2012优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)第10章10.2

§10.2 排列、组合

§ 10. 2 排 列 、 组 合

双基研习 面对高考

考点探究 挑战高考

考向瞭望 把脉高考

双基研习 面对高考

基础梳理

思考感悟 如何区分某一问题是排列问题还是 组合问题？

【思考· 提示】

区分某一问题是排列还是组合

问题，关键是看选出的元素与顺序是否有关.若 交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排 列问题；而交换任意两个元素的位置对结果没有 影响，则是组合问题.

课前热身 1.A、B、C、D、E五人站成一排，如果A、B不 相邻且A在B的左边，那么不同的排法有( 种. A.24 C.60 答案：B B.36 D.48 )

2.(2009年高考陕西卷)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的

四位数的个数为(A.300 C.180 答案：C

)B.216 D.162

3.某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那

么这段铁路共有车站数是(A.8 B.12

)

C.16

D.24

解析：选 B.设车站数为 n,则 A2 n=132.即 n(n- 1)=132.∴n=12.

4.若

2n-5 n+ 1 C11 =C11 ,则

n=________.

答案：5或65.(2011年宿州调研)若把英语单词“good”的字

母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种.

答案：11

考点探究 挑战高考

考点突破

排列数、组合数公式的应用凡遇到解排列组合的方程式、不等式问题时，应 首先应用性质和排列组合的意义化简，然后再根 据公式进行计算，注意最后结果都需要检验.

解下列方程或不等式： x x-2 (1)A9>6A6 ; 1 1 7 (2) x- x= x. C5 C6 10C7【思路点拨】 条件求解. 根据排列数、组合数公式及限制

例1

【解】 (1)原不等式化为 9! 6! >6× 9-x ! 6-x+2 ! 9! 6! >6× x>-75. 9-x 8-x ! 8-x !

0≤x≤9 由 ,得 2≤x≤8, 0≤x-2≤6

又∵x 为整数， ∴原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7,8}. (2)原式可化为 x! 5-x ! x! 6-x ! - = 5! 6! 7· x! 7-x ! , 10· 7!

即x2-23x+42=0, 解得x=21或x=2, ∵0≤x≤5,∴x=2. 即x=2为原方程的解.

【名师点评】

(1)在解含有组合数公式、排列数

公式的方程、不等式及有关问题时，应根据公式

中各字母中的限制条件，进行分析，然后在此基础上进行化简求解.

(2)对含有排列数、组合数公式的题目化简时，要从整体到局部，有时不需要全部展开，注意其中

的公因式的提取.

排列应用题 排列问题的本质是“元素”占“位置”问题，有限制

条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位置上，或某个位置不排某些元素，解 决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即 优先排特殊元素或优先满足特殊位

置.当正面情 况较复杂时，也可采用间接法.当有两个特殊位

置时，若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素个数时，应分类讨论.

例2 有3名男生，4名女生在下列不同条件下，求

不同的排列方法总数. (1)全体排成一排，其中甲只能在中间或在两端位

置；(2)全体排成一排，甲、乙必须在两端位置； (3)全体排成一排，甲不在最左端，乙不在最右端； (4)全体排成一排，男、女生各站在一起； (5)全体排成一排，其中男生必须排在一起；

(6)全体排成一排，男、女生各不相邻；(7)全体排成一排，男生不能排在一起；

(8)全体排成一排，甲、乙、丙三人自左至右顺序 不变； (9)排成两排，前排3人，后排4人； (10)全体排成一排，甲、乙两人中间必须有3人；

(11)甲、乙要相邻，但甲、乙都不与丙相邻.【思路点拨】 无限制条件的排列问题，直接利 用排列数公式即可.但要看清是全排列还是选排 列；有限制条件的排列问题，一般常见类型是“ 在与不在”、“邻与不邻”问题，可分别用相应方

法.

6 【解】 (1)甲为特殊元素，优先排列，有 A1 · A 3 6= 2160(种). (2)甲、乙为特殊元素，先排甲、乙再排另 5 人， 5 有 A1 · A 2 5=240(种). (3)甲、乙为特殊元素，左、右两端为特殊位置. 法一：特殊元素法 甲在最右端有 A6 6种； 甲不在最右端，也不在最左端，乙不在最右端， 有 1 5 A1 · A A5种. 5 5· 1 1 5 共有 A6 + A · A A5=3720(种). 6 5 5·

法二：间接法 6 7 人全排列有 A7 种，甲在最左端，有 A 7 6种，乙在 最右端，有 A6 6种，甲在最左端，乙在最右端，有 A5 5种. 6 5 共有 A7 - 2· A + A 7 6 5=3720(种). (4)男、 女各站在一起， 先将男、 女“捆绑”再排， 4 3 2 共有：A4· A3· A2=288(种). (5)将男生看成一个整体，再与女生一起排，共有 5 A3 · A 3 5=720(种). (6)男、女生相间排列，先排列男生，然后将 4 名4 女生插入空位置中，共有 A3 · A 3 4=144(种).

(7)男生不相邻，女生无条件.应先排女生，再将 3 男生插入空出的五个空位置中，有 A4 · A 4 5= 1440(种). (8)所有排法有 A7 又甲、 乙、 丙三人顺序一定， 7种， 3 4 故 A7 ÷ A = A 7 3 7=840(种). 4 (9)分步完成，先排前排有 A3 种，后排有 A 7 4种，所 4 以共有 A3 · A 7 4=5040(种). (10)将甲、乙及中间 3 人看成一个整体，再参与排 列，这个整体的排法有2 3 A2· A5种，再将另

2 人与该

2 3 3 “整体”全排有 A3 种，共有 A · A A3=720(种). 3 2 5·

(11)间接法6 甲、 乙相邻， 有 A2 A 甲、 乙相邻且与丙相邻， 2 6种， 2 5 2 6 2 2 5 有 A2 · A · A 种.∴共有排法 A A - A · A · A 2 2 5 2 6 2 2 5=

960(种).【名师点评】 排

列中具有典型意义的两类问题

是“排数”问题和“排队”问题，绝大多数排列问题都可转化为这两种形式.

(1)无限制条件的排列应用题，直接利用排列数公式计算；

(2)有限制条件的排列应用题，采用直接法或间接 法计算.应注意以下几种常见类型： ①含有特殊元素或特殊位置，通常优先安排特殊 元素或特殊位置，称为“特殊元素(或位置)优先考 虑法”. ②某些元素要求必须相邻时可以先将这些元素看 作一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元 素的内部排序，这种方法称为“捆绑法”,即“相邻 元素捆绑法”. ③某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素， 再将这些不相邻元素插入空档，这种方法称为“插 空法”,即“不相邻元素插空法”.

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