2013年广东高考文科数学A卷试题及答案（最新清晰完整版）

绝密★启用前 最新广东高考答案一网打尽！ 试卷类型：A

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科）

本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟

注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号

填写在答题卡上。用2B铅笔讲试卷类型（A）填涂在答题卡相应的位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试题与答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式为V=

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合S?{x|x?2x?0,x?R}，T?{x|x?2x?0,x?R}，则S?T= A．{0} B．{0,2} C．{?2,0} D．{?2,0,2} 2．函数f(x)?lg(x?1)x?12213Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。

的定义域是

A．(?1,??) B．[?1,??) C．(?1,1)?(1,??) D．[?1,1)?(1,??) 3．若i(x?yi)?3?4i，x,y?R，则复数x?yi的模是 A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知sin(A．?

1

5?2??)?15，那么cos??

1525 B．? C．

15 D．

25

5．执行如图1所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是 A．1 B．2 C．4 D．7 开始

输入n

2

i=1, s=1

1 否正视图i ≤ n 是输出s s=s+(i-1)

结束俯视图 i=i +1

图 1

6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是 A．

161侧视图图 2 B．

13 C．

2223 D．1

7．垂直于直线y?x?1且与圆x?y?1相切于第一象限的直线方程是 A．x?y?2?0 B．x?y?1?0 C．x?y?1?0 D．x?y?2?0

8．设l为直线，?,?是两个不同的平面，下列命题中正确的是

A．若l//?，l//?，则?//? B．若l??，l??，则?//? C．若l??，l//?，则?//? D．若???，l//?，则l?? 9．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于

x2122，则C的方程是

x2A．

3?y24?1 B．

x24?y23?1 C．

x24?y2?1 D．

4?y23?1

????10．设a是已知的平面向量且a?0，关于向量a的分解，有如下四个命题： ?????①给定向量b，总存在向量c，使a?b?c；

?????②给定向量b和c，总存在实数?和?，使a??b??c；

?????③给定单位向量b和正数?，总存在单位向量c和实数?，使a??b??c； ?????④给定正数?和?，总存在单位向量b和单位向量c，使a??b??c； ???上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

2

二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）

11．设数列{an}是首项为1，公比为?2的等比数列，则a1?|a2|?a3?|a4|? 12．若曲线y?ax?lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴，则a? ．

?x?y?3?0?13．已知变量x,y满足约束条件??1?x?1，则z?x?y的最大值是

?y?1?2 ．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为??2cos?．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，AB?BC?3，BE?AC，垂足为E，则ED? ．

BC3，

EA图 3D

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数f(x)????2cos?x??,x?R．

12??(1) 求f?????的值； ?3?(2) 若cos?????3???,???,2??，求f????． 56??2??317．（本小题满分13分）

从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：

分组（重量） 频数（个） [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 5 10 20 15 (1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；

(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？ (3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．

3

18．（本小题满分13分）

如图4，在边长为1的等边三角形ABC中，D,E分别是AB,AC边上的点，AD?AE，F是BC的中

22点，AF与DE交于点G，将?ABF沿AF折起，得到如图5所示的三棱锥A?BCF，其中BC?A．

A(1) 证明：DE//平面BCF； (2) 证明：CF?平面ABF； (3) 当AD?

19．（本小题满分14分）

BF图 42?23GE时，求三棱锥F?DEG的体积VF?DEG． DGEDFCCB图 5设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，满足4Sn?an?1?4n?1,n?N,且a2,a5,a14构成等比数列．

(1) 证明：a2?4a1?5；

(2) 求数列?an?的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n，有20．（本小题满分14分）

已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F?0,c??c?0?到直线l:x?y?2?0的距离为上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA,PB，其中A,B为切点． (1) 求抛物线C的方程；

(2) 当点P?x0,y0?为直线l上的定点时，求直线AB的方程； (3) 当点P在直线l上移动时，求AF?BF的最小值．

21．（本小题满分14分） 设函数f(x)?x?kx321a1a2?1a2a3???1anan?1?12．

322．设P为直线l?x ?k?R?．

(1) 当k?1时,求函数f(x)的单调区间；

(2) 当k?0时,求函数f(x)在?k,?k?上的最小值m和最大值M．

4

2013年广东高考文科数学A卷参考答案

一、选择题 题号 1 选项 A 2 C 3 D 4 C 5 C 6 B 7 A 8 B 9 D 10 B 二、填空题

11. 15 12.

12 13.5 14. ??x?1?cos??y?sin? （?为参数） 15.

212

三、解答题

16. 解：(1)f??????3??35????2cos????312???3????2cos???1

?4?（2）?cos??,???4?2,2??，sin???1?cos???，

5?2?????f????=6?????2cos?????4?????1?2?cos?cos?sin?sin??． ?44?5?2050=0.4；

17. 解：1）苹果的重量在[90,95)的频率为（2）重量在[80,85)的有4?55+15=1个；

（3）设这4个苹果中[80,85)分段的为1，?95,100?分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有： （1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[80,85)和?95,100?中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以P(A)?18. 解：（1）在等边三角形ABC中，AD?AE

?ADDB?AEEC36?12.

,在折叠后的三棱锥A?BCF中也成立，

?DE//BC ,?DE?平面BCF， BC?平面BCF，?DE//平面BCF；

（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF?BC①，BF?CF?2212.

? 在三棱锥A?BCF中，BC?，?BC2?BF2?CF2?CF?BF②

?BF?CF?F?CF?平面ABF；

5

（3）由（1）可知GE//CF，结合（2）可得GE?平面DFG.

11111?13?13??DG?FG?GF???????? ???32323?32?332422?VF?DEG?VE?DFG?19. 解：（1）当n?1时，4a1?a2?5,a2?4a1?5，?an?0?a2?24a1?5

22（2）当n?2时，4Sn?1?an?4?n?1??1，4an?4Sn?4Sn?1?an?1?an?4

an?1?an?4an?4??an?2?,?an?0?an?1?an?2

222?当n?2时，?an?是公差d?2的等差数列.

?a2,a5,a14构成等比数列，?a5?a2?a14，?a2?8??a2??a2?24?，解得a2?3,

22由（1）可知，4a1?a2?5=4,?a1?1

?a2?a1?3?1?2?

2?an?是首项a1?1,公差d?2的等差数列.

?数列?an?的通项公式为an?2n?1. （3）

1a1a2?1a2a3???1anan?1?11?3?13?5?15?7???1?2n?1??2n?1?

?1??1??11??11??11?????1???????????????2??3??35??57??2n?12n?1??1?1?1?1??.??2?2n?1?2

?20. 解：（1）依题意d?0?c?22?322，解得c?1（负根舍去）

?抛物线C的方程为x?4y；

2（2）设点A(x1,y1),B(x2,y2)，P(x0,y0)，

由x2?4y,即y?142x,得y??12x.

∴抛物线C在点A处的切线PA的方程为y?y1?x12(x?x1)，

即y?x12x?y1?12x1.

2 6

∵y1?14x1， ∴y?2x12x?y1 .

∵点P(x0,y0)在切线l1上, ∴y0?x22x12x0?y1. ①

同理， y0?x0?y2. ②

综合①、②得，点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标都满足方程 y0?∵经过A(x1,y1),B(x2,y2)两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y0?x2x2x0?y.

x0?y，即x0x?2y?2y0?0；

（3）由抛物线的定义可知AF?y1?1,BF?y2?1， 所以AF?BF??y1?1??y2?1??y1?y2?y1y2?1

?x?4y联立??x0x?2y?2y0?022，消去x得y22??2y0?x02?y?y0?02，

?y1?y2?x0?2y0,y1y2?y0

?x0?y0?2?0

?AF?BF?y0?2y0?x0?1=y0?2y0??y0?2??1

22221?9?2=2y0?2y0+5=2?y0??+2?2??当y0??'2

9212时，

AF?BF取得最小值为

2

21. 解：f?x??3x?2kx?1

(1)当k?1时f?x??3x?2x?1,??4?12??8?0

?f''2?x??0,f?x?在R上单调递增.

'2（2）当k?0时，f?x??3x?2kx?1，其开口向上，对称轴x?1? 且过?0，k3k ，

x?k3-k （i）当??4k?12?4?k?23??k?3?0，即?3?k?0时，f?'?x??0，f?x?在?k,?k?上单调

递增，

7

从而当x?k时，f?x? 取得最小值m?f?k??k ,

当x??k时，f?x? 取得最大值M?f??k???k?k?k??2k?k. （ii）当??4k?12?4?k?23333??k?23?0，即k???3时，令f'?x??3x2?2kx?1?0

解得：x1?k?k?332,x2?k?k?33,注意到k?x2?x1?0,

2k3?k,从而k?x2?x1?0；或者由对称结合图像判断)

(注：可用韦达定理判断x1?x2??m?min?f?f13，x1?x2??k?,f?x1??,M32?max?f??k?,f?x2??

??x12?x1??f?k??x1?kx1?x1?k??x1?k?1??0

?f?f?x?的最小值m?x2??f?f3?k??k,

23222??k??x2?kx2?x2???k?k?k?k?=?x2?k?[?x2?k??k?1]?0 ?f?f?x?的最大值M??k???2k?k

33综上所述，当k?0时，f?x?的最小值m?f?k??k,最大值M?f??k???2k?k 解法2（2）当k?0时，对?x??k,?k?，都有

f(x)?f(k)?x?kx?x?k?k?k?(x?1)(x?k)?0，故f32332232332?x??f?k?

22f(x)?f(?k)?x?kx?x?k?k?k?(x?k)(x?2kx?2k?1)?(x?k)[(x?k)?k?1]?0故

f?x??f??k?，而

f(k)?k?0，f(?k)??2k?k?0

33所以 f(x)max?f(?k)??2k?k，f(x)min?f(k)?k

8

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