数值计算方法期末考试答案电气1351

数值考试答案电气1351

数学答案

一、判断题2.错3.对4.对5.对6.错.7错8.错9.错

二、填空题;

1、误差的来源即产生误差的原因。主要有四种：

1.模型误差;2.观测误差;3.截断误差(方法误差)-;4.舍入误差.

2.设 (x)在x (x)的根x附近连续，且有 (x) 1，则迭代格式xk 1 (xk)在根x

附近具有局部收敛性。

3.拉格朗日插值多项式的基函数和被插函数无关。 4. 拉格朗日插值多项式为p(x)

x x0x x1

y0 y1。

x0 x1x1 x0

b aa b

[f(a) 4f() f(b)]。 62

5数值积分的抛物公式是I＝

b

a

f(x)dx

6构造插值求积公式的步骤为：（1）、在[a,b]上选节点xk；（2）、求f(xk)：利用

Ak Ik(x)dx和解关于Ak的线性方程组求出Ak，得到 f9x)dx Akf(xk)；

a

a

k 0

bb

n

（3）、用f(x) x

n 1

, ，验证精度。

7 牛顿——柯斯特求积公式是等距节点的插值求积公式，其插值求积公式为

b

a

f(x)dx Akf(xk)。

k 0

n

8. 高斯型求积公式讨论的就是最高次代数精度的求积公式。

9. 预报——校正公式得局部截断误差y(xn 1) yn 1 O(h)。 10.若局部截断误差为O(h

p 1

3

),p为正整数，则称数值公式是p阶公式。

5

11经典龙格－库塔公式每步要计算四次函数值，具有4阶精度，局部截断误差是O(h)

三、计算题

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2、求方程x 1.8x 0.15x 0.65 0的有根区间。

解：因为函数f(x) x3 1.8x2 0.15x 0.65连续，且f( 1) 0,f(2) 0，

所以f(x)在区间【-1，2】上至少有一个根。 取h

32

2 ( 1)

0

.75未步长，从x 0出发，向右进行搜索，结果列表如下：

故在【-1，-0.25】，【0.5，1.25】，【1.25，2】各区间都有一个根。

3、

4、确定下列求积公式中得待定参数，使其代数精度尽量高，并指明其代数精度。

h

h

f(x)dx A 1f( h) A0f(0) A1f(h)

解：因为求积公式

h

h

f(x)dx A 1f( h) A0f(0) A1f(1)有三个未知数，设求积

A 1 A0 A1 2h

hA 1 0 hA1 0公式对于f(x) 1,x,x2均准确成立，则有 ， h2A 0 h2A (2/3)h3

11

于是求积公式

h

h

f(x)dx

h4hh

f( h) f(0) f(h)，其代数精度至少为2次。 333

将f(x) x3代入求积公式，左边＝右边＝0，公式准确成立； 将f(x) x代入求积公式，左边＝故求积公式得代数精度为3次。

5，1.设函数f(x) (x3 a)2,写出解f(x) 0得牛顿迭代格式，并证明此格式得收敛阶。

解：将f(x) (x a),f (x) 6(x a)x代入牛顿迭代格式，有

3

2

3

2

4

252

h,右边＝h5，公式不准确成立。 53

xk 1

3

(xk a)25a

， xk x k322

6(xk a)xk66xk

迭代函数 (x)

5a5a

x 2, (x) 3， 666x6x

又已知x a， (a) 0.5 1 0，所以牛顿迭代法为线性收敛。

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由于x a是所给方程得二重根，用重根时得修正牛顿法xk 1 xk 2将f(x) (x3 a)2,f (x) 6(x3 a)x2代入

f(xk)

，

f (xk)

xk 1

3(xk a)25a

， xk 2 x k322

36(xk a)xk3xk

迭代函数 (x)

5a5a

x 2, (x) 3 666x6x

又已知x a， (a) 0，所以牛顿迭代法为平方收敛。 当重根数未知时，令 (x)

f(x)

，若x是f(x)得m重根， f (x)

则f(x) (x x )mq(x),且q(x ) 0，此时

(x x )mg(x)(x x )g(x)

， (x)

m(x x)m 1g(x) (x x)g(x)mg(x) (x x)g(x)

故x是 (x)得单根。牛顿迭代法修正为x x

(x)

则是二阶收敛得。此时 (x)

(x)f (x)f(x)

，迭代格式 (x) x x

(x)f(x)2 f(x)f (x)

xk 1 xk

f (xk)f(xk)

2

f(xk) f(xk)f (xk)

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