七年级数学寒假专题 - 有理数华东师大版知识精讲

七年级数学寒假专题——有理数华东师大版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

寒假专题——有理数

学习要求：

能结合有理数的运算，运用有理数、相反数、绝对值等概念，会比较有理数的大小，会运用有理数的运算法则、性质、运算律、运算顺序，熟练地进行简单的有理数的加、减、乘、除以及混合运算；在运算中能根据对有效数字位数或精确到哪一数位的要求，确定运算结果，并能用科学记数法表示一个近似数。

知识内容：

1. 了解正、负数的引入是实际的需要，现实生活中我们会遇到很多具有相反意义的量，如前进10米和后退5米，零上3℃和零下2℃等，为了刻画和区分这一对具有相反意义的量，我们引入了正数和负数，即若把这两个量中的一个规定为正，另一个则为负。

2. 准确掌握判断一个数是正数还是负数的方法，利用数轴，原点右边为正，左边为负，即判断一个数是正数还是负数决定于这个数是否大于0，大于0的数是正数，反之则是负数，须特别注意的是：

（1）0既不是正数也不是负数，它是一个中性数。

（2）避免产生带正号的数是正数，带负号的数是负数的错误认识。 3. 掌握有理数的两种分类：

有理数包括正整数、零、负整数、正分数、负分数这五种数，按整数和分数可以得到有理数的一种分类；按性质又可以得到有理数的另一种分类。这两种分类的标准不同，所以结果也不同，须注意的是无论按什么标准分类，都要注意分类时不重不漏。 4. 了解数轴的概念

明确数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，且三者缺一不可，还要明确它是一条直线，规定向右箭头的方向为正，相反方向为负。单位长度可根据需要任意选取，但在同一数轴上，单位长度取定后不能再变动。

5. 正确理解有理数和数轴上的点的对应关系。

对于任意的一个有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点并不全都是有理数。 6. 理解相反数的意义

从相反数的定义可以看出，除了0以外，相反数总是一正一负成对出现，在数轴上看，表示互为相反数的两个点分别在原点的两边，而且到原点的距离相等。 7. 理解绝对值的非负性及绝对值的代数定义 数a的绝对值，即|a|的非负数是|a|≥0。

因为|a|表示的是数a到原点的距离，不可能是负的，故只能是正数或0。

?a? 数a的绝对值的代数定义，即|a|??0??a? 8. 有理数的混合运算

首先要依照运算法则进行运算，即

（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。 （2）同级运算，按从左到右的顺序进行。

a?0a?0 a?0用心 爱心 专心

（3）如果有括号，先算括号里的。

除此之外，我们还要注意最易出错的问题——符号。

自升入中学后，数扩充了负数，有理数的运算归根到底是确定符号和绝对值的问题，所以一定要把好符号这一关，提高混合运算的准确率。 9. 近似数和有效数字

注意看清题目要求的精确度，即按要求进行计算，精确度的两种要求，一是精确到某一位，二是保留几个有效数字。

【典型例题】

例1. 填空：

2的相反数是________________。 5 （2）|?2|的相反数是________________。

1 （3）?的倒数是__________________。

4 （4）若|x?3|?0，则x?___________。 （5）已知|a|?2，则a?____________。

（1）??1? （6）比较大小：?????2?2?1?????。 ?2? （7）9000保留两个有效数字是__________。 （8）8500000用科学记数法表示__________。 （9）?2?4?_____________。

（10）(?1)2002?(?1)2003?____________。 （11）已知a?2ab?bm?(b?c)1002（m为整数）且a、b互为相反数，b、c互为倒数，则m1?(?1)?_______________。

答案：（1）2/5 （2）-2 （3）-4 （4）3 （5）2，-2 （6）< （7）9.0×103 （8）8.5×106 （9）0 （10）0 （11）-2

例2. 选择：

1，则这个数（ ） 311 A. B. 3 C. ? D. ?3

332 （2）若m、n满足|2m?1|?(n?2)?0，则mn的值为（ ）

（1）一个数的倒数是? A. ?1 B. 1 C. ?2 D. 2

（3）已知：a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）

c b 0 a

A. cb?ab B. ac?ab C. cb?ab D. c?b?a?b （4）下列说法正确的是（ ）

A. 任何两个有理数都可以进行加、减、乘、除运算

用心 爱心 专心

B. 一个数的偶次幂一定是正数

C. 如果两数之商为1，那么这两个数为1

D. 如果两个有理数的差大于被减数，那么减数一定是负数 （5）下列说法错误的是（ ） A. -a不一定是负数

B. 近似数1.3亿，有两个有效数字

C. 两个有理数的和不一定大于这两个加数

D. 几个有理数相乘，当负因数的个数为奇数时，积为负 （6）若a

3

B. ab

D. (a?b)2 B. |m?2|

2 （7）若m是有理数，下列各式一定大于0的是（ ）

2 C. m?1 D. m?1

（8）一个数比它的相反数小，这个数一定是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 负数和零

（9）已知：a、b互为相反数，且均不为0，c、d互为倒数，|m|?5，则

2b的值是（ ） a A. ?3，7 B. ?3，?7 C. 3，?7 D. 4，?6

（10）若a?3b?4c?m，a?4b?5c?m，则b与c的关系为（ ） 2003(a?b)?cdm? A. 相等 B. 互为相反数 C. 互为倒数 D. 无法确定

答案：（1）D （2）A （3）A （4）D （5）D （6）A （7）D （8）B （9）C （10）B

例3. 计算：

1?757??9?18????

?9618?321?3? （2）(?1)1999?(?3)2???43?(?2)4??1?2?375.??24

?8?93 （1）(?2)?2????3?3??37?5???5? （3）??3???1???1?0.6???????????20????1?

?2?????4?4???3????757 解：（1）原式??2?3?9?18??18??18?

9618??54?14?15?7

??60 说明：同级运算应从左到右依次计算，运用运算律可简化运算。运算律可正、反两方面运用，根据题意灵活选用。 （2）原式??1?9?211715?64?16??24??24??24 9834用心 爱心 专心

??1?2?4?33?56?90 ??4

说明：(?2)4与?43意义的区别，同时还要注意乘法分配律的利用。 （3）原式???3??3?1??25??5??????0.4???????20??(?1)

4??3???4?4??

5??3?????????15????????20??(?1)2??5??????25??3????????????20??(?1)??2??5???15????20??(?1)?2??1212

说明：有理数混合运算的顺序既有原则性，又有灵活性，那就是根据问题的具体情况，选用适当的运算律，改变运算顺序，使计算更加简洁。

例4. 求

|abc|的值。 abc 解：（分四种情况）

|abc|abc??1 abcabc|abc|?abc???1 （2）当a、b、c三个数中两个正、一个负时，

abcabc|abc|abc??1 （3）当a、b、c三个数中有一个正，两个负时，

abcabc|abc|?abc???1 （4）当a、b、c三个数都是负时，

abcabc （1）当a、b、c三个数都为正数时，

小结：本题体现了讨论的思想，要把所有的情况考虑全。

例5. 已知：a、b互为相反数，c、d互为倒数，且m?16，求 解：?a、b互为相反数 ?a?b?0

∵c、d互为倒数

4 ?cd?1，m?16

4a?b?cdm?m2的值。 m ?m??2

a?b?cdm?m2??2?22?2 ma?b?cdm?m2?2?(?2)2?6 当m??2时，m ?当m?2时，

222 例6. 已知：|a?1|?2，(b?4)?1，且ab?0，求a?ab?b的值。 解：?|a?1|?2

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?a?3或?1，(b?4)2?1?b?5或3 又?ab?0

?a??1，b?5或a??1，b?3当a??1，b?5时，a2?ab?b2?(?1)2?(?1)?5?52??19 当a??1，b?3时，a2?ab?b2?(?1)2?(?1)?3?32??5

小结：注意满足题目中的限制条件。

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

一. 选择题

1. 在1，?1，?2这三个数中，任意两数之和的最大值为（ ） A. 1 B. 0 C. ?1 D. ?3

2. 如果a是有理数，则|a|?a的值必是（ ）

A. 负数 B. 非负数 C. 正数 D. 非正数

3. 一个数的相反数与这个数的倒数的和等于0，则这个数的绝对值等于（ ）

A. 2

B.

12 C. 1 D. 0

4. 计算：(?0.25)2003?(?4)2004的值为（ ）

A. 2 B. 4 C. ?4 D. ?2

5. 计算：?2?32?(?2?3)2的结果为（ ）

A. 0 B. ?54 C. ?72 D. ?18

6. 有一种记分方法：以80分为基准，85分记为+5分，某同学得77分，则应记为（ A. +3分 B. ?3分 C. +7分 D. ?7分 7. 已知：如图所示，a、b、c的大小关系为（ ） A. a?b?c B. a?c?b C. c?a?b

D. c?b?a c -b 0 a

8. 两个数的差乘以这两个数的和，积为0，那么（ ） A. 两个数相等

B. 两个数的绝对值相等 C. 两个数互为倒数 D. 两个数互为相反数

9. 一个有理数的平方与它的立方相等，这样的有理数是（ ） A. 0，1 B. ?1，0 C. 1，?1

D. ?1，1，0

10. 已知：a?0，则2a?|?5a|4a的结果为（ ） A. 74

B. ?734 C. 4

D. ?34

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）

二. 填空题

1. 在数轴上，与表示?3的点的距离为4的点所表示的数为_____________。 2. 若|a|?3，b2?25且a?b?0，则a?b的值=___________。 3. 若|a?3|?2(a?b?4)2?0，则a?b的值=_____________。

4. 绝对值不小于1且不大于3的所有整数之积=_____________。

5. 某商品标价为800元，现按九折销售，仍可获利20%，则这种商品的进价为_________元。

三. 解答题 1. 计算：

1??7?8??8?1?313? （2）1??????24

24?864????? （3）?2???2????9??223 （1）??4????3????4????5?

1?4???1?2???7?9?7?7??11???2?

?9?91?2??1? （4）(?3)?2?????22????

?3?4?3? 2. 某出租车沿公路左、右行驶，向左为正，向右为负，某天早上从A地出发，到下午回

家时所走的路线如下（单位：千米）

?8，?9，?4，?7，?2，?10，?18，?3，?7，?5

（1）问下午回家时离出发点A有多少千米？

（2）若该出租车每千米耗油0.3升，问从A地出发到下午回家时，共耗油多少升？

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试题答案

一. 选择题 1. B 6. B

二. 填空题 1. 1或?7 2. B 7. C

3. C 8. B

4. C 9. A

5. B 10. D

2. ?2或?8 3. 10

4. 36

5. 600

三. 解答题 1. （1）?274或?634 （3）?50 2. （1）25千米；（2）21.9升

（2）6124

（4）?4

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