专题三 数形结合思想及答案

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第3讲 数形结合思想

概述：数形结合思想是教学中的一种重要思想，在解题过程中，?能画出图形的要尽量画出图形，图形能帮助你理解题意，有利于着手解题．

典型例题精析

例．以x为自变量的二次函数y=-x2+2x+m，它的图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B，点A在点B的左边，点O为坐标原点．

（1）求这个二次函数的解析式及点A，点B的坐标，画出二次函数的图象； （2）在x轴上是否存在点Q，在位于x轴上方部分的抛物线上是否存在点P，?使得以A、P、Q三点为顶点的三角形与△AOC相似（不包含全等），若存在，请求出点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）∵y=-x2+2x+m与y轴交于C（0，3）， ∴3=m，代入y=-x2+2x+m得y=-x2+2x+3， 令-x+2x+3=0，x-2x-3=0，x1=-1，x2=3． ∴A（-1，0），B（3，0），由y=-x2+2x-1+4， y=-（x-1）2+4，得顶点M（1，4）．

（2）若存在这样的P、Q点，一定是∠PAQ=∠ACO．

∵若∠PAQ=∠CAO，则△ACO∽△AQP不合题意， 若∠PAB=90°=∠AOC，显然P?点不在抛物线上． ∴分∠AQP=90°和∠APQ=90°两种情况考虑．

①当∠AOC=∠PQA，∠ACO=∠PAQ时，有△AOC∽△PQA （如图1） 设Q（x1，0），P（x1，y2）由

2

2

yMC

P

A

OQB

xAQQP?得 OCAOx1?1y1?，而y1=-x12+2x1+3， 31CyMP ∴x1+1=3（-x12+2x1+3）， 3x12-5x1-8=0， x1=

8或x1=-1（不合题意，舍去） A3ONQ811 把x1=代入y1=-x12+2x1+3=， （如图2） 39x- 1 -

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∴Q（

8811，0），P（，）． 339 ∴存在这样的P、Q点使得△AOC∽△PQA．

②∠APQ=∠COA=90°，且∠ACO=∠QAP时，有△AOC∽△APQ 过P作PN⊥x轴于N，设Q（x，0），P（，） 由△AOC∽△APQ得

ACCO10 得??AQAPx2?13811(?1)2?()239

83， 2783811 ∴Q（，0），P（，）．

2739 解得

∴存在这样的P、Q点使得△AOC∽△APQ

说明：（1）在考虑三角形相似时，应考虑不同情况，这是这道题的难点． （2）第二种情况的P点可以认为和第一种情况是同一点．

（3）能够求出Q、P点坐标为存在，不能求出P、Q点坐标（即方程无解）为不存在．

中考样题看台

1．已知四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD?的长是关于x?的方程x2-2mx+（m-的两个根．

（1）当m=2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形？并说明理由．

（2）若M、N分别是AD、BC中点，线段MN分别交AC、BD于点P、Q，PQ=1，且AB

（3）在（2）的条件下，AD=BC=2，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是tan?∠BDC和tan∠BCD．

17）+=024- 2 -

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2．已知，如图，⊙O1与⊙O2外切于点A，BC是⊙1和⊙2的公切线，B、C为切点． （1）求证：AB⊥AC；

（2）若r1、r2分别为⊙O1、⊙O2的半径，且r1=2r2，求

AB的值． ACBCO1AO2

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3．在平面直角坐标系中，给定五点：A（-2，0），B（1，0），C（4，0）?，D（-2，

9），2E（0，-6），从这五点中选取三点，使经过这三点的抛物线满足以平行于y轴的直线为对称轴，我们约定：把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB（如图所示）． （1）问符合条件的抛物线还有哪几条？不求解析式，?请用约定的方法一一表示出来；

（2）在（1）中是否存在这样的一条抛物线，它与余下的两点所确定的直线不相交？如果存在，试求出抛物线与直线的解析式；如果不存在，请说明理由．

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4．某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，讨论如下： 甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；

乙同学：我发现边数是6，它也不一定是正多边形．如图一，△ABC是正三角形，AD=BE=CF，可以证明六边形ADBECF的各角相等，但它未必是正六边形；

丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形．我想，边数是7时，它可能是正多边形，??

（1）请你说明乙同学构造的六边形各角相等；

（2）请你证明，各角都相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图二）是正七边形（不必写已知、求证）；

（3）根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）；

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5．高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病．

（1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第2天将新增病鸡10只，第3天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第4天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染．

（2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，?所有禽类全部捕杀；离疫点3千米至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区的村庄、道路实行全封闭管理，现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米．

免疫区扑杀区OACDB

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考前热身训练

1．已知，在半径为r的半圆O中，半径OA⊥直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC?上滑动并保持AE=CF，但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合． （1）求证：S四边形AEDF=

12

r； 2 （2）设AE=x，S△OEF=y，写出y与x之间的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；

（3）当S△OEF=

5S△ABC时，求点E、F分别在AB、AC上的位置及E、F之间的距离． 18AFEBOwww.czsx.com.cnC

2．已知二次函数y=x2-（m2-4m+

59）x-2（m2-4m+）的图象与x轴的交点为A、B（点B?22在点A的右边），与y轴的交点为C． （1）若△ABC为直角三角形，求m的值； （2）在△ABC中，若AC=BC，求∠ACB的正弦值；

（3）设△ABC的面积为S，求当m为何值时，S有最小值，并求这个最小值．

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3．已知抛物线y=ax2+bx+c（a<0）与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，又此抛物线交y轴于点C，连接AC、BC，且满足△OAC的面积与△OBC的面积之差等于两线段OA与OB的积． （1）求b的值； （2）若tan∠CAB=的外接圆半径为

1，抛物线的顶点为点P，是否存在这样的抛物线，使得△PAB?213？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 4- 8 -

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答案 中考样题看台

1．（1）当m=2时，x2-4x+4=0，∴△=0，∴AB=CD，

∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．

127）+]=m-2>0． 2417又AB+CD=2m>0，AB·CD=（m-）2+>0，∴AB≠CD，?

24当m>2时，△=（-2m）2-4[（m-∵AB∥CD，∴四边形ABCD是梯形．

（2）∵AM=MD，BN=NC，AB∥CD，∴MN∥AB，MN∥CD，

11DC，PN=AB， 2211∵AB

22∴AP=PC，BQ=QD，∴QD=

∴DC-AB=2，由已知得AB+CD=2m，AB·CD=（m-∵（DC-AB）2=（DC+AB）2-4DC·AB， ∴22=（2m）2-4（m2-m+2），∴m=3， 当m=3时，x2-6x+8=0，?∴x1=2，x2=4， ∵AB

（3）由（1）知，四边形ABCD是梯形， ∵AD=BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，? 过点B?作BE∥AD，交DC于点E， ∴ED=AB=2，∴CE=2，∴BC=BE=CE=2，

∴△BEC为等边三角形，?∴∠BCD=60°，∠BDC=30°， ∴tan∠BCD=3，tan∠BDC=∴所求方程为y2-

1272

）+=m-m+2， 243． 3433y+1=0．

2．（1）过点A作两圆的内公切线交BC于点O，∴OA=OB，同理OA=OC，

∴OA=OB=OC，?于是△BAC是直角三角形，∠BAC=90°，所以AB⊥AC． （2）连结OO，OO，与AB、AC分别交于点E、F，∴O1O⊥AB． 同理OO2⊥AC，根据（1）?的结论AB⊥AC， 可知四边形OEAF是矩形，有∠EOF=90°，

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连结O1O2，有OA⊥O1O2，

在Rt△O1OO2中，?有Rt△O1AD∽Rt△OAO2， 于是OA2=OA·O2A=r1·r2=2r22，∴OA=2r2， 又∵∠ACB是⊙O2的弦切角，?∴∠ACB=∠AO2O， 在Rt△OAO2中，tan∠AO2O=

OA=2， O2A∴

AB=tan∠ACB=tan∠AO2O=2． AC3．解：（1）符合条件的抛物线还有5条，分别如下：

①抛物线AEC；②抛物线CBE；?③△DEB；④抛物线DEC；⑤抛物线DBC． （2）在（1）中存在抛物线DBC，它与直线AE不相交， 设抛物线DBC的解析式为y=ax2+bx+c， 将D（-2，

9），B（1，0），C（4，0）三点坐标分别代入， 29?

4a?2b?c??2?

得：?a?b?c?0

?16a?4b?c?0??

解这个方程组，得：a=

15，b=，c=1． 44125∴抛物线DBC的解析式为y=x-x+1．

44代入D（-2，

另法：设抛物线为y=a（x-1）（x-4），

91），得a=也可． 24又设直线AE的解析式为y=mx+n．

将A（-2，0），E（0，-6）两点坐标分别代入， 得：???2m?n?0 解这个方程组，得m=-3，n=-6，

?n??6∴直线AE的解析式为y=-3x-6．

4．解：（1）由图知∠AFC对ABC，因为AD=CF，

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而∠DAF对的DEF=DBC+CF=AD+DBC=ABC， 所以∠AFC=∠DAF．

同理可证，其余各角都等于∠AFC． 所以，图1中六边形各内角相等． （2）因为∠A对BEG，∠B对CEA，

又因为∠A=∠B，所以∠BEG=∠CEA．所以BC=AG，? 同理AB=CD=EF=AG=BC=DE=FG． 所以，七边ABCDEFG是七边形．

（3）猜想：当边数是奇数时（即当边数是3，5，7，9，??时），? 各内角相等的圆内接多边形是正多边形．

5．解：（1）由题意可知，到第4天得禽流感病鸡数为1+10+100+1000=1111．

到第5天得禽流感病鸡数为1000+111=11111． 到6天得禽流感病鸡数为100000+11111>800000． 所以，到第6天所有鸡都会被感染．

（2）过点O作OE⊥CD交CD于点E，连结OC、OA． ∵OA=5，OC=3，CD=4，∴CE=2， 在Rt?△OCE中，OE=3-2=5．

在Rt△OAE中，AE=OA2?OE2=25， ∴AC=AE-CE=25-2， ∵AC=BC，∴AC+BD=45-4．

答：这条公路在该免疫区内有（45-4）千米．

考前热身训练

1．（1）先证△BOE≌△AOF． ∴S四边形AEOF=S△AOB=

2

2

2

11OB·OA=r2． 22 （2）由∠EAF=90°且AC=AB=2r， ∵y=S△OEF=S四边形AEOF-S△AEF，

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∴y=

1221x-rx+r2（0

222 （3）当S△OEF=

55152

S△ABC时，即y=（·2r·r）=r1818218 ∴

122152

x-rx+r2=r．

221821222x-rx+r2=0．

292 即

解之得x1= ∴S△OEF=

222r，x2=r． 335AE1AF2AE2AF1S△ABC时，=，=或=，=． 18AB3AC3AB3AC3 当AE=

2221022222r时，AF=r，EF=AE2?AF2=(r； r)?(r)=3333322210r时，AF=r，EF=r． 33399，0），C[0，-2（m2-4m+）]． 22AD4=． AC5 当AE=2．A（-2，0），B（m2-4m+ （1）m=2．

（2）过A作AD⊥BC于D，sin∠ACB= （3）m=2时，S最小值=

5． 43．解：（1）设A（x1，0），B（x2，0），

由题设可求得C点的坐标为（0，c），且x1<0，x2>0 ∵a<0，∴c>0

由S△AOC-S△BOC=OA×OB得：- 得：

11x1c-x2c=-x1x2 221bcc（-）=，得：b=-2． 2aa （2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，与△PAB的外接圆交于点N．

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∵tan∠CAB=

1，∴OA=2·OC=2c， 25． 4c ∴A点的坐标为（-2c，0），∵A点在抛物线上． ∴x=-2c，y=0，代入y=ax2-2x+c得a=-

又∵x1、x2为方程ax2-2x+c=0的两根，

228即：-2c+x2==-c． aa522 ∴x=c． ∴B点的坐标为（c，0）．

5549 ∴顶点P的坐标为（-c，c）．

55 ∴x1+x2=

由相交弦定理得：AM·BM=PM·MN．

1269c，∴AM=BM=c，PM=c， 55551 ∴c=，a=-．

2215 ∴所求抛物线的函数解析式是：y=-x2-2x+．

22 又∵AB=

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fhhr.html