工科物理大作业08-恒定磁场(2)

08

08 恒定磁场（2）

班号 学号 姓名 成绩

一、选择题

（在下列各题中，均给出了4个~5个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）

1．用电子枪同时将两个电子a、b射入图8-1所示均匀磁场B中，已知a电子和b电子的初速度分别为v和2v ，两者的方向如图所示。则先回到出发点的电子是：

A．a电子； B．b电子；

C．它们都不会回到出发点；

D．它们同时回到出发点。 （D） [知识点] 洛仑兹力，回旋周期。

[分析与解答] 由洛仑兹力FL??ev?B知，两个电子受到与v垂直的FL的作用将作圆周运动，则经过一个周期后会回到出发点，且a和b电子回旋周期均为 T?a2vvb

图8-1

2?m eB

2．如图8-2所示是一带电粒子在云雾室中的运动径迹图，云雾室处于图示的均匀磁场中。当粒子穿过水平放置的铝箔后，继续在磁场中运动，考虑到粒子穿过铝箔后有动能损失，则由此可判断：

A．粒子带负电，且沿a?b?c运动； B．粒子带正电，且沿a?b?c运动； C．粒子带负电，且沿c?b?a运动；

D．粒子带正电，且沿c?b?a运动。 （A） [知识点] 运动电荷在磁场中的运动规律。

[分析与解答] 带电粒子在磁场中受到与速度垂直的洛仑兹力作用而作圆周运动，其回旋半径R?abc

图8-2

mv，即R?v。 qB由题意知，离子穿过铝箔后有动能损失，即v将减少，则其回旋半径R将减少，则可知带电粒子径迹是沿a→b→c运动。

粒子速度v的方向a→b，由图知B的方向垂直于纸面向内，而FL指向弯曲内侧，由洛仑兹力

FL?qv?B知带电粒子带负电。

3．如图8-3所示，均匀磁场的磁感强度为B，方向沿y轴正向，要使电量为q的正离子沿x轴正向作匀速直线运动，则必须加一个均匀电场E，其大小和方向为： A．E?B，E沿z轴正向； vB，E沿y轴正向； vyB B．E?vOzx C．E?Bv，E沿z轴正向；

D．E?Bv，E沿z轴负向。 （ D ） [知识点] 洛伦兹力公式。

图8-3

[分析与解答] 在电磁场中，当电荷q受力Fe?FL?0时，将作匀速直线运动，q受到的洛仑兹力为 FL?qv?B?qvBk 则q受到的电场力应为 Fe??FL??qvBk?qE 即 E??vBk，沿z轴负向

4. 如图8-4所示，3根平行共面的无限长直导线a、b、c等距离放置，各导线通过的电流值分别为Ia?1A，Ib?2A，Ic?3A，且电流方向都相同。则导线a和b单位长度上所受安培力

Fa与Fb的比值为：

A．

75； B．； 16875； D．。 （ C ） 84IaIbIcddC．

ab[知识点] 安培力的计算。

[分析与解答] a、b导线所在处的磁场为B1、B2且 Ba?

图8-4

c μ0Ibμ0Ic7μ0μIμIμ??， Bb??0a?0c?0 2?d2??2d4?d2?d2?d?d则单位长度导线受力为 Fa?IaBa?则

7μ02μ0， Fb?IbBb? 4?d?dFa7? Fb85．如图8-5所示，在均匀磁场B中，放置面积均为S，通有电流均为I（方向如图）的两个单匝线圈，其中一个是正三角形，另一个为正方形。线圈平面均与磁场线平行。设Pm为线圈磁矩，M为磁场对线圈的磁力矩，

?F为磁场对线圈的合力。则两线圈的

A．Pm相同，M相同，?F?0； B．Pm相同，M相同，?F?0； C．Pm相同，M不同，?F?0；

D．Pm不同，M不同，?F?0。 （A）

IBI 图8-5

[知识点] 磁矩、磁力矩与安培力的概念及判断。

[分析与解答] 对正三角形，Pm?IS，方向为⊙；M?PmBsin90??ISB，方向向上。

?F??IBacos30?i?IBasin30?j????IBacos30?i?IBasin30?j??IBaj?0

对正方形，Pm?IS，方向为⊙；M?PmBsin90??ISB，方向向上。

6．磁介质有3种，用相对磁导率?r表征它们各自的特性时： A．顺磁质?r>0， 抗磁质?r < 0， 铁磁质?r>>1； B．顺磁质?r>1， 抗磁质?r＝１，铁磁质?r>>1； C．顺磁质?r>1， 抗磁质?r < １，铁磁质?r>>1；

D．顺磁质?r>0， 抗磁质?r < 0， 铁磁质?r > 1 。 （ C ） [知识点] 磁介质的性质

7. 在下列关于恒定磁场中磁场强度H的表述中，正确的是： A．H仅与传导电流有关；

B．若闭合回路L内没有包围传导电流，则回路L上各点的H必为零； C．若闭合回路L上各点H均为零，则回路L所包围传导电流的代数和为零； D．以闭合回路L为边缘的任意曲面的H通量均相等。 （C） [知识点] 有介质时磁场的性质。

[分析与解答] H不仅与传导电流有关，还与磁化电流有关；由安培环路定理知，若闭合回路没有包围传导电流，则H?dl?0，但不能说回路L上各点H = 0；若回路L上各点H = 0，则

?F??IBbk?IBbk?0

??H?dl??Ii?0，即回路L内所包围传导电流的代数和为零。

由磁场性质，以闭合回路L为边沿的任意曲面B通量相等，H通量不一定相等。

8. 如图8-6所示，一载流细螺绕环，它由表面绝缘的导线在铁环上密绕而成，每厘米绕10匝，当导线中的电流为I = 2.0A时，测得铁环内的磁感强度的大小为B = 1.0T。已知真空磁导率

?0?4π?10?7T?m/A，则可求得铁环的相对磁导率?r为：

A. 7.96?10； B. 3.98?10；

C. 1.99?10； D. 6.33?10。 （ B ） [知识点] 介质中的安培环路定理应用。 [分析与解答] 由安培环路定理H?dl?2322??Ii，有

2?rH?NI 即 H?NI?nI 2?rII而 B?μ0μrH?μ0μrnI 则 μr? 图8-6

B μ0nI代入相关数据，铁环的相对磁导率为 μr?

1.02 ?3.98?10?74??10?1000?2二、填空题

1. 一个电子以速度v进入均匀磁场B中，其所受洛伦兹力的矢量表达式为FL? ?ev?B ；

Be2R2mv2?此后，该电子在此力的作用下作半径为R的圆周运动，则其磁矩的大小为Pm? 。 2m2B[知识点] 洛仑兹力的方向，磁矩的计算。

[分析与解答] 由洛仑兹力FL??ev?B可知，FL的方向还与电荷的电性有关，此题中FL方向与

v?B相反。

在洛仑兹力作用下，电子作圆周运动，回旋半径R?mv2?m，回旋周期T?。 eBeBeBe2?其等效圆电流为 I? T2?mBe2Be2?mv?mv22则磁矩为 Pm?IS? ?R????2?m2m?eB?2B

2．质量为m的带正电油滴，以速度v水平射入相互垂直的均匀电场E和均匀磁场B中，如图8-7所示。则当油滴能沿直线穿过电、磁场区域时，油滴所带的电荷q2?

mg 。

vB?E[知识点] 洛仑兹力。

[分析与解答] 油滴穿过如图所示电、磁场时，受到三个力的作用，即

电场力 Fe?qE，其方向向下； 磁场力 FL?qvB，其方向向上； 重力 Fg?mg，其方向向下。

欲使油滴能沿直线运动，则需满足 Fe?mg?FL 即 qE?mg?qvBFL 则 q?mqv 图8-7

mg

vB?E3．杂质半导体可分为N型（载流子为电子）和P型（载流子为带正电的空穴），如图8-8所示，将一块带有电流I的某型半导体薄片置于垂直于薄片平面的均匀磁场B中，实验测得a、b两侧的电势为Ub?Ua，则可知该半导体是 N型半导体 。

BIbI[知识点] 霍耳效应判定半导体类型。

[分析与解答] 由题意知Ub?Ua，即半导体薄片中a端积累负电荷，b端积累正电荷。

若为空穴导电，空穴的运动方向与电流方向一致，由洛仑兹力公式知，正电荷受到指向a端的洛仑兹力作用，将出现a端正电荷积累，这与题意相反。

a

图8-8

若为电子导电，电子的运动方向与电流相反，则电子受到指向a端的洛仑兹力作用，将出现a端负电荷积累，与题意一致。

4．如图8-9所示，以电流元(Idl)1为圆心，以R为半径作一圆周，并将圆周分为八等分，把另一电流元(Idl)2沿切线方向、沿逆时针方向依次放置在圆周等分点1、2、…、7、8上，则电流元

(Idl)2

受力最大的位置点是 3，7 ； 受力为零的位置点是 1，5 ； 受力指向圆心的位置点是 2，3，4 ； 受力背向圆心的位置点是 6，7，8 。

[知识点] 毕奥-萨伐尔定律和安培力公式。

[分析与解答] 按题意?Idl?1在其周围要激发磁场，且

81 图8-9

5674(Idl)23O(Idl)12

dB?μ0?Idl?1?er，?Idl?2置于圆周1，2，…，7，8各点就要受24?r

到磁场的作用，即dF??Idl?2?B。

由于在3、7位置的磁场最强，且方向与?Idl?2垂直，所以受力最大；而在1、5位置的磁场最弱（为零），故受力为零；由右手螺旋法则可知，在2、3、4位置磁场方向为?，在6、7、8位置

?Idl?2在2、?Idl?2磁场方向为⊙，再由安培力公式dF??Idl?2?B可得，3、4位置受力指向圆心，

在6、7、8位置受力背向圆心。

5．一根长为L的直导线a和一半径R?L/2的半圆形导线b，它们均通有电流I，并处于磁感强度为B的均匀磁场中，位置如图8-10所示。则它们分别所受安培力的大小为Fa向为 垂直纸面向内 ；Fb[知识点] 安培力公式

[分析与解答] 在直导线a上取电流元Idl，由安培定律知，其受到安培力dFa?IdlB，方向为?，则

LaIdl? IBL ，方

? IBL ，方向为 垂直纸面向外 。

IROb 图8-10

dl?BFa??IdlB?IBL，方向垂直纸面向内。

a 同理，在半圆形导线b上取电流元Idl，其受到安培力

dFb?IdlBsinθ，方向为⊙，则

Fb?IdlBsinθ?b???0IdlBsinθ??IRBsinθdθ?2RIB?IBL，方向垂直纸面向外。

0?

6．如图8-11所示，导线abcd弯成图示形状，通过电流I，置于与均匀磁场B垂直的平面上，选图示Oxy坐标，则此导线受到的安培力为Fabcd? IB(l1?2R)j 。

[知识点] 补直线的方法，闭合回路所受磁场力为零。

[分析与解答] 设想添加da直导线，其电流为I ，方向d→a ，构成闭合回路abcda。 由于垂直于磁场B的闭合回路所受磁场力为零，即 Fab?Fbc?Fcd?Fda?0 而 Fda?OyxbIB?adIdl?B??IB?dlj

daa?l1l2c 图8-11

??IBdaj??IB?l1?2R?j

所以 Fabcd?Fab?Fbc?Fcd??Fda?IB?l1?2R?j

ORdI

7. 一线圈载有电流I，处在均匀磁场B中，线圈形状及磁场方向如图8-12所示，线圈受到磁力矩的大小为M?

52?RIB ；若从O1看向O1′，则线圈将绕O1 O1′轴 逆 时针转动。 2[知识点] 磁力矩M?Pm?B。

[分析与解答] 平面载流线圈的磁矩Pm?ISn，磁矩方向和线圈电流方向成右手螺旋关系，方向指向纸面内。磁矩的大小为

Pm?I?R?2R??πRI

2?2?2线圈在磁场中的磁力矩为

BO22RRO'1 图8-12

?π2π?2??52O1IO'2 M?Pm?B

大小为 M?Pmsinπ5B?πR2IB 22?指向O1。 方向由O1?轴逆时针转动。 所以，线圈在此磁力矩作用下将绕O1O1

8．一台电流计的线圈面积为S?60cm，共N = 200匝，其中通电流I?10μA，处在B?0.1T的均匀磁场中，则线圈磁矩的大小为Pm2? 1.2?10?5 A?m2；其所受的最大磁力矩的大小

Mmax? 1.2?10?6N?m ；若要使磁力矩M?30?或150? 。

[知识点] 磁力矩的计算。

1Mmax，则线圈正法线方向与B应成?? 2?6?4?52[分析与解答] 线圈的磁矩为 Pm?NIS?200?10?10?60?10?1.2?10A?m

磁力矩 M?PBsinθ

?5?6 最大磁力矩为 Mmax?PB?1.2?10?0.1?1.2?10N?m

当M?11Mmax时，PBsin??PB 221π5? 即 ??或 266则 sin??

三、计算与证明题

1．如图8-13所示，磁导率为?1的无限长磁介质圆柱体A，半径为R1，其中均匀通有电流I1，其外有半径为R2的无限长同轴圆柱面C，AC之间充满着磁导率为?2的无限大均匀磁介质，在圆柱面C上通有相

?2I2R2R1AO?1I1C

图8-13

反方向的电流I2。试求该系统磁感强度B的分布。

[分析与解答] 按介质中的安培环路定理，取以O为圆心，r为半径的安培环路L，有

?LH?dl?H?2?r??I

则

H??I ， B???I

2?r2?r?R1时，?I?所以，当rI1?1I1r2， ??rB?1222?R1?R1?2I12?r

当R1当r

?r?R2时，?I?I1 ，B2??R2时，?I?I1?I2， B3?I1?I2 2?r 2．如图8-14所示，通有电流I、半径为R的半圆形闭合曲线，共有N匝，放在均匀外磁场B中，B的方向与线圈正法线方向成??60。试求：

（1）线圈的磁矩Pm；

（2）此时线圈所受的磁力矩M；

（3）从该位置转到平衡位置时，磁力矩的功A。

In 图8-14

?RIB?12[分析与解答] （1） Pm?NIS?NIπR

2 方向：与n一致。

（2）由于 M?Pm?B

M?PmBsin60??方向：竖直向上。

133NI?R2B?NIB?R2 224（3）线圈处于平衡位置时，M?0，即??0，n与B同向。

A?I(?m2??m1)?IBN(S2?S1)

=IBN(表明磁力矩作正功。

3. 在电流强度为I0的长直导线产生的磁场中，有一等腰直角三角形线圈，线圈平面与长直导线共面，线圈通过的电流强度为I，如图8-15(a)所示，试求：

（1）通过等腰直角三角形线圈的磁通量；

11212?R??Rcos60?)=NIB?R2 224（2）各边受到的磁场力及整个线圈受到的合力。 [分析与解答]

（1）建立如图所示的坐标系，长直导线电流I0产生的磁场为

yIdSbOADB??0I02πx，方向垂直纸面向里

I0距轴线x处取宽为dx、高为h的面积元dS（绕行方向为顺时针），其面积为

dS?hdx?(x?b)tan450dx

aCx 图8-15（a）

x 面积元dS的磁通量为

?Id?m?B?dS?00(x?b)dx

2?x?m??d?m??b?a?b三角形线圈的磁通量为

?0I0(x?b)dx 2?x?0I0a?b(a?bln) 2?b（2）等腰直角三角形线圈上任意电流元Idl的方向都与长直导线电流I0在该处产生的磁场B垂直。

对于CD边，将其分割为无限个电流元Idl，由于每个电流元所在处磁感强度大小相等，方向一致。由安培力公式可知FCD的大小为

FCD?BIa??0I02π(a?b)Ia??0I0Ia2π(a?b)，方向沿x轴负方向

对于AC边，每个电流元受到的安培力方向相同，但每个电流元所在处的磁感强度大小不同，所以

FAC??a?b?0I02πxbIdx??0I0I2π?a?bbdx?0I0Ia?b?ln，方向沿y轴正向 x2πb对于DA边，每个电流元受安培力方向相同，如图8-15 (b)所示，因而

dF?IdlB

FDA???0I02πxIdl

DIdldF

统一积分变量，由几何关系可知

π?dx?dlcos

4Ab代入FDA公式可得

45° 图8-15 (b)

FDA???0I0I(?dx)π2πxcos4a?b??0I0I22π2?a?bbdx x

?2?0I0Ia?bln 2πb把FDA投影到坐标轴上，则

FDAx?FDAcosFDAy?FDAsinπ?0I0Ia?b，方向沿x轴正向 ?ln42πbπ?0I0Ia?b，方向沿y轴负向 ?ln42πb

线圈受到的合力为

F??Fxi??Fyj?

?0I0I2π(lna?ba?)i ba?b4．如图8-16所示，两根带电平行长直导线a和b，电荷线密度分别为?a和?b，相距为d，均以速度v沿x轴方向运动。试求：

（1）运动的带电导线形成的电流Ia和Ib；

（2）两导线各自单位长度所受的电场力Fea和Feb； （3）两导线各自单位长度所受的磁场力Fma和Fmb。

Fmv2（4）证明：?2（c为真空中的光速，且c?Fec[分析与解答] （1）Ia??av，Ib??bv

1?0?0）。

（2）两导线单位长度上的电荷在对方处产生的电场强度为

E??

2??0d?a故

Fea??aEb??a?b2??0d

dvx?a?bFeb??bEa?2??0d 电场力Fea和Feb为斥力。

?bv 图8-16

（3）长直载流导线激发的磁感强度为

B??0I 2?d故 Fma?0IaIb?0?a?bv2?0?a?bv2?IaBb??， Fma?IbBa?

2?d2?d2?d磁场力Fma和Fmb为引力。

Fmv22（4） ??0?0v?2

Fec四、简答题

如图8-17所示为3种不同的磁介质的B—H关系曲线，其中虚线代表的是关系B??0H。说明a、b、c各代表哪一类磁介质的B—H关系曲线，为什么？ [答] a代表铁磁质的B—H关系曲线，因为在铁磁质中B与H不成线性关系，?r得多。

b代表顺磁质的B—H关系曲线，因为在顺磁质中B与H成线性关系，?r场略大。

c代表抗磁质B—H关系曲线，因为在抗磁质中B与H成线性关系，?r是常数，抗磁质的磁场比原磁场略小。

OBa??1且不是常数，铁磁质的磁场比原磁场大

bc??0且?r?1，并是常数，顺磁质的磁场比原磁

图8-17

H

??0且?r?1，并

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