概率与数理统计 - 习题集（含答案）

《概率与数理统计》课程习题集

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习题

【说明】：本课程《概率与数理统计》（编号为01008）共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。

一、计算题1

1. 设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来。

(1) A出现，B、C不出现； (2) A、B都出现，而C不出现； (3) 所有三个事件都出现； (4) 三个事件中至少一个出现； (5) 三个事件中至少两个出现。

2. 在分别标有1,2,3,4,5,6,7,8的八张卡片中任抽一张。设事件A为“抽得一张标号不大于

4的卡片”，事件B为“抽得一张标号为偶数的卡片”，事件C为“抽得一张标号为奇数的卡片”。试用样本点表示下列事件： （1）AB；（2）A+B；（3）B；（4）A-B；（5）BC

3. 写出下列随机试验的样本空间：

（1）一枚硬币掷二次，观察能出现的各种可能结果； （2）对一目标射击，直到击中4次就停止射击的次数；

（3）二只可辨认的球，随机地投入二个盒中，观察各盒装球情况。

4. 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。

（1）A发生，B与C不发生； （2）A，B，C都发生；

（3）A，B，C中不多于一个发生。

5. 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标。

试用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）至少有一人命中目标 （2）恰有一人命中目标

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（3）恰有二人命中目标 （4）最多有一人命中目标 （5）三人均命中目标

6. 袋内有5个白球与3个黑球。从其中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。 7. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是

0.02。加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率。

8. 某地区的电话号码由7个数字组成（首位不能为0），每个数字可从0，1，2，?，9

中任取，假定该地区的电话用户已经饱和，求从电话码薄中任选一个号码的前两位数字为24的概率。

9. 同时掷两颗骰子（每个骰子有六个面，分别有点数1，2，3，4，5，6），观察它们出

现的点数，求两颗骰子得点数不同的概率。

10. 一批零件共100个，其中次品有10个，今从中不放回抽取2次，每次取一件，求第

一次为次品，第二次为正品的概率。

11. 设连续型随机变量X的分布函数为

x???2F(x)??A?Be?0?2x?0 x?0求（1）系数A及B；（2）X的概率密度f(x)；（3）X的取值落在（1，2）内的概率。

12. 假设X是连续随机变量，其密度函数为

2??cx,0?x?2 f(x)??

??0,其他求：（1）c的值；（2）P(?1?X?1)

13. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数F(x,y)?A(B?arctanx)(C?arctany)，

求常数Ａ，Ｂ，Ｃ(???x???),(???y???)．

14. 设随机变量X的分布函数为

?0,x?1? FX(x)??lnx,1?x?e

?1,x?e?求P{X?2},P{0?X?3},P{2?X?52}；（2）求概率密度fX(x)

15. 设随机变量X的概率密度为

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1?2(1?),1?x?2,?2x f(x)??

?0,其他.??1?x?1?x?0?16. 设随机变量X的概率密度为f(x)??1?x0?x?1，求E(X)，D(X)。

?0其它??ex??17. 设X的概率密度为f(x)??2?xe???2x?0，试求|X|的数学期望。

x?018. 搜索沉船，在时间t内发现沉船的概率为1?e??t（λ>0），求为了发现沉船所需的平

均搜索时间。

19. 设Ｘ服从参数为?的指数分布，即Ｘ有密度函数

??e??x,x?0?f(x)??

其他??0,2求：E（X），E（X）。

20. X*?

X?E(x)称为对随机变量X的标准化随机变量，求E(X*)及D(X*)。

D(x)二、计算题2

21. 已知X~B(n,p)，试求参数n,p的矩法估计值。 22. 设总体X在[a,b]上服从均匀分布

?1? f(x,a,b)??b?a??0x?[a,b]x?[a,b] ，试求参数a,b的矩法估计量。

223. 设X1,???,Xn是来自N（?，?2）的样本，求?，?的最大似然估计。

24. 设有一批产品。为估计其废品率p，随机取一样本X1，X2，?，Xn，其中

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?0取得合格品Xi?? （i=1,2,?,n）

1取得废品?1n??X??Xi是p的一致无偏估计量。 则pni?125. 设总体X的均值?及方差?2都存在，且有?2?0。但?，?2均未知。又设

X1,X2,...,Xn是来自X的样本。试求?，?2的矩估计量。

26. 某厂生产的某种型号电池，其寿命长期以来服从方差σ2=5000（小时2）的正态分布。

今有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命波动性较大。为判断这种想法是否合乎实际，随机取了26只这种电池测出其寿命的样本方差s=7200（小时）。问根据这个数字能否断定这批电池的波动性较以往的有显著变化（取a=0.02，查表见后面附表）?

概率论与数理统计附表 标准正态分布部分表 Z 1.8 1.9 2.4 2.5

χ分布部分表

n 24 25 26

常用抽样分布

a=0.995 9.886 10.520 11.160 a=0.99 10.856 11.524 12.198 a=0.05 36.415 37.652 38.885 a=0.025 39.364 40.646 41.923 a=0.01 42.980 44.314 45.642 a=0.005 45.559 46.928 48.290 2

2

2

0 1 2 3 4 5 6 7 0.9641 0.9648 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 U?X???n~N(0,1)

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T?X??S/n~t(n?1)

??2(n?1)S2?2~?2(n?1)

27. 某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8，且各户用电量多

少是相互独立的。求：

1、 同一时刻有8100户以上用电的概率；

2、 若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以0.975的概率

供应居民用电？（查表见后面的附表）

概率论与数理统计附表 标准正态分布部分表

Z 1.8 1.9 2.4 2.5

χ分布部分表

n 24 25 26

常用抽样分布

a=0.995 9.886 10.520 11.160 a=0.99 10.856 11.524 12.198 a=0.05 36.415 37.652 38.885 a=0.025 39.364 40.646 41.923 a=0.01 42.980 44.314 45.642 a=0.005 45.559 46.928 48.290 2

0 1 2 3 4 5 6 7 0.9641 0.9648 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 U?X???nX??S/n~N(0,1)

T?~t(n?1)

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??2(n?1)S2?2~?2(n?1)

2

28. 某种电子元件的寿命x（以小时计）服从正态分布，μ,σ均未知，现测得16只元件，其样本均值为x?241.5，样本标准方差为S=98.7259。问是否有理由认为元件的平均寿

命大于225（小时）？

T分布表 N 13 14 15 16

a=0.25 0.988 0.6924 0.6924 0.6901 a=0.10 1.502 1.3450 1.3406 1.3368 a=0.05 1.7709 1.7613 1.7531 1.7459 a=0.025 2.1604 2.1448 2.1315 2.1199 29. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下有正态分布N(4.55，0.1082)。现在测了五

炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。问：若标准差不改变，总体平均值有无变化？（a=0.05）

标准正态分布部分表 Z 1.8 1.9 2.4 2.5

常用抽样分布

0 1 2 3 4 5 6 7 0.9641 0.9648 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 U?X???n~N(0,1) T?X??S/n~t(n?1) ??2(n?1)S2?2~?2(n?1)

30. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下有正态分布N(4.55，0.1082)。现在测了五

炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。问：若标准差不改变，总体平均值有无变化？（a=0.05）

标准正态分布部分表

Z 1.8 1.9 2.4 0 1 2 3 4 5 6 7 0.9641 0.9648 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 第 6 页 共 15 页

2.5

0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 常用抽样分布

U?

X???n~N(0,1) T?X??S/n~t(n?1) ??2(n?1)S2?2~?2(n?1)

答案

一、计算题1

1. 解：（1）ABC；（2）ABC；（3）ABC；（4）A+B+C；（5）AB+BC+CA（每个3分） 2. 解：（1）AB={2，4}；（2）A+B={1，2，3，4，5，6，8}；

（3）B={1，3，5，7}；（4）A-B={1，3}；（5）BC={1,2,3,4,5,6,7,8}（每个3分）

3. 解：（1）{（HH）（HT）（TH）（TT）}

（2）{4，5，6，…}

（3）{(12,0)(0,12)(1,2)(2,1)} 其中：1为一号球，2为二号球（每个5分）

4. 解：（1）利用事件的运算定义，该事件可表示为ABC。

（2）同理，该事件可表示为ABC。 （3）AB

?BC?AC（每小题5分）

5. 解：（1）A?B?C

（2）ABC?ABC?ABC （3）ABC?ABC?ABC (4) BC?AC?AB (5) ABC（每小题3分）

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22 解：基本事件的总数n?C8；基本事件数k?C5。故所求的概率

kC525p??2??0.375 nC814 7. 解：任取一零件，设B1，B2分别表示它是第一、二台车床的产品，A表示它是合格品。（4分）则 P(B1)?12，P(B2)? 33P(A|B1)?1?0.03?0.97，P(A|B2)?1?0.02?0.98（10分） 由全概率公式得 P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)? 21?0.97??0.98?0.973（15分） 338. 解：第一位数字不能是0，这时，基本事件的总数为1069（3分）

A表示“任选的电话号码的前两位数字恰好为24”。由于电话号码的前两个数字为24，

5

后五个数字中每一个可以由0,1,2,?,9中任取，故对A有利事件的数目为10。（6分）于是

1051P(A)?6?（15分）

10990

9. 解：一个基本事件是由两个数字组成的排列（i，j），i,j=1,2,3,4,5,6，而i,j可以

重复，故基本事件的总数为6。（5分）A表示“两颗骰子掷得的点数不同”。对A有利的基本事件数等于所有i≠j排列方式的数目，即从1，2，3，4，5，6这六个数字任取其二

2A562

P(A)??作不可重复的排列方式数A6，所以（15分）

6262

10. 解：记A?{第一次为次品}、B?{第一次为正品}，要求P（AB）。（2分）

，而P（BA）＝已知P（A）＝0.190，因此（8分） 9990P（AB）＝P（A）P（BA）＝0.1＝0.091（15分）

9911. 解：

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（1）由于F(??)?limF(x)?1，所以有lim(A?Bex????x22x???)?A?1。又由于X为连续型随机变量，F(x)应为x的连续函数，应有x2?2x?0?limF(x)?0?limF(x)?lim(A?Be?x?0x?0)?A?B 2x???2所以A+B=0，B=-A=-1，代入A、B之值得F(x)??1?e??0x?0（5分） x?02??x?2（2）对函数F(x)求导得x的概率密度为f(x)?F'(x)??xe??0（3）由P{a?x?0（10分） x?0X?b}??f(x)dx?F(b)?F(a)式有 abP{1?X?2}?F(2)?F(1)?e ?12?e?2?0.4712（15分） ??12. 解：（1）因为f(x)是一密度函数，所以必须满足? c??f(x)dx?1，于是有（5分） ?20x2dx?1 解得c?3（10分） 8101?1?10（2）P(?1?X?1)??f(x)dx??0dx??f(x)dx31??x2dx?0881（15分）

13. 解：由分布函数的性质得：

limA(B?arctanx)(C?arctany)?A(B?)(C?)?1（４分）

x???22y???limA(B?arctanx)(C?arctany)?A(B?)(C?arctany)?0（８分） x???2第 9 页 共 15 页

???limA(B?arctanx)(C?arctany)?A(B?arctanx)(C?)?0（１２分） y???2??1由此可解得C?,B?,A?2。（１５分）

22?

??0,x?1?14. 解：（1）FX(x)??lnx,1?x?e

?1,x?e?P{X?2}?FX(2)?ln2（3分）

P{0?X?3}?FX(3)?FX(10)?1?0?1（6分） P{2?X?52}?FX()?FX(2)?ln5255?ln2?ln（9分） 24?0,其他?（2）fX(x)?FX(x)'??1（15分）

1?x?e?，?x

15. 解：因概率密度f(x)在x?1,x?2处等于零，即知

当x?1时，F(x)??x??xf(x)dx??0dx?0,（3分）

??x当x?2时，

F(x)????f(x)dx?1??f(x)dxx?x?（8分）

?1??0dx?1.当1?x?2时，

F(x)??x??f(x)dx??0dx??2(1???1x1x1)dx2x11?2(x?)?2(x??2).x1x（12分）

故所求分布函数是

?0,x?1,?1?F(x)??2(x??2),1?x?2,（15分）

x???1,x?2.第 10 页 共 15 页

16. 解：E(X)??xf(x)dx??x(1?x)dx??x(1?x)dx?0（7分）

???10??01D(x)?E(X2)?[E(X)]2??x2f(x)dx??x2(1?x)dx??x2(1?x)dx????10??011（15分） 6

??exe?xE(X)??|x|f(x)dx???xdx??xdx?117. 解：令Y=|X|，所以：（15

????022??0分）

18. 解：设发现沉船所需要的搜索时间为X。由题设知P{X?t}?1?e?t?F(t) （t>0）

（5分）

??e??t 故X的概率密度为f(t)???0t?0，可见X服从参数为λ的指数分布，因此t?0E(X)=1/λ,即发现沉船所需要的平均搜索时间为1/λ。（15分）

19. 解：E（X）???xe0????xdx???xde0???x??xe??x?0??e??xdx?0?1?（7分）

E（X2）???x2e??xdx0

??xde0?2??x??x2??xe?0?2?xe0???xdx???xe2???x?0dx?2（15

?2分）

20. 解：E(X*)?

E(X)?E(X)D(X)?0 ；D(X*)?D(X?E(X))D(X)??1

D(X)D(X)

二、计算题2

21. 解：因为E(X)=np，D(X)=np(1-p)，由样本的一阶原点矩和二阶中心矩及矩估计法知

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有：1nn?Xi?n?p?，1?n(Xi?X)2?n?p?(1?p?)（10分） i?1ni?11n(X21ni可解得：p??1?n??X)(i?1n?Xi)2i?11n，n??n?1n1n（20分）

Xii?1n?Xi?i?1n?(Xi?X)2i?1

22. 解：因为E(X)?a?b(b?a)21n2 ，D(X)?12，而X?n?Xii?12n)?1n?nS((Xi?X)2（10分）

i?1?a??b?所以可建立方程：??X??2??S2(n)?(a??b?)2（20分） ?12解得：a??X?3S(n) ，b??X?3S(n)，这就是参数a,b的矩法估计值。

23. 解：Ｘ的密度函数为f1?(x??)2X(x)?2?22??e，故似然函数为（2分）

n1?(Xi??)2 L(?)?()ne?i?12?22??（6分）

对数似然函数为：

l(?)??nn1n2ln(2?)?2ln?2?2?2?(Xi??)2（10分） i?1似然方程为

?l1n????2?(Xi??)?0;（14分）

i?1?ln1n2 ??2??2?2?2?4?(Xi??)（18分） i?1第 12 页 共 15 页

，

解得：??X,??S，可以验证使似然函数达到最大。（20分）

^^2224. 解：由题设条件

E(Xi)?p?1?(1?p)?0?p（2分）

D(Xi)?E(Xi2)?E(Xi)2?p2?1?(1?p)?02?p2?p(1?p)（4分）

1n1n1n?)?E(X)?E(?Xi)??E(Xi)??p?p（6分） E(pni?1ni?1ni?1?是p的无偏估计量，又 由定义知p1n1?)?D(X)?D(?Xi)?2D(pni?1n（10分）

由契比雪夫不等式，任给ε>0，

1D(X)??in2i?1n?p(1?p)?i?1n1p(1?p)np(1?p)?nn2??p|??}?P{|X?p|??}?P{|pn??1?2D(X)?1p(1?p)?0 2n???n??p|??}?0（17分） 所以：limP{|p1n??X??Xi是废品率p的一致估计量。 故pni?11n??X??Xi是废品率p的一致无偏估计量。从而，p（20分）

ni?1??1?E(X)??25. 解：?（7分） 2222??E(X)?D(X)?[E(X)]?????2解得 ?????1????2??221（14分）

分别以A1,A2代替?1,?2，得?,?的矩估计量分别为 ??A1?X,

21n21n2 ??A2?A??Xi?X??(Xi?X).（20分）

ni?1ni?121?2?2第 13 页 共 15 页

26. 解：本问题要求在水平0.02下，检验假设H0：σ2=5000 （H1：σ2≠5000）（4分）

因为?1?a/2(n?1)??1?0.02/2(25)?11.524，（8分）

22?a(n?1)??)?44.314（12分） /20.02/2(2522而??2(n?1)S22?0?25?7200?36（18分）

500022由于?1)??2??a)所以接受H0，即认为在0.02水平下这批电池的波动?a/2(n?1/2(n?1性较以往的并无显著的变化。（20分）

27. 解：（1）设随机变量Yn表示10000户中在同一时刻用电的户数，则Yn~B(10000,0.8)，

（2分）于是

np=10000X0.8=8000，np(1?p)?10000?0.8?0.2?40（6分） 所以概率为P{8100?Yn?10000}?P{8100?npnp(1?p)?Yn?npnp(1?p)?10000?np}

np(1?p)?P{2.5?Yn?npnp(1?p)?50}??(50)??(2.5)?1?0.9938?0.0062（10分）

(2)若每户用电功率为100W，则Yn户用是功率为100YnW，设电站供电功率为QW，则按题意有（12分）

QQ?8000?8000Yn?npQP{100Yn?Q}?P{Yn?}?P{?100}??(100)?0.9751004040np(1?p)Q?8000查正态分布表得φ(1.96)=0.975，所以100?1.96，解得Q=807840

40所以，电站供电功率应不少于807.84 kW. （20分）

28. 解：按题意需检验H0：μ≤μ0=225，H1：μ>225，取a=0.05，由于此检验的拒绝域

为T?x??0S/n?ta(n?1)，可查表得：ta(n-1)=t0.05(15)=1.7531（8分）

第 14 页 共 15 页

所以T?x??0S/n?241.5?22598.7259/16，?0.6685?1.7531，由于落在拒绝域外（接受域内）

故接受H0，即认为元件的平均寿命不大于225小时。（20分）

29. 解：σ2=0.1082，已知未变，因此用U检验法。（2分）

检验假设H0：μ=μ0=4.55

计算统计量的值

1x?(4.28?4.40?4.42?4.35?4.37)?4.364（8分）

5u?x??0?2?4.364?4.550.10852??3.85（14分）

nU检验法，查附表，a=0.05，有?(1.96)?1?a?0.975 2所以Za/2=1.96

比较统计量u与Za/2，因|u|=3.85> Za/2=1.96故u落入否定域。在a=0.05下，拒绝H0。认为含碳量比原来有显著变化。（20分）

30. 解：σ2=0.1082，已知未变，因此用U检验法。（2分）

检验假设H0：μ=μ0=4.55（4分） 计算统计量的值

1x?(4.28?4.40?4.42?4.35?4.37)?4.364（8分）

5u?x??0?2?4.364?4.550.10852??3.85（12分）

nU检验法，查附表，a=0.05，有?(1.96)?1?a?0.975（16分） 2所以Za/2=1.96（18分）

比较统计量u与Za/2，因|u|=3.85> Za/2=1.96故u落入否定域。在a=0.05下，拒绝H0。认为含碳量比原来有显著变化。（20分）

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