2016年江苏省南京市建邺区中考数学一模试卷含答案解析

2016年江苏省南京市建邺区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列计算结果为负数的是（ ） A．﹣1+2B．|﹣1|C．

D．﹣2﹣1

2．计算a5?（﹣）2的结果是（ ）

A．﹣a3B．a3C．a7D．a10

3．若a＜2＜b，其中a、b为两个连续的整数，则ab的值为（ ） A．2B．5C．6D．12

4．如图是一几何体的三视图，这个几何体可能是（ ）

A．三棱柱B．三棱锥C．圆柱D．圆锥

5．如图，已知a∥b，∠1=115°，则∠2的度数是（ ）

A．45°B．55°C．65°D．85°

6．在学习“一次函数与二元一次方程”时，我们知道了两个一次函数图象的交点坐标与其相应的二元一次方程组的解之间的关系，请通过此经验推断：在同一平面直角坐标系中，函数y=5x2﹣3x+4与y=4x2﹣x+3的图象交点个数有（ ） A．0个B．1个C．2个D．无数个

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．若式子

在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．

8．若a﹣b=3，a+b=﹣2，则a2﹣b2= ． 9．2016年春节“黄金周”据统计，（2月7日至13日）期间，南京共接待游客4 880000人．将4880000用科学记数法表示为 ． 10．3， 若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：则△ABC与△A′B′C′的面积之比为 ．

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11．已知圆锥的底面半径是1cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为 cm2． 12．已知方程x2+mx﹣3=0的一个根是1，则它的另一个根是 ．

13．某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运会射击比赛．在选拔赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示． 甲 乙 丙 丁 9.7 9.5 9.5 9.7 平均数/环 5.1 4.7 4.5 4.5 方差/环2 请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是 ． 14．在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=点的坐标是（﹣2，3），则它们另一个交点的坐标是 ．

15．如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7= °．

的图象一个交

16．如图①，在等边△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，⊙O的圆心与点D重合，⊙O与线

⊙O恰与△ABC段CD交于点E，且CE=4cm．将⊙O沿DC方向向上平移1cm后，如图②，

的边AC、BC相切，则等边△ABC的边长为 cm．

三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．先化简，再求值：（﹣）÷

，其中a=

+1，b=

﹣1．

18．解不等式组并写出不等式组的整数解．

19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF=∠CDE， AE=CF．

（1）求证：△ABF≌△CDE；

（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？

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20．“低碳环保，你我同行”．近两年，南京市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直

线上，CD=30cm，DF=20cm，AF=25cm，FD⊥AE于点D，座杆CE=15cm，且∠EAB=75°．

（1）求AD的长；

（2）求点E到AB的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）

21．甲、乙两名同学从《奔跑吧兄弟》、《极限挑战》、《最强大脑》三个综艺节目中随机选择一个观看．

（1）甲同学观看《最强大脑》的概率是 ； （2）求甲、乙两名同学观看同一节目的概率．

22．“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，随着国际货币基金组织正式宣布人民币2016年10月1日加入SDR（特别提款权），以后出国看世界更加方便．为了解某区6000名初中生对“人民币加入SDR”知晓的情况，某校数学兴趣小组随机抽取区内部分初中生进行问卷调查，将问卷调查的结果划分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不了解”四个等级，并将调查结果整理分析，得到下列图表：

某区抽取学生对“人民币加入SDR”知晓情况频数分布表

（1）本次问卷调查抽取的学生共有 人，其中“不了解”的学生有 人；

（2）在扇形统计图中，学生对“人民币加入SDR”基本了解的区域的圆心角为 °；

（3）根据抽样的结果，估计该区6000名初中生对“人民币加入SDR”了解的有多少人（了解是指“非常了解”、“比较了解”和“基本了解”）？

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23．某商场将进货价为每只30元的台灯以每只40元售出，平均每月能售出600只．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只．当这种台灯的售价定为多少元时，每个月的利润恰为10 000元？

24．货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发2.4h后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶．设货车出发xh后，货车、轿车分别到达离甲地y1km和y2km的地方，图中的线段OA、折线BCDE分别表示y1、y2与x之间的函数关系． （1）求点D的坐标，并解释点D的实际意义； （2）求线段DE所在直线的函数表达式；

（3）当货车出发 h时，两车相距200km．

25．数学活动课上，小君在平面直角坐标系中对二次函数图象的平移进行了研究． 图①是二次函数y=（x﹣a）2+（a为常数）当a=﹣1、0、1、2时的图象．当a取不同值 时，其图象构成一个“抛物线簇”．小君发现这些二次函数图象的顶点竟然在同一条直线上！

（1）小君在图①中发现的“抛物线簇”的顶点所在直线的函数表达式为 ； （2）如图②，当a=0时，二次函数图象上有一点P（2，4）．将此二次函数图象沿着（1）中发现的直线平移，记二次函数图象的顶点O与点P的对应点分别为O1、P1．若点P1到x轴的距离为5，求平移后二次函数图象所对应的函数表达式．

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26．如图，直线AB交⊙O于C、D两点，CE是⊙O的直径，CF平分∠ACE交⊙O于点F，连接EF，过点F作FG∥ED交AB于点G． （1）求证：直线FG是⊙O的切线；

（2）若FG=4，⊙O的半径为5，求四边形FGDE的面积．

27．问题提出

平面上，若点P与A、B、C三点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点P是A、B、C三点的巧妙点．若A、B、C三点构成三角形，也称点P是△ABC的巧妙点． 初步思考

（1）如图①，在等边△ABC的内部和外部各作一个△ABC的巧妙点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）如图②，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，点D、E是△ABC的两个巧妙点，其

AE=AC，BD=BC=CE，AC于点M、N．DA2=DB?DE． 中AD=AB，连接DE，分别交AB、求证：

深入研究

（3）在△ABC中，AB=AC，若存在一点P，使PB=BA，PA=PC．点P可能为△ABC的巧妙点吗？若可能，请画出示意图，并直接写出∠BAC的度数；若不可能，请说明理由．

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2016年江苏省南京市建邺区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列计算结果为负数的是（ ） A．﹣1+2B．|﹣1|C．

D．﹣2﹣1

【考点】算术平方根；绝对值；有理数的加法；负整数指数幂． 【分析】先化简各项，再根据负数的定义，即可解答． 【解答】解：A、﹣1+2=1，故错误； B、|﹣1|=1，故错误； C、

=2，故错误；

D、﹣2﹣1=﹣，正确； 故选：D．

2．计算a5?（﹣）2的结果是（ ） A．﹣a3B．a3C．a7D．a10 【考点】分式的乘除法．

【分析】首先计算分式的乘方，然后再相乘即可． 【解答】解：原式=a5?

=a3，

故选：B．

3．若a＜2＜b，其中a、b为两个连续的整数，则ab的值为（ ） A．2B．5C．6D．12

【考点】估算无理数的大小．

【分析】依据平方数越大对应的算术平方根越大可求得a、b的值，最后依据有理数的乘法法则求解即可．

【解答】解：∵4＜8＜9，

∴2＜＜3，即2＜2＜3． ∴a=2，b=3． ∴ab=6． 故选：C．

4．如图是一几何体的三视图，这个几何体可能是（ ）

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A．三棱柱B．三棱锥C．圆柱D．圆锥 【考点】由三视图判断几何体．

【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．

【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱． 故选A．

5．如图，已知a∥b，∠1=115°，则∠2的度数是（ ）

A．45°B．55°C．65°D．85° 【考点】平行线的性质．

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠3，再根据对顶角相等解答． 【解答】解：如图，∵a∥b，∠1=115°， ∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣115°=65°， ∴∠3=∠2=65°． 故选C．

6．在学习“一次函数与二元一次方程”时，我们知道了两个一次函数图象的交点坐标与其相应的二元一次方程组的解之间的关系，请通过此经验推断：在同一平面直角坐标系中，函数y=5x2﹣3x+4与y=4x2﹣x+3的图象交点个数有（ ） A．0个B．1个C．2个D．无数个

【考点】二次函数的性质；一次函数与二元一次方程（组）．

【分析】由题意知函数y=5x2﹣3x+4与y=4x2﹣x+3的图象交点个数即方程组

的解的个数，即可判断．

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【解答】解：根据题意，函数y=5x2﹣3x+4与y=4x2﹣x+3的图象交点个数即方程组

的解的个数，

解方程组得：，

所以函数y=5x2﹣3x+4与y=4x2﹣x+3的图象交点只有一个交点（1，6）， 故选：B．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．若式子

在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．

【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0， 解得x≥2．

故答案为：x≥2．

8．若a﹣b=3，a+b=﹣2，则a2﹣b2= ﹣6 ． 【考点】因式分解-运用公式法．

【分析】直接利用平方差公式分解因式，进而将已知代入求出答案． 【解答】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）， ∴把a﹣b=3，a+b=﹣2代入得： 原式=3×（﹣2）=﹣6． 故答案为：﹣6．

9．2016年春节“黄金周”据统计，（2月7日至13日）期间，南京共接待游客4 880000人．将4880000用科学记数法表示为 4.88×106 ． 【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【解答】解：4880000=4.88×106， 故答案为：4.88×106

10．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为 1：9 ． 【考点】相似三角形的性质．

【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答． 【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3， ∴△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：9． 故答案为：1：9．

11．已知圆锥的底面半径是1cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为 3π cm2．

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【考点】圆锥的计算．

【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【解答】解：圆锥的侧面积=2π×3×1÷2=3π． 故答案为：3π．

12．已知方程x2+mx﹣3=0的一个根是1，则它的另一个根是 ﹣3 ． 【考点】根与系数的关系．

【分析】由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算．

【解答】解：设方程的另一根为x1， 根据根与系数的关系可得：x1?1=﹣3， 解得x1=﹣3． 故答案为：﹣3．

13．某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运会射击比赛．在选拔赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示． 甲 乙 丙 丁 9.7 9.5 9.5 9.7 平均数/环 5.1 4.7 4.5 4.5 方差/环2 请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是 丁 ． 【考点】方差．

【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【解答】解：∵S甲2=5.1，S乙2=4.7，S丙2=4.5，S丁2=4.5， ∴S甲2＞S乙2＞S2丁=S2丙， ∵丁的平均数大， ∴最合适的人选是丁． 故答案为：丁

14．在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=点的坐标是（﹣2，3），则它们另一个交点的坐标是 （2，﹣3） ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．

【解答】解：根据题意，直线y=k1x经过原点与双曲线y=又由于双曲线y=

与直线y=k1x均关于原点对称．

相交于两点，

的图象一个交

则两点关于原点对称，一个交点的坐标为（﹣2，3）， 则另一个交点的坐标为（2，﹣3）． 故答案为：（2，﹣3）．

15．A1A7， 如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、则∠A4A1A7= 54 °．

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【考点】正多边形和圆．

【分析】找出正十边形的圆心O，连接A7O，A4O，再由圆周角定理即可得出结论． 【解答】解：如图，连接A7O，A4O， ∵正十边形的各边都相等， ∴∠A7OA4=

×360°=108°，

∴∠A4A1A7=×108°=54°． 故答案为：54．

16．如图①，在等边△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，⊙O的圆心与点D重合，⊙O与线

⊙O恰与△ABC段CD交于点E，且CE=4cm．将⊙O沿DC方向向上平移1cm后，如图②，的边AC、BC相切，则等边△ABC的边长为

cm．

【考点】切线的性质；等边三角形的性质；平移的性质．

【分析】如图，设圆O与BC的切点为M，连接OM，根据切线的性质可以得到∠OMC=90°，而根据已知条件可以得到∠DCB=30°，设AB为2xcm，根据等边三角形得到CD=xcm，而CE=2cm，又将量角器沿DC方向平移1cm，由此得到半圆的半径为（x﹣4）cm，OC=（x﹣1）cm，然后在Rt△OCM中利用三角函数可以列出关于x的方程，解方程即可求解．

【解答】解：如图，设图②中圆O与BC的切点为M， 连接OM，

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则OM⊥MC， ∴∠OMC=90°，

依题意知道∠DCB=30°， 设AB为2xcm，

∵△ABC是等边三角形， ∴CD=xcm，

而CE=4cm，又将量角器沿DC方向平移1cm，

∴半圆的半径为（x﹣4）cm，OC=（x﹣1）cm， ∴sin∠DCB=

=，

∴=，

∴x=，

（cm），

∴等边△ABC的边长为=2x=2故答案为：

．

三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．先化简，再求值：（﹣）÷

，其中a=

+1，b=

﹣1．

【考点】分式的化简求值．

【分析】先算括号里面的，再算除法，分式化为最简后把a、b的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式=（=﹣当a=原式=﹣

． +1，b=

﹣1时，

=﹣

=﹣

．

）?

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18．解不等式组并写出不等式组的整数解．

【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式

，得x≥﹣1．

解不等式2x﹣3＜0，得x＜． 所以不等式组的解集是﹣1≤x＜．

故不等式组的整数解为﹣1、0、1．

19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF=∠CDE， AE=CF．

（1）求证：△ABF≌△CDE；

（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？

【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）由平行线的性质得出∠BAC=∠DCA．证出AF=CE．由AAS证明△ABF≌△CDE即可；

（2）先证明四边形ABCD是菱形，得出BD⊥AC，再证明四边形BFDE是平行四边形，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠DCA． ∵AE=CF，

∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE． 在△ABF和△CDE中，

，

又∵∠ABF=∠CDE，

∴△ABF≌△CDE（AAS）；

（2）解：当四边形ABCD满足AB=AD时，四边形BEDF是菱形．理由如下： 连接BD交AC于点O，如图所示： 由（1）得：△ABF≌△CDE，

∴AB=CD，BF=DE，∠AFB=∠CED，

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∴BF∥DE．

∵AB∥CD，AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵AB=AD，

∴平行四边形ABCD是菱形． ∴BD⊥AC．

∵BF=DE，BF∥DE，

∴四边形BEDF是平行四边形， ∴四边形BEDF是菱形．

20．“低碳环保，你我同行”．近两年，南京市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直

线上，CD=30cm，DF=20cm，AF=25cm，FD⊥AE于点D，座杆CE=15cm，且∠EAB=75°．

（1）求AD的长；

（2）求点E到AB的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）

【考点】解直角三角形的应用． 【分析】（1）根据勾股定理求出AD的长；

（2）作EH⊥AB于H，求出AE的长，根据正弦的概念求出点E到车架AB的距离． 【解答】解：（1）在Rt△ADF中，由勾股定理得， AD=

=

=15（cm；

（2）AE=AD+CD+EC=15+30+15=60（cm）， 如图②，过点E作EH⊥AB于H， 在Rt△AEH中，sin∠EAH=

，

则EH=AE?sin∠EAH=AB?sin75°≈60×0.97=58.2（cm）． 答：点E到AB的距离为58.2 cm．

第13页（共22页）

21．甲、乙两名同学从《奔跑吧兄弟》、《极限挑战》、《最强大脑》三个综艺节目中随机选择一个观看．

（1）甲同学观看《最强大脑》的概率是 ；

（2）求甲、乙两名同学观看同一节目的概率． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】（1）由甲、乙两名同学从《奔跑吧兄弟》、《极限挑战》、《最强大脑》三个综艺节目中随机选择一个观看，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与甲、乙两名同学观看同一节目的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）∵甲、乙两名同学从《奔跑吧兄弟》、《极限挑战》、《最强大脑》三个综艺节目中随机选择一个观看，

∴甲同学观看《最强大脑》的概率是：． 故答案为：；

（2）分别用A，B，C表示《奔跑吧兄弟》、《极限挑战》、《最强大脑》三个综艺节目，用表格列出所有可能出现的结果：

B C 甲 乙 A A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） ∵一共有9种可能的结果，它们是等可能的，其中符合要求的有3种． ∴P （甲、乙两名同学观看同一节目）==． 答：甲、乙两名同学观看同一节目的概率为：．

22．“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，随着国际货币基金组织正式宣布人民币2016年10月1日加入SDR（特别提款权），以后出国看世界更加方便．为了解某区6000名初中生对“人民币加入SDR”知晓的情况，某校数学兴趣小组随机抽取区内部分初中生进行问卷调查，将问卷调查的结果划分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不了解”四个等级，并将调查结果整理分析，得到下列图表：

某区抽取学生对“人民币加入SDR”知晓情况频数分布表

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（1）本次问卷调查抽取的学生共有 100 人，其中“不了解”的学生有 20 人；

（2）在扇形统计图中，学生对“人民币加入SDR”基本了解的区域的圆心角为 72 °； （3）根据抽样的结果，估计该区6000名初中生对“人民币加入SDR”了解的有多少人（了解是指“非常了解”、“比较了解”和“基本了解”）？

【考点】扇形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表． 【分析】（1）根据非常了解的有26人，所占的比例是26%，据此即可求得抽取的总人数，然后利用总人数减去其它组的人数即可求得“不了解”的学生数； （2）利用360°乘以对应的百分比即可求得； （3）利用总人数乘以对应的比例即可求得． 【解答】解：（1）调查抽取的总人数是26÷26%=100（人），不了解的人数是100﹣26﹣34﹣20=20（人）．

故答案是：100，20；

（2）基本了解的区域的圆心角是360°×

=72°，

故答案是：72；

（3）该区6000名初中生对“人民币加入SDR”了解的有：6 000×80%=4 800（人）． 答：估计该校6 000名初中生中对“人民币加入SDR”了解的有4 800人．

23．某商场将进货价为每只30元的台灯以每只40元售出，平均每月能售出600只．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只．当这种台灯的售价定为多少元时，每个月的利润恰为10 000元？ 【考点】一元二次方程的应用．

【分析】设这种台灯的售价为x元，根据一台的利润×总的台数=总的利润和这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只，列出方程，再求解即可． 【解答】解：设这种台灯的售价为x元，根据题意得： [600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）=10000，

第15页（共22页）

解得x1=50，x2=80，

答：当这种台灯的售价定为50或80元时，每个月的利润恰为10000元．

24．货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发2.4h后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶．设货车出发xh后，货车、轿车分别到达离甲地y1km和y2km的地方，图中的线段OA、折线BCDE分别表示y1、y2与x之间的函数关系． （1）求点D的坐标，并解释点D的实际意义； （2）求线段DE所在直线的函数表达式；

（3）当货车出发 2或5 h时，两车相距200km．

【考点】一次函数的应用． 【分析】（1）待定系数求出OA解析式，继而根据点D的纵坐标为300求得其横坐标，即可得答案； （2）根据休息前2.4小时行驶300km可得行驶后行驶300km也需要2.4h，即可得点E坐标，待定系数法即可求得DE所在直线解析式；

（3）先求出BC所在直线解析式，再根据①轿车休息前与货车相距200km，②轿车休息后与货车相距200km，分别列出方程求解可得． 【解答】解：（1）设OA所在直线解析式为y=mx， 将x=8、y=600代入，求得m=75， ∴OA所在直线解析式为y=75x， 令y=300得：75x=300，解得：x=4， ∴点D 坐标为（ 4，300 ），其实际意义为：点D是指货车出发4h后，与轿车在距离A地300 km处相遇．

（2）由图象知，轿车在休息前2.4小时行驶300km， ∴根据题意，行驶后300km需2.4h， 故点E 坐标（ 6.4，0 ）．

设DE所在直线的函数表达式为y=kx+b， 将点D （ 4，300 ），E （ 6.4，0）代入y=kx+b得：

，

解得

，

∴DE所在直线的函数表达式为y=﹣125x+800．

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（3）设BC段函数解析式为：y=px+q， 将点B（0，600）、C（2.4，300）代入，得：

，

解得：y=﹣125x+600，

①当轿车休息前与货车相距200km时，有：﹣125x+600﹣75x=200，解得：x=2； ②当轿车休息后与货车相距200km时，有：75x﹣（﹣125x+800）=200，解得：x=5； 故答案为：2或5．

25．数学活动课上，小君在平面直角坐标系中对二次函数图象的平移进行了研究． 图①是二次函数y=（x﹣a）2+（a为常数）当a=﹣1、0、1、2时的图象．当a取不同值 时，其图象构成一个“抛物线簇”．小君发现这些二次函数图象的顶点竟然在同一条直线上！（1）小君在图①中发现的“抛物线簇”的顶点所在直线的函数表达式为 y=x ； （2）如图②，当a=0时，二次函数图象上有一点P（2，4）．将此二次函数图象沿着（1）

中发现的直线平移，记二次函数图象的顶点O与点P的对应点分别为O1、P1．若点P1到x轴的距离为5，求平移后二次函数图象所对应的函数表达式．

【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】（1）根据题意得出抛物线的顶点坐标，根据待定系数法即可求得； （2）根据平移的规律得出点O1的坐标为 （ 3，1）或 （﹣27，﹣9），从而求得解析式． 【解答】解：（1）∵当a=﹣1时，抛物线的顶点为（﹣1，﹣），当a=0时，抛物线的顶点为（0，0），

∴设直线为y=kx，

代入（﹣1，﹣）得，﹣=﹣k， 解得k=，

∴“抛物线簇”的顶点所在直线的函数表达式为y=x， 故答案为y=x．

（2）由题意得：点P1D的纵坐标为5或﹣5，

∴抛物线沿着直线向上平移了1个单位或向下平移了9个单位， ∴此时点O1的纵坐标为1或﹣9，

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代入直线y=x求得横坐标为3或﹣27，

∴点O1的坐标为 （ 3，1）或 （﹣27，﹣9），

∴平移后的二次函数的表达式为y=（x﹣3）2+1或y=（x+27）2﹣9．

26．如图，直线AB交⊙O于C、D两点，CE是⊙O的直径，CF平分∠ACE交⊙O于点F，连接EF，过点F作FG∥ED交AB于点G． （1）求证：直线FG是⊙O的切线；

（2）若FG=4，⊙O的半径为5，求四边形FGDE的面积．

【考点】切线的判定． 【分析】（1）利用角平分线的性质以及等腰三角形的性质得出∠OFC=∠FCG，进而得出∠GFC+∠OFC=90°，即可得出答案；

（2）首先得出四边形FGDH是矩形，进而利用勾股定理得出HO的长，进而得出答案． 【解答】（1）证明：连接FO， ∵OF=OC，

∴∠OFC=∠OCF． ∵CF平分∠ACE， ∴∠FCG=∠FCE． ∴∠OFC=∠FCG． ∵CE是⊙O的直径， ∴∠EDG=90°， 又∵FG∥ED，

∴∠FGC=180°﹣∠EDG=90°， ∴∠GFC+∠FCG=90° ∴∠GFC+∠OFC=90°， 即∠GFO=90°， ∴OF⊥GF，

又∵OF是⊙O半径， ∴FG与⊙O相切．

（2）解：延长FO，与ED交于点H， 由（1）可知∠HFG=∠FGD=∠GDH=90°， ∴四边形FGDH是矩形． ∴FH⊥ED， ∴HE=HD．

又∵四边形FGDH是矩形，FG=HD， ∴HE=FG=4．

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∴ED=8．

∵在Rt△OHE中，∠OHE=90°， ∴OH=

=3．

∴FH=FO+OH=5+3=8．

S四边形FGDH=（FG+ED）?FH=×（4+8）×8=48．

27．问题提出

平面上，若点P与A、B、C三点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点P是A、B、C三点的巧妙点．若A、B、C三点构成三角形，也称点P是△ABC的巧妙点． 初步思考

（1）如图①，在等边△ABC的内部和外部各作一个△ABC的巧妙点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）如图②，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，点D、E是△ABC的两个巧妙点，其

AE=AC，BD=BC=CE，AC于点M、N．DA2=DB?DE． 中AD=AB，连接DE，分别交AB、求证：

深入研究

（3）在△ABC中，AB=AC，若存在一点P，使PB=BA，PA=PC．点P可能为△ABC的巧妙点吗？若可能，请画出示意图，并直接写出∠BAC的度数；若不可能，请说明理由．

【考点】三角形综合题． 【分析】（1）根据“巧妙点”的定义利用：点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，所以点P是三角形的外心；点P在三角形的外部时，每条边的垂直平分线上的点只要能够使顶点这条边的两端点连接而成的三角形是等腰三角形即可；

（2）先证明△ADB≌△ABC，△ACE≌△ABC，得到相等的角，再证明∠BMD=∠ABD，得到DB=DM．最后证明△DAM∽△DEA，得到所以DA2=DB?DE．

=

，即DA2=DM?DE，由DM=DB，

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（3）在△ABC中，AB=AC，若存在一点P，使PB=BA，PA=PC．点P能为△ABC的巧妙点，分别画出图形即可解答． 【解答】解：（1）如图①；

（2）∵AB=AC，∠BAC=36°， ∴∠ABC=∠ACB=72°， 在△ADB和△ABC中

∴△ADB≌△ABC， 同理：△ACE≌△ABC．

∴∠BAD=∠BAC=∠CAE=36°，∠ADB=∠ABD=∠ABC=72°， ∴∠DAE=∠BAD+∠BAC+∠CAE=108°， ∵AD=AB=AC=AE，

∴∠ADE=∠AED=36°=∠BAD， ∴∠BDM=∠BDA﹣∠MDA=36°，

∠BMD=∠ADM+∠DAM=72°=∠ABD， ∴DB=DM．

∵∠DBM=∠ABD，∠AED=∠BAD， ∴△DAM∽△DEA， ∴

=

，

∴DA2=DM?DE， ∵DM=DB，

∴DA2=DB?DE． （3）

第一种如图①或图②（只需画一个即可），∠BAC=60°．

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