坐标轴夹角平分线上一点，点 P 到原点距离为 4,那么点 P 坐标为 5、某音乐厅有 20 排座位，第一排有 18 个座位，后面每排比前一排多一个座位，每排座位 数 m 与这排的排数 n 的函数关系是 ，自变量 n 的取值范围是 6、求下列函数中自变量的取值范围： 1 (1)y=-x + x+5 ( 22

)

x --4 ) (2)y= ( x+2 -- 3x--1 ) (4)y= ( ∣x∣--2

2

) )

(3)y= 3

1 2x+1

(

x 3 3 2 7、下列函数中(1)y=x∣,(2)y=( x ) ,(3)y= ,(4)y= x ,(5)y= x 中与函数 y=x 相同 x2

2

的函数个数是( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 8、如图，四边形 EFGH 是△ABC 的内接正方形，BC=a, 试写出正方形的边长 y 的与△ABC 高 AD=x 的函数关系式。 9、正方形 ABCD,边长 AB=4,顶点 A 与原点重合，点 B 在第一象限且 OB 与x轴正方向成 30°,点 D 在第二象限，求正方形的四个顶点坐标。

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