2014年中考数学复习专题讲座-方法论与解题技巧 - 图文

2014年中考数学经典专题讲座-方法论与解题技巧 - 1 -

寄语2014年中考芸芸学子——

放下执着，战胜心中的不安和恐惧等焦躁情绪，把握机会，勇敢前行！

祝中考成功！学有所成！服务社会！服务众生！ 阿弥陀佛

2014年中考数学专题讲座一：选择题解题方法

一、中考专题诠释

选择题是各地中考必考题型之一，2012年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8～14题，这说明选择题有它不可替代的重要性.

选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养.

二、解题策略与解法精讲

选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做.

解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效. 三、中考典例剖析 考点一：直接法

从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对

照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础. 例1 （2012?白银）方程

的解是（ ）

A．x=±1 B． x=1 C． x=﹣1 D． x=0

思路分析： 观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解：方程的两边同乘（x+1），得 x2﹣1=0， 即（x+1）（x﹣1）=0， 解得：x1=﹣1，x2=1．

检验：把x=﹣1代入（x+1）=0，即x=﹣1不是原分式方程的解； 把x=1代入（x+1）=2≠0，即x=1是原分式方程的解． 则原方程的解为：x=1． 故选B．

点评： 此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根． 对应训练 1．（2012?南宁）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（ ） A．7队 B．6队 C．5队 D．4队

考点二：特例法

运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好. 例2 （2012?常州）已知a、b、c、d都是正实数，且 ab?cd，给出下列四个不等式： ①

aa?b?cc?d；②cc?d?aa?b；③ dc?d?bba?b；④a?b?dc?d。

2014年中考数学经典专题讲座-方法论与解题技巧 - 2 -

其中不等式正确的是（ ） A．①③ B．①④

C．②④

D．②③

思路分析：由已知a、b、c、d都是正实数，且 ab?cd，取a=1，b=3，c=1，d=2，代入所求四个式子即可求解。

解：由已知a、b、c、d都是正实数，且

ab?cd，取a=1，b=3，c=1，d=2，则 aa?b?11?3?14,cc?d?11?2?13，所以aca?b?c?d，故①正确； dc?d?21?2?23,ba?b?31?3?34，所以dc?d?ba?b，故③正确。 故选A。

点评：本题考查了不等式的性质，用特殊值法来解，更为简单． 对应训练 2．（2012?南充）如图，平面直角坐标系中，⊙O的半径长为1，点P（a，0），⊙P的半径长为2，把⊙P向左平移，当⊙P与⊙O相切时，a的值为（ ） A．3 B．1 C．1，3 D．±1，±3

考点三：筛选法（也叫排除法、淘汰法）

分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确. 例3 （2012?东营）方程(k-1)x2-1?kx+14=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A．k≥1 B．k≤1 C．k＞1 D．k＜1 思路分析：原方程有两个实数根，故为二次方程，二次项系数不能为0，可排除A、

B；又因为被开方数非负，可排除C。故选D． 解：方程(k-1)x2-1?kx+14=0有两个实数根，故为二次方程，二次项系数k?1?0，k?1，可排除A、B；又因为1?k厔0,k1，可排除C。 故选D． 点评：此题考查了一元二次方程根的判别式与解的情况，用排除法较为简单． 对应训练 3． （2012?临沂）如图，若点M是x轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥y轴，分别交函数 y= k1x（x＞0）和y=k2x（x＞0）的图象于点P和Q，连接OP和OQ．则下列结论正确的是（ ） A．∠POQ不可能等于90°

B．

PMk1QM?k

2C．这两个函数的图象一定关于x轴对称

D．?POQ的面积是

12（|k1|+|k2|）

考点四：逆推代入法

将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选择支的一种方法. 在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度. 例4 （2012?贵港）下列各点中在反比例函数y=6x的图象上的是（ ） A．（-2，-3） B．（-3，2） C．（3，-2） D．（6，

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-1）

思路分析：根据反比例函数y=6x中xy=6对各选项进行逐一判断即可． 解：A、∵（-2）×（-3）=6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确； B、∵（-3）×2=-6≠6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； C、∵3×（-2）=-6≠6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； D、∵6×（-1）=-6≠6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误． 故选A． 点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy的特点是解答此题的关键． 对应训练 4．（2012?贵港）从2，﹣1，﹣2三个数中任意选取一个作为直线y=kx+1中的k值，则所得的直线不经过第三象限的概率是（ ） A．

B．

C．

D． 1

考点五：直观选择法

利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值，求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。这种解法贯穿数形结合思想，每年中考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决，既简捷又迅速.

例5 （2012?贵阳）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（ ）

A．有最小值-5、最大值0 B．有最小值-3、最大值6 C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6

解：由二次函数的图象可知，

∵-5≤x≤0，

∴当x=-2时函数有最大值，y最大=6； 当x=-5时函数值最小，y最小=-3． 故选B．

点评：本题考查的是二次函数的最值问题，能利用数形结合求出函数的最值是解答此题的关键． 对应训练

5． （2012?南宁）如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，则下列关系不正确的是（ ） A．k=n B．h=m C．k＜n D．h＜0，k＜0

考点六：特征分析法

对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，提取、分析和加工有效信息后而迅速作出判断和选择的方法

例6 （2012?威海）下列选项中，阴影部分面积最小的是（ ）

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A． B．

C． D．

分析：根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可． 解：A、∵M、N两点均在反比例函数y=2x的图象上，∴S阴影=2； B、∵M、N两点均在反比例函数y=2x的图象上，∴S阴影=2； C、如图所示，分别过点MN作MA⊥x轴，NB⊥x轴，则S阴影=S?OAM+S阴影梯形ABNM-S?OBN=12×2+12（2+1）×1-12×2=32； D、∵M、N两点均在反比例函数y=2x的图象上，∴12×1×4=2． ∵32＜2，

∴C中阴影部分的面积最小． 故选C． 点评：本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|2，且保持不变． 对应训练 6．（2012?丹东）如图，点A是双曲线y=在第二象限分支上的任意一点，点B、点C、点D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点．若四边形ABCD的面积是8，则k的值为（ ）

A．﹣1 B． 1 C． 2 D．

﹣2

考点七：动手操作法

与剪、折操作有关或者有些关于图形变换的试题是各地中考热点题型，只凭想象不好确定，处理时要根据剪、折顺序动手实践操作一下，动手可以直观得到答案，往往能达到快速求解的目的.

例7 （2012?西宁）折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想，把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论（ ）

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A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等

B．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

D．如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 思路分析：严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来，也可仔细观察图形特点，利用对称性与排除法求解． 解：如图②，∵?CDE由?ADE翻折而成， ∴AD=CD， 如图③，∵?DCF由?DBF翻折而成， ∴BD=CD， ∴AD=BD=CD，点D是AB的中点， ∴CD=12AB，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 故选C． 点评：本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 对应训练

7．（2012?宁德）将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（ ）

A． B．

C． D．

四、中考真题演练 1．（2012?衡阳）一个圆锥的三视图如图所示，则此圆锥的底面积为（ ）

A．30πcm2 B． 25πcm2 C． 50πcm2 D． 100πcm2 2．（2012?福州）⊙O1和⊙O2的半径分别是3cm和4cm，如果O1O2=7cm，则这两圆的位置关系是（ ） A．内含 B． 相交 C． 外切 D． 外离 3．（2012?安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（ ）

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分析： （1）过点A作AD⊥x轴于点D，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠AOC=45°，所以∠AOD=45°，从而得到?AOD是等腰直角三角形，设点A坐标为（﹣a，a），然后利用点A在抛物线上，把点的坐标代入解析式计算即可得解； （2）①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，先利用抛物线解析式求出AE的长度，然后证明?AEO和?OFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OF与BF的关系，然后利用点B在抛物线上，设出点B的坐标代入抛物线解析式计算即可得解；

②过点C作CG⊥BF于点G，可以证明?AEO和?BGC全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=OE，BG=AE，然后求出点C的坐标，再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线的形状利用待定系数法求出过点A、B的抛物线解析式，把点C的坐标代入所求解析式进行验证变换后的解析式是否经过点C，如果经过点C，把抛物线解析式转化为顶点式解析式，根据顶点坐标写出变换过程即可． 解答： 解：（1）如图，过点A作AD⊥x轴于点D， ∵矩形AOBC是正方形， ∴∠AOC=45°，

∴∠AOD=90°﹣45°=45°， ∴?AOD是等腰直角三角形， 设点A的坐标为（﹣a，a）（a≠0），

则（﹣a）2

=a，

解得a1=﹣1，a2=0（舍去）， ∴点A的坐标﹣a=﹣1， 故答案为：﹣1；

（2）①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F， 当x=﹣时，y=（﹣）2

=， 即OE=，AE=，

∵∠AOE+∠BOF=180°﹣90°=90°， ∠AOE+∠EAO=90°， ∴∠EAO=∠BOF，

又∵∠AEO=∠BFO=90°， ∴?AEO∽?OFB，

∴===，

设OF=t，则BF=2t，

∴t2

=2t，

解得：t1=0（舍去），t2=2， ∴点B（2，4）；

②过点C作CG⊥BF于点G，

∵∠AOE+∠EAO=90°，∠FBO+∠CBG=90°，∠AOE=∠FBO， ∴∠EAO=∠CBG， 在?AEO和?BGC中，，

∴?AEO≌?BGC（AAS）， ∴CG=OE=，BG=AE=． ∴xc=2﹣=，yc=4+=，

∴点C（，

），

设过A（﹣，）、B（2，4）两点的抛物线解析式为y=﹣x2

+bx+c，由题意

得，，

解得，

∴经过A、B两点的抛物线解析式为y=﹣x2

+3x+2， 当x=时，y=﹣（）2

+3×+2=

，所以点C也在此抛物线上，

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故经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=﹣x2+3x+2=﹣（x﹣）2

+．

平移方案：先将抛物线y=﹣x2

向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线

y=﹣（x﹣）2

+

．

点评： 本题是对二次函数的综合考查，包括正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求抛物线解析式，综合性较强，难度较大，要注意利用点的对称、平移变换来解释抛物线的对称平移变换，利用点研究线也是常用的方法之一． 考点三：规律探究型：

规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.

例5 （2012?青海）如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．

（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但?ABE和?ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证?AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程： 证明：如图1，取AB的中点M，连接EM． ∵∠AEF=90°

∴∠FEC+∠AEB=90° 又∵∠EAM+∠AEB=90° ∴∠EAM=∠FEC

∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点 ∴AM=EC

又可知?BME是等腰直角三角形 ∴∠AME=135°

又∵CF是正方形外角的平分线 ∴∠ECF=135°

∴?AEM≌?EFC（ASA） ∴AE=EF

（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论． （3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．

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考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质。 专题： 阅读型。

分析： （2）在AB上截取AM=EC，然后证明∠EAM=FEC，∠AME=∠ECF=135°，再利用“角边角”证明?AEM和?EFC全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明；

（3）延长BA到M，使AM=CE，然后证明∠BME=45°，从而得到∠BME=∠ECF，再利用两直线平行，内错角相等证明∠DAE=∠BEA，然后得到∠MAE=∠CEF，再利用“角即∠MAE=∠CEF， 在?MAE和?CEF中，∴?MAE≌?CEF（ASA）， ∴AE=EF．

，

边角”证明?MAE和?CEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证． 解答： （2）探究2，证明：在AB上截取AM=EC，连接ME， 由（1）知∠EAM=∠FEC， ∵AM=EC，AB=BC， ∴BM=BE，

∴∠BME=45°，

∴∠AME=∠ECF=135°， ∵∠AEF=90°，

∴∠FEC+∠AEB=90°， 又∵∠EAM+∠AEB=90°， ∴∠EAM=∠FEC， 在?AEM和?EFC中，

，

∴?AEM≌?EFC（ASA）， ∴AE=EF；

（3）探究3：成立，

证明：延长BA到M，使AM=CE，连接ME， ∴BM=BE，

∴∠BME=45°， ∴∠BME=∠ECF， 又∵AD∥BE， ∴∠DAE=∠BEA，

又∵∠MAD=∠AEF=90°，

∴∠DAE+∠MAD=∠BEA+∠AEF，

点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，阅读材料，理清解题的关键是取AM=EC，然后构造出?AEM与?EFC全等是解题的关键．

例6 （2012?永州）如图所示，已知二次函数y=ax2

+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．

（1）求二次函数y=ax2

+bx﹣1（a≠0）的解析式； （2）请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；

（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2

的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；

（4）试问是否存在实数m可使?POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

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考点： 二次函数综合题。 专题： 压轴题。

分析： （1）根据二次函数y=ax2

+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），待定系数法求出a和b的值，抛物线的解析式即可求出；

（2）令y=ax2

+bx﹣1=0，解出x的值，进而求出使y＜0的对应的x的取值范围；

（3）分别求出当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2

的值．然后观察其规律，再进行证明；

（4）由（3）知OP=OH，只要OH=OP成立，?POH为正三角形，求出|OP|、|OH|含有m和n的表达式，令两式相等，求出m和n的值．

解答： 解：（1）∵二次函数y=ax2

+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3）， ∴

，

解得a=，b=0，

∴二次函数的解析式为y=x2

﹣1，

（2）令y=x2

﹣1=0，

解得x=﹣2或x=2，

由图象可知当﹣2＜x＜2时y＜0，

（3）当m=0时，|PO|2=1，|PH|2

=1；

当m=2时，P点的坐标为（2，0），|PO|2=4，|PH|2

=4，

当m=4时，P点的坐标为（4，3），|PO|2=25，|PH|2

=25，

由此发现|PO|2=|PH|2

，

设P点坐标为（m，n），即n=m2

﹣1 |OP|=

，

|PH|2

=n2

+4n+4=n2

+m2

，

故对于任意实数m，|PO|2=|PH|2

；

（4）由（3）知OP=PH，只要OH=OP成立，?POH为正三角形， 设P点坐标为（m，n），|OP|=，

|OH|=

，

|OP|=|OH|，即n2

=4，解得n=±2， 当n=﹣2时，n=m2

﹣1不符合条件， 故n=2，m=±2

时可使?POH为正三角形．

点评： 本题主要考查二次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图形特征和性质，特别是（3）问的解答很关键，是解答（4）问的垫脚石，此题难度一般．

2014年中考数学经典专题讲座-方法论与解题技巧 - 50 -

考点四：存在探索型：

此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．

例7 （2012?黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=6，点C的坐标为（﹣9，0）． （1）求点B的坐标；

（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=2，OD=2BD，求直线DE的解析式；

（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，是否存在点P，使以O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 一次函数综合题。

分析： （1）过点B作BF⊥x轴于F，在Rt?BCF中，已知∠BCO=45°，BC=6，解直角三角形求CF，BF，确定B点坐标；

（2）过点D作DG⊥y轴于点G，由平行线的性质得出?ODG∽?OBA，利用相似比求DG，OG，确定D点坐标，由已知得E点坐标，利用“两点法”求直线DE的解析式； （3）存在．由已知的OE=2，分别以O、E为圆心，2为半径画弧，与直线DE相交，或作线段OE的垂直平分线与直线DE相交，交点即为所求． 解答： 解：（1）过点B作BF⊥x轴于F，?（1分） 在Rt?BCF中，

∵∠BCO=45°，BC=6， ∴CF=BF=6，?（1分） ∵C 的坐标为（﹣9，0）， ∴AB=OF=3，

∴点B的坐标为（﹣3，6）；?（1分）

（2）过点D作DG⊥y轴于点G，?（1分） ∵AB∥DG，

∴?ODG∽?OBA， ∵

=

=

=，AB=3，OA=6，

∴DG=2，OG=4，?（1分） ∴D（﹣2，4），E（0，2），

设直线DE解析式为y=kx+b（k≠0） ∴， ∴

，?（1分）

∴直线DE解析式为y=﹣x+2； ?（1分）

（3）存在P1（2，0）、P2（1，1）、P3（，2﹣）、P4（﹣，2+）?

（3分）

（写对一个点得1分，写对两个点或三个点得2分）

点评： 本题考查了一次函数的综合运用．关键是通过作辅助线，解直角三角形，证明三角形相似，确定相关线段的长和点的坐标，得出直线解析式，再根据等腰三角形的性质，分类求P点坐标． 例8 （2012?北海）如图，在平面直角坐标系中有Rt?ABC，∠A=90°，AB=AC，A（﹣2，0）、B（0，1）、C（d，2）．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fj52.html