高中数学例题：平面与平面平行的判定

第 1 页 共 3 页 高中数学例题：平面与平面平行的判定

例4．已知正方体ABC D —A 1B 1C 1D 1，求证：平面AB 1D 1∥平面BDC 1．

【解析】要证明两个平面平行，由面面平行的判定定理知：须在某一平面内寻找两条相交且都与另一平面平行的直线．

【证明】如图，∵AB //A 1B 1，C 1D 1//A 1B 1，∴AB //C 1D 1，

∴四边形ABC 1D 1为平行四边形，∴AD 1∥BC 1．

又AD 1?平面AB 1D 1，BC 1?平面AB 1D 1，

∴BC 1∥平面AB 1D 1．

同理，BD ∥平面AB 1D 1，

又BD ∩BC 1=B ，∴平面AB 1D 1∥平面BDC 1．

【总结升华】利用面面平行的判定定理判定两个平面平行的程序是：（1）在第一个平面内找出（或作出）两条平行于第二个平面的直线；（2）说明这两条直线是相交直线；（3）由判定定理得出结论． 例5．如右图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1的中点．

求证：平面AMN ∥平面EFDB ．

【证明】连接MF ，

∵M 、F 分别是A 1B 1、C 1D 1的中点，且四边形A 1B 1C 1D 1为正方形， ∴MF //A 1D 1．

又A 1D 1//AD ，∴MF //AD ，

∴四边形AMFD 是平行四边形，∴AM ∥DF ．∵DF ?平面EFDB ，AM ?平面EFDB ，

第 2 页 共 3 页 ∴AM ∥平面EFDB ．

同理，AN ∥平面EFDB ．

又AM 、AN ?平面AMN ，且AM ∩AN=A ，

∴平面AMN ∥平面EFDB ．

【总结升华】应用判定定理时，一定要注意“两条相交直线”这一关键性条件，问题最终转化为证明直线和直线的平行．

举一反三：

【变式1】点P 是△ABC 所在平面外一点，123,,G G G 分别是△PBC ，

△APC ，△ABP 的重心，求证：面123//G G G 面ABC .

证明：连32,PG PG ，并延长分别交AB ，AC 于M ，Q ，连MQ .

因为32,G G 为重心，所以M ，Q 分别为所在边的中点.

又直线PM ∩PQ =P ，所以直线PM ，PQ 确定平面PMQ , 在△PMQ 中，因为32,G G 为重心，所以

323221PG PG G M G Q

==，所以23//G G MQ . 因为23G G ?面ABC ，MQ ?面ABC ，23//G G MQ ，所以23//G G 面ABC 同理13//G G 面ABC ，

因为13G G ?面123G G G ，23G G ?面123G G G ，13233G G G G G =，

23//G G 面ABC ，13//G G 面ABC ，

所以面123//G G G 面ABC .

【变式2】 如右图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点D ，E 分别是BC 与B 1C 1的中点．

求证：平面A1EB∥平面ADC1．

【证明】由棱柱的性质知，B1C1//BC，又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E//DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D，又C1D?平面ADC1，EB?平面ADC1，所以EB∥平面ADC1．

连接DE，同理，EB1//BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED//B1B．

因为B1B//A1A（棱柱的性质），所以ED//A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD，

又A1E?平面ADC1，AD?平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1．

由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E?平面A1EB，EB?平面A1EB，且A1E∩EB=E，所以平面A1EB∥平面ADC1．

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