兰州大学2007级-量子力学试卷A

2009-2010学年第1学期考试试题 （A）卷

课程名称 《 量子力学 》 任课教师签名 出题教师签名 审题教师签名 考试方式 （闭）卷 适用专业 考试时间 （120 ）分钟

题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 评卷人 一、填空题（25分）

1、(3分)电子被100V的电压加速，则电子的德布罗意波长为 (电子的质量为9.1×10-31

kg，电子的电量为1.602×10－19库仑，普朗

克常数 h＝6.62559×10－34

J·s)；

2、(4分)力学量A的本征态为?n，相应的本征值为an，n=1.2.3?。如果体系处于状态??c1?1?c2?2，则测量A所得的结果为a1或a2，其出现的概率分别为 和 。

3、(2分)若对应于力学量A的本征值An有两个本征函数，则称A?的本征值An是 。

4、(2分)所有可观测量对应的算符均为 算符。

5、(3分)算符L?2和L?z的共同的本征函数是 。

6、(4分)?xn,px?? ；

7、(4分)泡利算符与自旋算符之间的关系满足 ；泡利

算符??x??y??z＝ ； 8、(3分)在一三维函数空间，在某一正交归一的基矢下，体系的哈密

?210?顿算符用矩阵H???120?表示。则当测量系统的能量时，能量?003????的可能结果是 。

二、简答题(13分)

1、(7分)什么是波函数的统计解释？量子力学的波函数与声波和光波

的主要区别是什么？ 2、(6分)写出量子力学中的测不准关系。如果两个算符不对易，则这两个算符所代表的力学量能否同时取确定值。

三、证明题(12分)

1、(5分)证明自由粒子平面波函数是动量算符P?x的本征函数并求本征值。

、(7分) 证明：在L?Z的本征态下，LX?0。

2

四、计算 (50分)

1、(15分)设矩阵A、B、C满足A2=B2=C2=1，BC－CB=iA。 (a) 证明AB+BA=AC+CA=0；

(b) 在A表象中(设无简并)，求出B和C的矩阵表示。

2、(15分)在时间t=0时，一线性谐振子处于用下列归一化的波函数描写的状态：??x,0??11u0?x??u2?x??c3u3?x?，式中52?的本征函数。（1）求un?x??n?0,2,3?是振子第n个与时间无关的Hc3的值；（2）写出t时刻的波函数；(3)求t=0时刻振子能量的平均值，t=1时刻平均值又为多大？

3、(20分) 当ε为小的参数时，求在H?0?表象中的矩阵

?12?0???H??2?2??3??的本征值到ε的二次项，本征函数到ε的一

?03?3?2????次项。

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