高中数学必修4教案完整版新课标人教A版

第一章三角函数

4-1.1.1任意角（1）

教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立

适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义

教学难点：“旋转”定义角

课标要求：了解任意角的概念

教学过程：

一、引入

同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。

二、新课

1．回忆：初中是任何定义角的？

（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”

师：初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？

生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 师：如图1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆

时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。

师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o ” （即

转体2周），“转体1080o ”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？

生：逆时针旋转300；顺时针旋转300.

师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握

～ 角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．

2.角的概念的推广：

(1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。

3．正角、负角、零角概念

师：为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，它等于300与7500；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？

生：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。

师：如图3，以OA 为始边的角α=-1500，β=-6600。特别地，当一条射线没有作任何旋转时，B

α O A 图1

我们也认为这是形成了一个角，并把这个角称为零角。

师：好，角的概念经过这样的推广之后，就应该包括正角、负角、零角。这里还有一点要说明：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可简记为α.

4.象限角

师：在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论

角，为此我们必须了解象限角这个概念。同学们已

经经过预习，请一位同学回答什么叫：象限角？

生：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负

半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象

限，我们就说这个角是第几象限角。

师：很好，从刚才这位同学的回答可以知道，她已经基本理解了“象限角”的概念了。下面请大家将书上象限角的定义划好，同时思考这么三个问题：

1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？

2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？

3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？

处理：学生思考片刻后回答，教师适时予以纠正。

答：1.不行，始边包括端点（原点）；2．端点在原点上；

3．不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。

师：同学们一定要学会看数学书，特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句，每个字都要弄清楚，这样的预习才是有效果的。

师生讨论：好，按照象限角定义，图中的300，3900，-3300角，都是第一象限角；3000，-600角，都是第四象限角；5850角是第三象限角。

师：很好，不过老师还有几事不明，要请教大家：（1）锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什么？

生：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；

师：（2）锐角就是小于900的角吗？

生：小于900的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；

师：（3）锐角就是00～900的角吗？

生：锐角：{θ|00<θ<900}；00～900的角：{θ|00≤θ<900}.

学生练习（口答）已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？

（1）4200；（2）-750；（3）8550；（4）-5100.

答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.

5.终边相同的角的表示法

师：观察下列角你有什么发现? 390?-330?30?1470?-1770?

生:终边重合.

师:请同学们思考为什么？能否再举三个与300角同终边的角？

生：图中发现3900，-3300与300相差3600的整数倍，例如，3900=3600+300，-3300=-3600+300；与300角同终边的角还有7500，-6900等。

师：好！这位同学发现了两个同终边角的特征，即：终边相同的角相差3600的整数倍。例如：7500=233600+300；-6900=-233600+300。那么除了这些角之外，与300角终边相同的角还有：

333600+300-333600+300

433600+300-433600+300

……，……，

由此，我们可以用S={β|β=k33600+300，k∈Z}来表示所有与300角终边相同的角的集合。师：那好，对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？

生：S={β|β=α+k33600，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

6.例题讲评

例1设第一象限的角｝

90

F

=

E，

{

{o=

＝

锐角｝，

的角｝　

小于{

G

，那么有（ D ）．

A．B．C．（）D．

例2用集合表示：

（1）各象限的角组成的集合．（2）终边落在轴右侧的角的集合．

解：(1) 第一象限角：｛α|k360oπ＜α＜k360o+90o,k∈Z｝

第二象限角：｛α|k360o+90o＜α＜k360o+180o,k∈Z｝

第三象限角：｛α|k360o+180o＜α＜k360o+270o,k∈Z｝

第四象限角：{α|k360o+270o＜α＜k360o+360o ,k∈Z｝

（2）在～中，轴右侧的角可记为，同样把该范围“旋转”

后，得，，故轴右侧角的集合为

．

说明：一个角按顺、逆时针旋转（）后与原来角终边重合，同样一个“区间”

内的角，按顺逆时针旋转（）角后，所得“区间”仍与原区间重叠．

例3 （1）如图，终边落在位置时的角的集合是__{α|α

＝k360o+120o ,k∈Z }；终边落在位置，且在

内的角的集合是_{－45o,225o}_ ；终边落在阴影

部分（含边界）的角的集合

是_{α|k360o－45o＜α＜k360o+120o ,k∈Z}．

练习：

（1）请用集合表示下列各角．

①～间的角②第一象限角③锐角④小于角．

解答（1）①；②；

③；④

（2）分别写出：

①终边落在轴负半轴上的角的集合；②终边落在轴上的角的集合；

③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；

④终边落在四象限角平分线上的角的集合．

解答（2）①；②；

③；④．

说明：第一象限角未必是锐角，小于的角不一定是锐角，～间的角，根据

课本约定它包括，但不包含．

例4在～间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角

（1）；（2）；（3）．

解：（1）∵

∴与角终边相同的角是角，它是第三象限的角；

（2）∵

∴与终边相同的角是，它是第四象限的角；

（3）

所以与角终边相同的角是，它是第二象限角．

总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以，按通常除去进行；负的角度除以，

商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以使余数为正值．

练习：

（1）一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为__．

（2）集合M＝{α=k o

，k∈Z}中，各角的终边都在（C ）

90

A．轴正半轴上，B．轴正半轴上，

C．轴或轴上，D．轴正半轴或轴正半轴上

（3）设，

C＝{α|α= k180o+45o ,k∈Z}，

则相等的角集合为_B＝D，C＝E__．

三.本课小结

本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，本节课的重点是学习终边相同的角的表示法。

判断一个角是第几象限角，只要把改写成，，那

么在第几象限，就是第几象限角，若角与角适合关系：，

，则、终边相同；若角与适合关系：，，

则、终边互为反向延长线．判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把

它们化为：，这种模式（），然后只要考查的相关问题即可．另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．

四.作业:

4-1.1.1任意角（2）

教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”

的含义。

教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义

教学难点：“旋转”定义角

课标要求：了解任意角的概念

教学过程：

一、复习

师：上节课我们学习了角的概念的推广，推广后的角分为正角、负角和零角；另外还学习了象限角的概念，下面请一位同学叙述一下它们的定义。

生：略

师：上节课我们还学习了所有与α角终边相同的角的集合的表示法，[板书]

S={β|β=α+k33600，k∈Z}

这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广，解决一些简单问题。

二、例题选讲

例1写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：

（1）600；（2）-210；（3）363014，

解：（1）S={β|β=600+k33600，k∈Z}S中适合-3600≤β<7200的元素是

600+（-1）33600=-3000 600+033600=600 600+133600=4200.

（2）S={β|β=-210+k33600，k∈Z} S中适合-3600≤β<7200的元素是-210+033600=-210 -210+133600=3390 -210+233600=6990

说明：-210不是00到3600的角，但仍可用上述方法来构成与-210角终边相同的角的集合。（3）S={β|β=363014，+k33600，k∈Z} S中适合-3600≤β<7200的元素是

363014，+（-2）33600=-356046，363014，+（-1）33600=3014，363014，+033600=363014，说明：这种终边相同的角的表示法非常重要，应熟练掌握。

例2．写出终边在下列位置的角的集合

(1)x轴的负半轴上；（2）y轴上

分析：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示法，关键只要找出符合这个条件的一个角即α，然后在后面加上k33600即可。

解：（1）∵在0○～360○间，终边在x轴负半轴上的角为1800，∴终边在x轴负半轴上的所有角构成的集合是{β|β=1800+k33600，k∈Z }

（2）∵在0○～360○间，终边在y轴上的角有两个，即900和2700，∴与900角终边相同的角构成的集合是S

1

={β|β=900+k33600，k∈Z }

同理，与2700角终边相同的角构成的集合是S

2

={β|β=2700+k33600，k∈Z }

提问：同学们思考一下，能否将这两条式子写成统一表达式？

师：一下子可能看不出来，这时我们将这两条式子作一简单变化：

S

1

={β|β=900+k33600，k∈Z }={β|β=900+2k31800，k∈Z } (1)

S

2

={β|β=2700+k33600，k∈Z }={β|β=900+1800+2k31800，k∈Z }

={β|β=900+（2k+1）31800，k∈Z } (2)

师：在（1）式等号右边后一项是1800的所有偶数（2k）倍；在（2）式等号右边后一项是1800的所有奇数（2k+1）倍。因此，它们可以合并为1800的所有整数倍，（1）式和（2）式可统一写成900+n31800（n∈Z），故终边在y轴上的角的集合为

S= S

1∪S

2

={β|β=900+2k31800，k∈Z }∪{β|β=900+（2k+1）31800，k∈Z }

={β|β=900+n31800，n∈Z }

处理：师生讨论，教师板演。

提问：终边落在x轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？（思考后）答：{β|β=k31800，k∈Z },{β|β=k3900，k∈Z }

进一步：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？

答：{β|β=450+n31800，n∈Z }

推广：{β|β=α+k31800，k∈Z }，β，α有何关系？（图形表示）

处理：“提问”由学生作答；“进一步”教师引导，学生作答；“推广”由学生归纳。

例1 若α是第二象限角，则α2，

2

α

，

3

α

分别是第几象限的角？

师：α是第二象限角，如何表示？

解：（1）∵α是第二象限角，∴900+k 33600<α<1800+k 33600

（k ∈Z ） ∴ 1800+k 37200<2α<3600+k 37200

∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y ．轴的非正半轴上．．．．．．．

。 （2）∵)(901802

45180Z k k k ∈+?<<+?

α，

处理：先将k 取几个具体的数看一下（k=0，1，2，3…），再归纳出以下规律： 当)(2Z n n k ∈=时，)(903602

45360Z k n n ∈+?<<+?

α

，

2

α

是第一象限的角； 当)(12Z n n k ∈+=时，)(2703602

225360Z k n n ∈+?<<

+?

α

，2

α

是第三象限的

角。 ∴2

α

是第一或第三象限的角。

说明：配以图形加以说明。

（3）学生练习后教师讲解并配以图形说明。（

3

α

是第一或第二或第四象限的角）

进一步求α-是第几象限的角（α-是第三象限的角），学生练习，教师校对答案。

三、例题小结

1． 要注意某一区间内的角和象限角的区别，象限角是由无数各区间角组成的；

2． 要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以k 取不同的值讨论型如 θ=a+k 31200（k ∈Z ）所表示的角所在的象限。 四、课堂练习

练习2 若α的终边在第一、三象限的角平分线上，则α2的终边在y 轴的非负半轴上.

练习3 若α的终边与600角的终边相同，试写出在（00，3600）内，与3

α

角的终边相同的

角。 （200，1400，2600）

（备用题）练习4 如右图，写出阴影部分（包括边界）的角 的集合，并指出-950012，是否是该集合中的角。 （{α| 1200

+k 33600

≤α≤2500

+k 33600

，k ∈Z}；是）

探究活动

经过5小时又25分钟，时钟的分针、时针各转多少度？ 五、作业 A 组:

1200 y

O

x

250

1

．与 终边相同的角的集合是___________，它们是第____________象限的角，其中最小的正角是___________，最大负角是___________．

2．在0o ~360o 范围内，找出下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：

（1）－265 （2）－1000

o （3）－843o 10’ （4）3900o

B 组

3．写出终边在x 轴上的角的集合。

4．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360o ≤β＜360o 的元素

写出来：

(1)60o (2)－75o (3) －824o 30’ (4) 475o (5) 90o (6) 270o (7) 180o (8) 0o C 组：若

是第二象限角时，则

，

， 分别是第几象限的角？

4-1.1.2弧度制（1）

教学目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与

实数集R 一一对应关系的概念。

教学过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。

二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制

它的单位是rad 读作弧度

定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。 如

图：∠AOB=1rad

∠AOC=2rad

周角=2πrad

1． 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0

2． 角α的弧度数的绝对值 r l

=α（l 为弧长，r 为半径）

3． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）

用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

三、角度制与弧度制的换算

抓住：360?=2πrad ∴180?=π rad o r C 2rad 1rad r l=2r o A A B

∴ 1?=

rad rad 01745.0180

≈π

'185730.571801

=≈??

? ??=πrad

例一 把'3067 化成弧度

解：

??? ?

?

=2167'3067 ∴ rad rad ππ832167180'3067=?=

例二 把rad π5

3

化成度

解：

108180

5

35

3=?=

rad π

注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行； 2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如：3

表示3rad sin π表示πrad 角的正弦

3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表） 4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能

在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。

任意角的集合 实数集R 四、练习（P11 练习1 2）

例三 用弧度制表示：1?终边在x 轴上的角的集合 2?终边在y 轴上的角的集

合 3?终边在坐标轴上的角的集合

解：1?终边在x 轴上的角的集合 {}Z k k S ∈==,|1πββ 2?终边在y 轴上的角的集合 ?

??

?

??

∈+

==Z k k S ,2|2π

πββ 3?终边在坐标轴上的角的集合 ?

??

?

??

∈=

=Z k k S ,2|3πββ 五、 小结：1．弧度制定义 2．与弧度制的互化 六、作业：

4-1.1.2弧度制（1）

正角

零角 负角

正实数 零 负实数

教学目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。 教学过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。

二、由公式：?=r l

α α?=r l 比相应的公式180r

n l π=简单

弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 例一 利用弧度制证明扇形面积公式lR S 2

1=其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。 证： 如图：圆心角为1rad 的扇形面积为：221

R ππ

弧长为l 的扇形圆心角为rad R

l

∴lR R R l S 21

212=??=ππ

比较这与扇形面积公式 3602

R

n S π=扇 要简单

例二 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34π

⑵ 165

解： cm r 10= ⑴： )(3401034cm r l π

πα=?=?=

⑵：r a d r a d 1211)(165180165π

π

=?=

∴)(655101211cm l π

π

=?=

例三 如图，已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形

的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则有 ???==??????==+22

16

2l r r l l r ∴ 扇形的面积2

)(22

1cm rl S ==

例四 计算4sin π

5.1t a n

解：∵

454=π ∴ 22

45sin 4sin == π

'578595.855.130.571.5rad ==?=?

∴ 12.14'5785tan 5.1tan ==

例五 将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式 o R

S l o

A B

⑴

π319 ⑵ 315- 解：πππ63319

+= ππ

2436045315-=-=-

例六 求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）

图中长度单位为：m

解： ∵ 360π

=

∴ )(471514.3453

m R l ≈?≈?=

?=πα 三、练习：

四、作业： 4-1.2.1任意角的三角函数（1）

教学目的：

知识目标： 1.掌握任意角的三角函数的定义；

2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；

3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；

（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；

（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分

析、探究、 解决问题的能力。

德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与

比值（函数值）的一种联系方式；

（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各

象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重

点。

教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他

们的集合形式表示出来.

授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学.

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

初中锐角的三角函数是如何定义的？

在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a

b

a

sinA cosA tanA c c b === ．

角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、讲解新课：

1．三角函数定义 R=45 60

在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为22

22

(||||0)r r x y x y =+=

+>，那么

（1）比值y r

叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值y x

叫做α的正切，记作tan α，即tan y x

α=； （4）比值x y

叫做α的余切，记作cot α，即cot x y

α=； （5）比值r x 叫做α的正割，记作sec α，即sec r x α=

；

（6）比值

r

y 叫做α的余割，记作csc α，即csc r

y

α=． 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α

的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；

②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；

③当()2

k k Z π

απ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等

于0，所以tan y x

α=与sec r x

α=

无意义；同理，当()k k Z απ=∈时，x coy y

α=

与

csc r y

α=

无意义；

④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y

r

、

x

r

、

y

x

、

x

y 、

r

x 、

r

y

分别是一

个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。 2．三角函数的定义域、值域

函 数 定 义 域 值 域

sin y α= R [1,1]- cos y α=

R

[1,1]- tan y α= {|,}2

k k Z π

ααπ≠

+∈

R

注意：

(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合.

(2) α是任意角，射线OP 是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox 转了几圈，按什么方向旋转到OP 的位置无关.

(3)sin α是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样.

(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:

锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形

的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.

(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x 轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.

3．例题分析

例1．已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的六个函数制值。

解：因为2,3x y ==-，所以222(3)13r =

+-=，于是 3313sin 1313y r α-=

==-；2213cos 1313x r α===； 3tan 2y

x α==-； 2c o t 3x y α=

=-； 13

sec 2r

x α==； 13

csc 3r

y α==-．

例2．求下列各角的六个三角函数值：

（1）0； （2）π； （3）32π

．

解：（1）因为当0α=时，x r =，0y =，所以

sin 00=， 01cos =，

tan 00=， c o t 0不存在，

sec 01=， c s c 0不存在。

（2）因为当απ=时，x r =-，0y =，所以

sin 0π=， c o s 1π=-，

tan 0π=， c o t π不存在，

sec 1π=-， c s c π不存在。

（3）因为当32

πα=时，0x =，y r =-，所以 3sin 12π=-， 3c o s 02

π=， 3tan 2π不存在， 3c o t 02

π=， 3sec 2π

不存在， 3c s c 12π

=-．

例3．已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的六个三角函数值。

解：因为过点(,2)(0)a a a ≠，所以5||r a =

， ,2x a y a == 当22250sin 55||5y a a a r a a α>=

===时，； 5c o s 55x

a a r a α===；1

5

tan 2;cot ;sec 5;csc 22αααα====；

当22250sin 5

5||

5y a a a r

a a

α<==

=

=-

-时，；

5c o s 5

5x a

a r

a

α=

=

=--；

15tan 2;cot ;sec 5;csc 22

αααα==

=-=-．

4．三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： ①正弦值y r 对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）； ②余弦值x r 对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）； ③正切值

y x

对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）．

说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

α

αcsc sin 为正 全正

α

αcot tan 为正

α

αsec cos 为正

5．诱导公式

由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。

即有：

sin(2)sin k απα+=，

cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈． tan(2)tan k απα+=，

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．

三、巩固与练习

1 确定下列三角函数值的符号： （1）cos 250

； （2）sin()4

π

-

； （3）tan(672)-

； （4）11tan

3

π．

2 求函数x

x x

x y tan tan cos cos +=的值域

解： 定义域：cosx ≠0 ∴x 的终边不在x 轴上

又∵tanx ≠0 ∴x 的终边不在y 轴上

∴当x 是第Ⅰ象限角时，0,0>>y x cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2 …………Ⅱ…………,0,0>

,00,0<><

y x |cosx|=-cosx |tanx|=tanx ∴y=0

正切、余切

余弦、正割-

----+++++-

+正弦、余割o o o

x

y

x y

x

y

四、小 结：本节课学习了以下内容：

1．任意角的三角函数的定义；

2．三角函数的定义域、值域；

3．三角函数的符号及诱导公式。

五、课后作业：

补充：1已知点P (3,-4)r r (0)r ≠，在角α的终边上，求sin α、cos α、tan α的值。

2已知角α的终边经过P(4,-3),求2sin α+cos α的值

解：由定义 ：5=r sin α=-

53 cos α=54 ∴2sin α+cos α=-52

六、板书设计： 4-1.2.1任意角的三角函数（2）

教学目的：

知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；

2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；

3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、

值域有更深的理解。

德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。

教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。

授课类型：新授课

教学模式：讲练结合

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．三角函数的定义及定义域、值域：

练习1：已知角α的终边上一点(3,)P m -，且2sin 4m

α=，求cos ,sin αα的值。 解：由题设知3x =-，y m =，所以2222||(3)r O P m ==-+，得23r m =

+， 从而2sin 4m

α=23m

m

r m

==+，解得0m =或216625m m =+?=±． 当0m =时，3,3r x ==-， cos 1,tan 0x

y r x αα==-==； 当5m =时，22,3r x ==-， 6

15

cos ,tan 43x

y

r x αα==-==-； 当5m =-时，22,3r x ==-，

6

15

cos ,tan 43x

y

r x αα==-==．

2．三角函数的符号：

练习2：已知sin 0α<且tan 0α>，

（1）求角α的集合；（2）求角2α

终边所在的象限；（3）试判断tan ,sin cos 222α

α

α

的符

号。

3．诱导公式：

练习3：求下列三角函数的值：

（1）9cos 4π， （2）11tan()6π-， （3）9sin 2

π． 二、讲解新课：

当角的终边上一点(,)P x y 的坐标满足221x y +=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。

1．单位圆：圆心在圆点O ，半径等于单位长的圆叫做单位圆。

2．有向线段：

坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。

规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

3．三角函数线的定义：

设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点

P (,)x y ，

过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向

延

长线交与点T .

由四个图看出：

当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有

sin 1y y y M P r α=

===， c o s 1x x x O M r α====， tan y

M P

A T A T x O M O A

α====． 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

说明：

①三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦 线在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单

位

圆内，一条在单位圆外。

②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向o x y M T P A o x y

M T P A x

y o M T

P A x y o M T P A （Ⅳ） （Ⅱ） （Ⅰ） （Ⅲ）

垂

足；正切线由切点指向与α的终边的交点。

③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的 为负值。

④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。 4．例题分析：

例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。

（1）3

π； （2）56

π； （3）23

π-； （4）136

π-．

解：图略。

例2.利用三角函数线比较下列各组数的大小：

1? 3

2sin π与5

4sin π 2? tan 3

2π与tan 5

4π 3? cot 3

2π与cot 5

4π

解： 如图可知：

32sin π>5

4sin π

tan 32π< tan

54π cot

3

2π >cot

5

4π

例3．利用单位圆寻找适合下列条件的0?到360?的角

1? sin α≥

2

1 2? tan α>

3

3

解： 1? 2?

30?≤α≤150? 30?<α<90?或210?<α<270?

例4．利用单位圆写出符合下列条件的角x 的范围。 （1）1sin 2

x <-

； （2）1cos 2

x >

；

（3）10,sin 2

x x π<<>且1cos 2

x <

；

（4）1|cos |2

x ≤； （5）1sin 2

x ≥

且tan 1x ≤-． 答案：（1）71122,6

6

k x k k Z ππππ+<<+∈；（2）22,6

6

k x k k Z π

π

ππ-

+<<+∈；

（3）

5,36

x k Z π

π<<∈；（4）,6

2

6

2

k x k k Z π

π

π

π

ππ-

+

+<<

+

+∈；

A B

o T 2

T 1

S 2 S 1 P 2 P 1

x

y o

P 1 P 2 x

y

o

T A

210? 30?

（5）322,24k x k k Z π

π

ππ+<<+∈．

三、巩固与练习

四、小 结：本节课学习了以下内容：

1．三角函数线的定义；

2．会画任意角的三角函数线；

3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。

五、课后作业：

补充：1．利用余弦线比较cos 64,cos 285 的大小；

2．若42π

π

θ<<，则比较sin θ、cos θ、tan θ的大小；

3．分别根据下列条件，写出角θ的取值范围：

（1）3cos 2θ<

； （2）tan 1θ>- ； （3）3sin 2θ>-．

六、板书设计： 4-1.2.1任意角的三角函数（3）

教学目的：

知识目标：1.理解三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线.

2.理解握各种三角函数在各象限内的符号.

3.理解终边相同的角的同一三角函数值相等.

能力目标：1.掌握三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线.

2.掌握各种三角函数在各象限内的符号.

3.掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.

授课类型：复习课

教学模式：讲练结合

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1、三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线，各种三角函数在各象限内的符号.诱导

公式第一组.

2.确定下列各式的符号

(1)sin100°2cos240° (2)sin5+tan5

3. .x 取什么值时,x x

x tan cos sin +有意义?

4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为……（ ）

A 锐角三角形

B 钝角三角形

C 直角三角形

D 以上三种情况都可能

5．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（ ）

A ：sin α+cos α<0

B ：tan α-sin α<0

C ：cos α-cot α<0

D ：cot αcsc α<0

6．已知θ是第三象限角且02cos

二、讲解新课：

1、求下列函数的定义域：

（1）2cos 1y x =

-； （2）2lg(34sin )y x =- 2、已知1212sin

3、（1） 若θ在第四象限，试判断sin(cos θ)cos(sin θ)的符号；

（2）若tan(cos θ)cot(sin θ)>0,试指出θ所在的象限，并用图形表示出

2θ的取值范围. 4、求证角θ为第三象限角的充分必要条件是??

?><0tan 0

sin θθ 证明：必要性：∵θ是第三象限角，

∴???><0tan 0

sin θθ

充分性：∵sin θ＜0，

∴θ是第三或第四象限角或终边在ｙ轴的非正半轴上

∵tan θ＞0，∴θ是第一或第三象限角.

∵sin θ＜0，tan θ＞0都成立.

∴θ为第三象限角.

5 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°．

三、巩固与练习

1 求函数cos sin tan |cot |

|sin |cos tan cot x

x

x

x y x x x x =+++的值域

2 设α是第二象限的角，且|cos

|cos ,222ααα

=-求的范围.

四、小 结： 五、课后作业：

1、利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的取值范围：

(1) sin α

2、0,sin tan .2

x x x x π<<<<若求证： 3、角α的终边上的点P 与A （a,b ）关于x 轴对称(0)ab ≠，角β的终边上的点Q 与A 关于直线y=x 对称.求sin αesc β+tan αcot β+sec αcsc β的值.

六、板书设计：

4-1.2.2同角三角函数的基本关系（1）

教学目的：

知识目标： 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式；

2.掌握三种基本关系式之间的联系；

3.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

能力目标： （1）牢固掌握同角三角函数的八个关系式，并能灵活运用于解题，提高学

生分析、解决三角的思维能力；

（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力；

德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；

教学重点：同角三角函数的基本关系式

教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用

授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学.

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．任意角的三角函数定义：

设角α是一个任意角，α终边上任意一点(,)P x y ， 它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =

+=+>，那么： sin y

r α=，cos x

r α=，tan y x α=，cot x

y α=，sec r

x α=，csc r

y α=．

2．当角α分别在不同的象限时，sin α、cos α、tg α、ctg α的符号分别是怎样的？

3．背景：如果53

sin =A ，A 为第一象限的角，如何求角A 的其它三角函数值；

4．问题：由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的，则角α的六个三角函数之间有什么关系？

二、讲解新课：

（一）同角三角函数的基本关系式：

（板书课题：同角的三角函数的基本关系）

1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：

（1）倒数关系：??

???=?=?=?1cot tan 1sec cos 1

csc sin αααααα

（2）商数关系：??

???==ααααααsin cos cot cos sin tan （3）平方关系：??

???=+=+=+αααααα222222csc cot 1sec tan 11

cos sin

2. 给出右图，你能说明怎样利用它帮助我们记忆三角函数

的基本关系吗？

（1）在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1，有倒

数关系。

（2）带有阴影的三个倒置三角形中，上面两个三角函数

值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。有平cosA ctgA tgA sinA cscA secA 1

方关系。

（3）六边形上任意一个顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上的函数值的乘积。可演化出商数关系。 说明：

①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如22sin 4cos 41αα+=等；

②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如

tan cot 1(,)2

k k Z π

ααα?=≠∈；

③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：

2cos 1sin αα=±-， 22

sin 1cos αα=-， sin cos tan ααα

=

等。 3．例题分析： 例1．（1）已知12sin 13

α=，并且α是第二象限角，求cos ,tan ,cot ααα．

（2）已知4cos 5α=-

，求sin ,tan αα．

解：（1）∵22sin cos 1αα+=， ∴2

2

2

2

125cos 1sin 1()(

)13

13

αα=-=-=，

又∵α是第二象限角， ∴cos 0α<，即有5cos 13

α=-

，从而

sin 12tan cos 5

ααα

=

=-

， 15cot tan 12

αα

==-

．

（2）∵22sin cos 1αα+=， ∴2

2

2

24

3sin 1cos 1()()55αα=-=--=， 又∵4cos 05

α=-

<， ∴α在第二或三象限角。

当α在第二象限时，即有sin 0α>，从而3sin 5

α=

，sin 3

tan cos 4

α

αα=

=-

；

当α在第四象限时，即有sin 0α<，从而3sin 5α=-，sin 3

tan cos 4

ααα=

=． 总结：

1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值

中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。

2. 解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方

关系开平方时，漏掉了负的平方根。

例2．已知tan α为非零实数，用tan α表示sin ,cos αα．

解：∵22

sin cos 1αα+=，sin tan cos ααα

=

，

∴2222

(cos tan )cos cos (1tan )1ααααα?+=+=，即有2

2

1cos 1tan αα

=

+，

又∵tan α为非零实数，∴α为象限角。

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