有关阿波罗尼斯圆的探究及应用

《数学之友》2011年第16期

有关阿波罗尼斯圆的探究及应用

姜卫东

（江苏省扬州中学，225009）

B是平面内的两个定点，初始问题：设A，平面

内的动点C到点A的距离与到点B的距离的比为定值λ（λ＞0），求点P的轨迹．这是一个简单的问题，我们可以通过解析法来处理．可设定线段AB的长2a（a＞0），以线段AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴，建立直

0），B（a，0），y）．由角坐标系，这时A（－a，设P（x，CAx+a）+y=λ，=λ，：（1－λ2）x2+得化简得

CBx－a）+y（1－λ2）y2+2a（1+λ2）x+a2（1－λ

2

）

=

．

当

λ

=

1

时

，

方程即为

x

=

0，此时轨迹是y轴，也就是线段AB的中垂线；当λ＞0且λ≠1时，配方整

a（λ2+1）2

+y2=理得：x－2

λ－1

可得性质1．

CN分别是∠ACB及其外角的平分性质2：CM，

线，且CM⊥CN．

AMCA

=在△ABC中，据阿氏圆的定义可知=

MBCBλ．利用平面几何知识可证：CM平分∠ACB，同理可

从而易得CM⊥CN．证：CN平分∠ACB的外角，

2关于阿波罗尼斯圆之应用

对于阿氏圆及其相关性质，在各类考试中都有

所涉及，在解题中有较广泛的应用．2．1

直接考查与阿氏圆有关的轨迹问题

例1如图：圆O1和圆O2的半径都等于1，

[]

O1O2=4，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM

，

PN

（

M

，

N

为切点

）

使得

：

PM

=试确定平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．解：本题就属于考查与阿氏圆有关的轨迹问题．当然在求切PN时，线长PM，不应直接用两

点间的距离公式来求，而应构造Rt△，利用勾股定理来求．如图，以O1O2的中点

O1O2所在直线为x为原点，

轴，建立坐标系．则O1（－2，

0），O2（2，0），y），设P（x，由PM=得：PM2=2PN2，

2∴PO2代入点的坐标并化简得：1－1=2（PO2－1），

(2aλ

，此时轨迹是一个圆，2

λ－1)

2

a（λ2+1）2aλ，0，它的圆心为半径为2如右图2

λ－1|λ－1|()

所示．

实际上，在上面问题中（λ≠1）所涉及到的圆，

就是著名的阿波罗尼斯圆（以下简称阿氏圆）．

1关于阿波罗尼斯圆之探究

（1）由前面的解题过程可知：在平面内，满足

CA

CB

=λ（λ＞0，λ≠1）的动点C的轨迹是阿氏圆．实际根据轨迹方程的纯粹性和完备性可知，阿氏圆上上，

的任意一点C也必定满足

CA

=λ（λ＞0，λ≠1）．CB

（x－6）2+y2=33，这就是所求的轨迹方程．

实际上，类似的问题在全国高考卷中早已考过．0）和圆C：x2+例如：已知直角坐标平面上点Q（2，

y2=1，动点M到圆C的切线与|MQ|的比等于常数λ（λ＞0），求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．2．2

以阿氏圆为载体（背景）考查定点、最值问题例2

22

0），已知圆C：x+y=9，点A（－5，直线

（2）由前可知，阿氏圆的直径必在直线AB上，

N，在上图中，若设它的两个端点为M，则有以下两个性质：

N分别是线段AB的内分点和外分性质1：M，点，且

AMAN

==λ（λ＞0，λ≠1）．MBNB

N在阿氏圆上，因为M，故由阿氏圆的定义直接·56·

l：x－2y=0．

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（1）求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；

（2）若在直线OA上（O为

存在定点B（不同坐标原点），

满足：对于圆C上任意一点P，都有于点A），

常数，求所有满足条件的点B的坐标．

0），解：（2）假设存在这样的点B（t，使得

222

∴（x－t）常数λ，则PB=λPA，

2

整理得：S△ABC=代入上式，

－（x－12），由三

16

+x＞2且x+2＞，角形的三边关系知解得2

PB

为一PAPB为PA

－2＜x＜2+2，时，S△ABC取得最大故当x=2值为2此种解法，是函数思想的具体应用，而且在求解的过程中，应注意充分运用隐含条件“三角形中三，边之间的关系”求出函数的定义域．这种仅从数的角度来研究问题显得较为繁琐！如果换个角度思考问题，即从形的角度来考虑，借助于阿氏圆来处理，就要方便得多！略解如下：

由三角形的面积公式可

知

，

要使得

S

△

ABC

达到最大

，

只需

AB

边上的高达到BC，最大即可．又由AC=得AC

=所以点C的轨迹就是BC一个阿氏圆，从图形容易知道

AB边上的高的最大值．以AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立坐标系（如右图所示）．设C（x，y），A（－1，0），B（1，0），∵标并化简得：（x－3）

2

+y2=λ2［（x+

222

5）2+y2］，将y=9－x代入，整理得2（5λ+t）x+

3］∴5λ2+t=034λ2－t2－9=0对x∈［－3，恒成立，39

t=－或λ=1，t且34λ－t－9=0，解得λ=，55

2

2

=－5（与点B重合，故舍去），所以存在点B

(

－

9PB3

，0对于圆C上任一点P，都有为常数．5PA5

)

从表面上看，本题是以阿氏圆为背景的一个解析几何的定点问题，我们是通过变量分离，转化为恒如果对题目再进行深等式来处理．但这还远远不够，

我们就可以发现，本题中圆O可看成是入地分析，

A两点而言，对于B，比值为

3

的一个阿氏圆．因此5

AC

=代入点的坐BC+y2=8，0）为圆它是以（3，

本题与前面的例1与例2可以看成是互逆的问题，

B及比值求阿氏圆；前面的两例题是已知两定点A，

而例3是已知一个定点A及阿氏圆求另一个定点B

及比值．正是有了阿氏圆的知识，才让我们认请问题的本质，明了命题者的命题思路．实际上，命题者是0），B－从下题“已知A（－5，

2，心，由图易知，当C在圆的最高点

C点到AB的距离（也就是AB边上的或最低点时，高）达最大为2∴（S△ABC）

max

=

1

AB·2=22

(

9，0，动点P满足5

)

比较两种解法可知，采用解法二，借助阿氏圆，利用数形结合的思想来处理，显然要便捷得多！2．3

巧用阿氏圆的性质快捷解答竞赛题

对于某些竞赛试题

，

如能巧妙地运用阿氏圆的

PB3

=，求动点P的轨迹方程”进行改编后得到本PA5

题的，将条件“B－

(

9PB3

，0及=”改为结论，而5PA5

2

2

)

相关知识来处理

，

有时就能缩短思维路径

，

简化解题

过程

，

起到事半功倍的效果

！

例4

设凸四边形ABCD

的两组对边所在的直线分别交

F两点，于E，两对角线的交点为P，过P作PO⊥EF于O．求证：∠BOC=∠AOD．

解：先证OP是∠AOC的平分线，再证OP亦是∠BOD的平分线即可．

不妨设AC交EF于Q，考虑△AEC和点F，

EBAQCD

=1．①由梅涅劳斯定理可得··

BAQCDE再考虑△AEC与截线BPD，

（下转第59页）

·57·

“动点P的轨迹方程x+y=9”改为条件．将结论

对于有些高考题，若能借助阿氏圆的知识来处有时会得到非常简便的解法！理，

例3是

．

AC=，若AB=2，则S△ABC的最大值

对于此题，较常见的解法是通过设变量，建立目标函数来解决最大值问题．略解如下：设BC=x，则AC=，据面积公式得：S△ABC=

1

AB·BC·sinB2

4－x2

=x－cosB．又据余弦定理有cosB=，将其

4x

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初始条件为x（0）=0．2．将方程分离变量并积分，

x

dx

=初值解满足

0．20．05－x

∫

4dt．∫45

0－t

4

4

并求出x有x=0．05+0．15e．

t=30分钟=1800秒代入得x=0．05．即开动通风设备30分钟后，室内CO2的含量接近0．05%，基本上已是新鲜空气了．

3牛顿冷却定律的应用

dT

=－k（T－21），dt

T（0）=34，T（1）=32．

－0．167t

．解得T（t）=21+13e

设死者死亡时为正常体温37度，即T=37，由

113

ln≈－1．25小时．上式求出死亡时间t=

0．16716

由此推断出，死者的死亡时间为6：00－1：15=4：45，即下午4：45左右，因此李某有作案时间不能排除嫌疑，张某无作案时间．

{

例4有一种医疗手段，是把示踪梁色体注射到胰脏里去检查其功能．正常胰脏每分钟吸收染色的40%．

30分现有一内科医生给某人胰脏注射了0．3克染色，

钟后还剩下0．1克，试问此人的胰脏是否正常．

解：正常情况下，设S（t）表示注射染色体后t分

dS

钟时人胰脏中的染色量，则每分钟吸收的染色为

dt

=－0．4S，本题可知S（0）=0．3，

dS

=－0．4S，

故得到定解问题dt

S（0）=0．3．

－0．4t

，通过分离变量法，解得S（t）=0．3e

则30分钟后剩余的染色量为S（30）=0．3e－0．4×30≈0．而实际此人剩余0．1克，由此可知，此人的胰脏不正常，应该接受治疗．

檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸（上接第57页）

EDCPAB交时，同理可证：OP平分

=1．②由塞瓦定理有··

DCPABE∠BOD．而当BD与EF平行时，

APPCAPAQ过B作ED的平行线交AC于G=，∴=，③比较①②两式，可得

AQQCPCQCAGABAD

（），==故如右图则，：PEF得到此比例式后一般的做法是过作的ACAEAF

OC于I，J，平行线分别交OA，GD∥CF，从而BCDG是平行四

PIAPJPPC边形．于是P为BD的中点．因此OP平分∠DOB．==．④则有

QOAQQOQC

PIJP=，由于③④可得从而PI=PJ．又OP⊥QOQO

参考文献：

IJ，则PO平分∠IOJ，即PO平分∠AOC．

［1］黄全福．利用阿波罗尼斯圆解竞赛题

．这种解法不仅繁琐而且不易想到但若运用阿

［J］．中等数学，2010．

APAQ

=，［2］王雪峰．数学及高考中的阿波罗尼斯圆氏圆的知识来解，就较方便！由又∵PO⊥PCQC

［J］．中学数学教学参考，2009，（4）．

OQ，O必在阿氏圆上且PO平据阿氏圆的性质知，

［3］朱波．“阿波罗尼斯圆”．考试妙用［J］

分∠AOC．

（高中数学版），2010，（Z5）．

接下来，证明OP平分∠DOB．当BD与EF

相

牛顿冷却定律：把温度为T的物体放入处于常

T的变化速率正比于物体的瞬时温温T0的介质中，

度与周围介质温度T0之差．

dT

设物体的温度为T（t），于是可列微分方程=

dt

－k（T－T0），k＞0．

例3某小镇发生凶杀案，法医于下午6点到

1小时后又达现场，测得此时尸体的温度为34度，

测得尸体的温度为32度．假设室温为常温21度．警方经过反复排查，圈定了两名犯罪嫌疑人张某和李

但二人均辩称自己无罪，并陈述了各自当日下午某，

5点下的活动情况．张某称，他下午一直在办公室，

4点30分左右接班后离开．李某称，下午一直上班，

到电话后离开．二人所说均被证实，从二人上班地点到案发现场只需要10分钟，试分析两人能否都排除嫌疑？

解：设尸体在t时刻的温度为T（t），由牛顿冷却定律可得定解问题

4医学中的应用

{

·59·

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