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第一章 行列式

一、填空题

1. 按自然数从小到大为标准次序，则排列3421的逆序数为 ，32514的逆序数 为 .

2.四阶行列式中含有因子a11a23的项 ， .

3.按定义，四阶行列式有 项，其中有 项带正号，有 项带负号.

2x1?1 4.在函数f(x)??x?xx中，x3的系数是 . 12x111 5. abc? .

a2b2c23?11 6.设D??2?31，Aij为元素aij的代数余子式(i,j?1,2,3)，0122A13?A23?4A33? . 二、选择题

a100b11. 四阶行列式

0a2b200ba的值等于 （ ）

330b400a4（A） a1a2a3a4?b1b2b3b4 （B） a1a2a3a4?b1b2b3b4

（C） (a1a2?b1b2)(a3a4?b3b4) （D） (a2a3?b2b3)(a1a4?b1b4)

x1122.设f(x)?1x1?132x1，则x3的系数为 （ ）

112x1 （A）2 （B）1 （C）?1 （D）?2 3.在五阶行列式det(aij)中，下列各项中不是det(aij)的项为 （ ）

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则线性代数标准作业纸 班级 学号 姓名

（A）a31a43a21a52a55 （B）?a31a23a45a12a54 （C）a12a23a34a45a51 （D）a41a14a25a52a33

1?11x?11?1x?1?14.行列式的值为 （ ）

1x?11?1x?1?11?1（A）0 （B）(x?1)2(x?1)2 三、计算题

21411.

3?1211232 50

62

?abacae2.bd?cdde bfcf?ef

a1003.

?1b100?1c1 00?1d

（C）x2 第 2 页

D）x4

（线性代数标准作业纸 班级 学号 姓名

四、证明题

a21.2aabb21a?b2b?(a?b)3 11

a2(a?1)22.

b2(b?1)2c2(c?1)2d2(d?1)2

x?100x?13.???000a0a1a2

(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)200?xan?1(a?3)2(b?3)2(c?3)2?0

(d?3)200??an?1nxn?an?1x???a1x?a0?1an第 3 页

? ???线性代数标准作业纸 班级 学号 姓名

五、计算题

xa?a1.Dax?an????

aa?x

an(a?1)nan?1(a?1)n?12.Dn?1???aa?111

an?3.Db12n?a1c1d1?cn

(a?n)n(a?n)n?1?，提示：利用范德蒙德行列式的结果a?n1bn?，其中未写出的元素都是0

?dn第 4 页

?

???线性代数标准作业纸 班级 学号 姓名

1?a14.Dn?11?a2?1??11?，其中a1a2?an?0

1?1?1?an

??x1?x2?x3?0?5.问?，?取何值时，齐次线性方程组?x1??x2.?x3?0有非零解？

?x?2?x?x?023?1

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第二章 矩阵及其运算 （二）

一．填空题

1. 设A???11??1?1??AO?，，，则 C? . B?C???????21??01??OB?a2?0??1? ，（a1a2?an?0）.则A? .

???an??a1?2. 设A????0??123?????13. 设A为三阶可逆矩阵，且A?01?2，则A? .

????00?1???100???4. 设A?220，则(A?)?1? ；(A?1)?? . ????345??5.设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且A?a，B?b，C??6．设A为3阶矩阵，且A＝

?OA??，则C? . BO??1?1*，则(2A)?5A? . 2二．选择题

1. 设A为n阶可逆矩阵，A为A的伴随矩阵，则必有（ ） （A） A?A?n?1???1? （B） A?A （C） A?A （D） A?A

n?2. 设A、B都是n阶方阵，则下列等式中正确的是（ ）

TTT?1?1?1（A）AB?BA （B）(AB)?AB （C）(AB)?AB （D）AB?BA

3. 已知A为n阶方阵，且满足关系式A?3A?4E?0，则?A?E?2?1?( )

（A）A?E （B）

?1E?11A （C） ?E?A （D）22A?4E

三．计算与证明题

1. 求下列方阵的逆阵

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??5200?（1） ?2100????001?2?

?0011??

?12?1（2） ???34?2???

?5?41??

2. 解下列矩阵方程 (1) ??25??13??X???4?6??21??

?（2）X?21?1??210??1?????1?11???4

?13?32?

?第 12 页

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?010??100??1?43??????? (3) ?100?X?001???20?1?

?001??010??1?20???????

?010??1?1????? (4) 设AX?B?X,其中A??111,B?20,求X. ????????10?1???5?3??

3. 设PAP??, 其中P??

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?1??1?4???10?11, ?????, 求A.

?11??02?线性代数标准作业纸 班级 学号 姓名

4. 设A为n阶方阵，并且满足A?A?2E?0, 证明：A及A?2E都可逆，并求A及?A?2E?.

?1?12

5. 设Ak?0(k为正整数),证明

(E?A)?1?E?A?A2???Ak?1

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第二章 练习题

1. 设A为4阶方阵，A?

1,求3A??4A?1. 3??500????12. 已知A??0?12?，求A.

?031???

23??2????3. 设A?1?10，解矩阵方程AXA?E（其中A是矩阵A的伴随矩阵）.

?????121??

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?(2??)x1?2x2?2x3?1?三、设有?2x1?(5??)x2?4x3?2，问?为何值时，次方程组有唯一解、无解

??2x?4x?(5??)x????1123?或无穷解？并在有无穷解时求其解。

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第三章 练习题

1. 求作一个秩是4的方阵，使它的两个行向量是 （1,0,1，0,0）和（1，-1,0,0,0）

2.求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：

02??31??（1）?1?12?1?

?13?44???

?32?1?3?1???1?3? （2）?2?13?705?1?8???

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?x1?2x2?x3???23.非齐次线性方程组?x1?x2?2x3??，当?取何值时有解？并求出它的通解。

??2x?x?x??2123?

4.设A为m?n矩阵，证明：

（1）方程AX?Em有解的充分必要条件是R(A)?m； （2）方程YA?En 有解的充分必要条件是R(A)?n。

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5. 设A为m?n矩阵，证明：若AX?AY，且R(A)?n，则X?Y

6.证明R(A)?1的充分必要条件是存在非零列向量?及非零行向量?T，使

A????T.

7.已知三阶矩阵B?0，且B的每一个列向量都是以下方程组的解：

?x1?2x2?2x3?0??2x1?x2??x3?0?3x?x?x?023?1（1） 求?的值； （2） 证明B?0。

(?)

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第四章 向量组的线性相关性（一）

一、选择题

1．若向量组?,?,?线性无关，?,?,?线性相关，则 （ ） （A）?必可由?,?,?线性表示；（B）?必可由?,?,?线性表示； (C) ?必可由?,?,?线性表示； (D) ?必不可由?,?,?线性表示。 2．向量组?1,?2,?,?s线性无关的充要条件是（ ） （A）?1,?2,?,?s均不为零向量；

（B）?1,?2,?,?s中任意两个向量的分量成比例；

（C）?1,?2,?,?s中任意一个向量均不能由其余s?1个向量线性表示； （D）?1,?2,?,?s中一部分向量线性无关。 3.设向量组?1,?2,,?3线性无关，则（ ） （A）?1??2,?2??3,?3??1线性相关； （B）?1,?1??2,?1??2??3线性无关； （C）?1??2,?2??3,?3??1线性无关； （D）?1,?1??2,?1??2??3线性相关。

二、计算与证明

1.求向量组?1??1,2,?1,4?，?2??9,100,10,4?，?3???2,?4,2,?8?的秩，并求一个

TTT最大无关组。

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2.设?1??2,0,?1,3?，?2??3,?2,1,?1?，?1???5,6,?5,9?，?2??4,?4,3,?5?，证

TTTT明向量组?1,?2与?1,?2等价。

3.设?1,?2,?,?n是一组n维向量，证明它们线性无关的充要条件是：任一维n向量可由它们线性表示。

4.设?1??1,1,1?，?2??1,2,3?，?3??1,3,t?，

TTT（1）问t为何值时，向量组?1,?2,?3线性无关；（2）问t为何值时，向量组?1,?2,?3线性相关，并将?3表示为?1,?2的线性组合。

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第四章 向量组的线性相关性（二）

一、填空题

1.设A为n阶方阵，X,b均为n维列向量，B?(A,b)，则非齐次线性方程组AX?b有解的充要条件是 ；有唯一解的充要条件是 ；有无穷多解的充要条件是 。

2.设齐次线性方程组AX?0，其中A为m?n矩阵，X为n维列向量，R(A)?r，则线性方程组AX?0的基础解系中有 个向量，当 时，方程组只有零解。

?x1?x2?03.四元齐次线性方程组?的一个基础解系为 。

x?x?04?2?x1?x2??a1?x?x?a?2324.若线性方程组?有解，则常数a1,a2,a3,a4应满足条

?x3?x4??a3??x4?x1?a4件 。

二、选择题

1.若

?1,?2,?3,?1,?2都是四维列向量，且四阶行列式?1,?2,?3,?1?m，

?1,?2,?3,?2?n，则行列式?1,?2,?3,?1??2等于（ ）

（A） m?n； (B) ?(m?n)； (C) n?m； (D) m?n。

2.设A为m?n矩阵，Ax?0是非齐次线性方程组Ax?b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）

(A) 若Ax?0仅有零解，则Ax?b有唯一解； (B) 若Ax?0有非零解，则Ax?b有无穷多个解； (C) 若Ax?b有无穷多个解，则Ax?0仅有零解； (D) 若Ax?b有无穷多个解，则Ax?0有非零解。

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??x1?x2??2x3?0?3.齐次线性方程组?x1??x2?x3?0的系数矩阵记为A，若存在三阶方阵B?O，

?x?x??x?023?1使AB?O，则（ ）

(A)???2且B?0； (B) ???2且B?0； (C) ??1且B?0； (D) ??1且B?0。

4.已知?1,?2是非齐次线性方程组Ax?b的两个不同解，?1,?2是对应的齐次线性方程组Ax?0的基础解系，k1,k2为任意常数，则非齐次线性方程组Ax?b的通解为（ ） (A)k1?1?k2(?1??2)??1??22； (B) k1?1?k2(?1??2)??1??22；

(C) k1?1?k2(?1??2)??1??22；(D) k1?1?k2(?1??2)??1??22。

三、计算与证明

?x1?2x2?x3?x4?0?1.求齐次线性方程组?3x1?6x2?x3?3x4?0的一个基础解系。

?5x?10x?x?5x?0234?1

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x1?x2?x3?x4?x5?3??2x?x?3x?3x?4x?14?123452. 求线性方程组?的通解。

?3x1?4x2?x3?3x4?2x5??11??x1?x2?4x3?8x4?4x5?31

*3.设?是非齐次线性方程组Ax?b的一个解，?1,?,?n?r是是对应的齐次线性方程组

Ax?0的一个基础解系。证明：（1）（2）?1,?,?n?r线性无关；?*，?*,?*??1,?,?*??n?r线性无关。

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4.V1?(x1,x2,?,xn)x1?x2???xn?0,x1,?xn?R?

?V2??(x1,x2,?,xn)x1?x2???xn?1,x1,?xn?R?

问V1,V2是不是向量空间，为什么？

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第四章 练习题

?a??2??1??2?????????1. 设向量组?3?,?b?,?2?,?3?的秩为2，求a,b。

?1??3??1??1?????????

2.设b1?a1?a2，b2?a2?a3，b3?a3?a4，b4?a4?a1，证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关。

3.设n阶矩阵A满足A?A，E为n阶单位矩阵，证明R(A)?R(A?E)?n

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2线性代数标准作业纸 班级 学号 姓名

?2?213?4.设A???9?528??，求一个4?2矩阵B，使得AB?O,且R(B)?2。

??

5.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知?1,?2,?3是它的三个解向量，且

?2??1?????3???2??1???,?2??3???,求该方程组的通解。

43?????5??4?????

5. 设矩阵A?(a1,a2,a3,a4)，其中a2,a3,a4线性无关，a1?2a2?a3，

b?a1?a2?a3?a4，求方程组Ax?b的通解。

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第五章 相似矩阵和二次型（一）

一、选择

1.设A为n阶可逆矩阵，?是A的特征值，则伴随矩阵A的特征值之一是（ ）

（A） ??1*A （B） ??1A （C） ?A （D） ?A

nn2.设A,B，都是n阶正交矩阵，则下列矩阵是正交矩阵的为（ ） （A） A?B （B）A?B （C） AB （D）A?B

22?1?3.设??2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵?A2?有一个特征值等于（ ）

?3?（A） 4 （B）3 （C）1 （D）1

?13424二、填空

1. 设A?(a1,a2,?,an)为n阶正交阵，则内积??ai,aj??? ?i,j?1,2,?,n?. 2.设n阶矩阵A的元素全为1.则A的n个特征值是 .

3. 设A为n阶矩阵，A?0， A为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值

*?，则A??*2?E必有特征值 . 24.设矩阵A满足A?A，则A的特征值只能是 . 三、计算与证明

?111???1.试用施密特正交化方法把向量组(a1,a2,a3)??124?正交化.

?139???

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?122???2. 求矩阵A??212?的特征值与特征向量.

?221???

3. 已知3阶方阵A的特征值为1,2,-3，求A?3A?2E.

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第五章 相似矩阵和二次型（二）

一、选择

1.设A、B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则（ ）

（A）?E?A??E?B （B）A与B有相同的特征值和特征向量 （C）A与B都相似于一个对角矩阵 （D）对于任意常数t，tE?A与tE?B相似 2. n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的（ ）

（A）充分必要条件 （B）充分而非必要条件 （C）必要而非充分条件 （D）既非充分也非必要条件

?13.设??2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵??1??3A2??有一个特征值等于（ （A） 43 （B）34 （C）12 （D）14

二、计算与证明

?121.求矩阵A??3??213??的特征值与特征向量，并问它的特征向量是否两两正交？

??336??

2.设A、B都是n阶方阵，且A?0，证明AB与BA相似.

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）

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?400????13.求矩阵A??031?，求一个正交矩阵P，使PAP??为对角矩阵.

?013???

?4.设方阵A??1??2???4

?2?4??5?x?2??，与???y?.

?21????4?相似，求x,y????第 36 页

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第五章 相似矩阵和二次型（三）

一、填空

2221.二次型f?2x1?x2?x3?2x1x2?tx2x3是正定的，则t的取值范围是 .

二、计算与证明

1.用矩阵符号表示二次型：

2222f?x1?x2?x3?x4?2x1x2?4x1x3?2x1x4?6x2x3?4x2x4 .

2222.求一个正交变换化二次型f?2x1?3x2?3x3?4x2x3成标准型 .

2223.用配方法化二次型f?x1并写出所用变换?x2?x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3成标准型，

阵 .

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2224.判别二次型f??2x1?6x2?4x3?2x1x2?2x1x3的正定性 .

5.证明对称阵A为正定的充分必要条件是存在可逆矩阵U，使A?UU .

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第五章 练习题

1? 判断下列矩阵是不是正交阵:

11??1???1??23?9??11?81 (1)??; (2)???9?22??4?1?1?1????2?3??9

89194?9?4???9?4?? 9?7??9?2? 设x为n维列向量?xx?1 令H?E?2xx ? 证明H是对称的正交阵?

TT2??2?1??3?的特征值和特征向量. 3? 求矩阵?5?3??10?2???

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4? 设A为n阶矩阵? 证明A与A的特征值相同?

5? 设n阶矩阵A、B满足R?A??R?B??n 证明A与B有公共的特征值? 有公共的特征向量?

6? 设A?3A?2E?0，证明A的特征值只能取1或2?

第 40 页

2T

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