棒球棒上的最佳击球点问题分析

棒球棒上的最佳击球点问题分析

王凤军，王保成，杜俊成

（徐州空军学院航空ｐｑ站系．２２１０００）

摘要：本文建立了一个碰撞冲最对绕定轴转动刚体的作用的模型，米研究球棒击球的过程，并由撞击中心的概

念，求出其在球棒上的位置。

关键词：棒球棒，击球点，撞击中心

ＡＮＡＩＹＳＩＳＯＦＴＨＥＢＥＳＴＳＴＲＩＫＥＮＰＯＩＮＴＯＮＴＨＥＢＡＳＥＢＡＬＬＢＡＴ

ＷａｎｇＦｅｎｇｊｕｎ，Ｗａｎｇ

（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔＢａｏｃｈｅｎｇ，ＤｕＪｕｎｃｈｅｎｇＣｏｌｌｅｇｅ．２２１０００）ｏｆＦｏｕｒＳｔａｔｉｏｎｓ，ＸｕＺｈｏｕＡｉｒＦｏｒｃｅ

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎｃｒｅａｔｅｄ

ｗｈｉｃｈｒｏｔａｔｅｄａｒｏｕｎｄ

ｏｎａａｍｏｄｅｌｗｈｉｃｈｉｓａｂｏｕｔｔｈｅｅｆｆｅｃｔｏｆｔｈｅｉｍｐｕｌｓｅｉｎａｃｏｌｌｉｓｉｏｎｏｎａｒｉｇｉｄｂｏｄｙｆｉｘｅｄａｘｉｓｔＯｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｔｈｅｐｒｏｃｅｓｓｏｆｔｈｅｓｔｒｉｋｅ，ａｎｄｇｏｔｔｈｅｐｏｓｉｔｉｏｎｏｆｔｈｅｉｍｐａｃｔｃｅｎｔｅｒｔｈｅｂａｔｂｙｃｒｅａｔｉｎｇｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆｗｈｉｃｈ．

ｃｅｎｔｅｒＫｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｈｅｂａｓｅｂａｌｌｂａｔ，ｓｔｒｉｋｅｎｐｏｉｎｔ，ｔｈｅｉｍｐａｃｔ

１问题的提出

每个击球者都知道，在棒球棒的大头部分有一个点，当用这一点击球时转移的能量会达到最大。这一点为什么不在球棒的顶端呢？一个基于扭矩的简单解释似乎可以确定“最佳点”应该出现在球棒的顶端，但是这与实际的经验不符。建立一个模型，解释这一经验结论…。

２问题分析

球与棒碰撞会在握把处产生一定的净作用力，我们要在球棒上找到一个撞击中心，当球撞击在碰撞中心时，此净作用力为最小，此时握把处因为震动而产生能量损耗最小，从而最大限度地将能量传递给球，获得最佳的击球效果。

需要确定球棒上撞击中心的位置，我们就应该对击球过程进行深入地研究分析。首先。对运动员复杂的击球过程作简化假设，然后充分了解过程中各物理量的变化情况，最后运用相关的物理公式得出此碰撞模型下撞击中心的位置。

３问题假设

挥动球棒击球是一个复杂的运动过程。首先，球以一定的速度向击球者飞来。为厂研究方便｜＝‘，我们可以将其限定为水平平面内的匀速直线运动。在与球棒撞击之后．球将因受到力的作用而改变速度的大小作者简介：￥二Ｅ风车．徐州空Ｊ车学院研究１：管珲人队１Ｉ队学酗（卜Ｉｌｇ－Ｉｉｌ：ｘｚｋ，ｉｘｙ一，；ｋｇｌ２６．㈨ｍ，

和方向。其中，球受到作用力的值并不是恒定的，而是在极短的时间内从零增大到一个很大的值，然后再减小到零。其次，球棒在碰撞之前，其质点沿一段弧线作加速运动。我们可以将这一运动形式分解为球棒以一定速度的平动和绕以握把处为支点的转动。碰撞之后，在球的反作用力的作用下，球棒运动的速度亦发生改变。再者，球与棒所组成的系统会在碰撞中损失一部分能量。具体假设分为以下几点：

１球可以视作一个质点，而球棒可以视为刚体。

２球和棒碰撞时，球的速度方向垂直于球棒；球棒位于水平平面内且速度方向与球的速度方向相对。３球棒在碰撞瞬间，不考虑重力场的影响。

４对球棒的进行简化，球棒握把处支点以下设为圆柱体，支点以上是一个圆台，球棒上端为一个大的圆柱体，球棒的外形尺寸以及一些符号变量如图１所示。

ｌ

ｏ－ 一 一Ｉ ‘

‘

Ｉ

。

ｌ

工，…心Ｉ

交点。，。ｏＸ……一，璋棒质心‘立Ｉ

上上笪＿

图３碰撞冲量与ｙ轴垂直，图１球棒外形及尺寸图２碰撞模型图

４变量设定

Ｒ

Ｌ。大圆柱体的半径球棒支点以下的长度ｒ小圆柱体的半径圆台的高度

撞击中心到支点的距离ｋＬｂ

Ｍ球棒上端的长度球棒质量

５模型建立

击球手击球过程可看作一个绕定轴转动的刚体在平面内与质点的碰撞过程，如图２所示，从而建立一个碰撞模型口１。因球棒有质量对称平面，所以棒球的质心ＣＭ必在球棒的对称轴上。

当球棒与球碰撞瞬间，球给棒一个碰撞冲量ｌ的作用，经过球棒传递给击球手的手臂，求手臂的反碰撞冲量ｌｏｘ和ｌｏｙ。

取Ｏｖ轴通过质心ＣＭ，ｘ轴与Ｙ轴垂直．由冲量定理Ｈ’得：

ＭＶ。一ＭＶ。＝ＩＩ＋Ｉ。

Ｕｖｃ。一Ｍｖ许｜Ｉ。＋ｌ∞

上式中，Ｍ为球棒质量，Ｖｃ．ｘ，％币［１Ｖｃｙ，ＶＯ．分别表示碰撞前后质心速度沿ｘ，Ｙ轴的投影。

若手的位置固定不动，则有ｋＶＣ，Ｖ＝０．于是有

么＝Ｍ（ｋ一屹）一Ｉｘ

ｂ２—０（１）（２）

当球击在碰撞中心时，手不会受到反冲力的作用；而当击球点远离碰撞中心时，会有一定的净力作用在手上，这样会容易使紧握球拍的手受伤。因此，当，“‘０，，。，２Ｏ时最优。

分析式（１）、（２）可见：

落慧¨

由（１）式，要求外碰撞冲量与Ｙ轴垂直，即Ｉ必须垂直于ＯＣ＇如图３所示。

由（２）式，设质心ＣＭ到０的距离为ａ，则

Ｌ＝Ｍａ（ｗ２一ｗ１）

根据冲量矩嘲定理，有（３）

Ｌｚ２－－Ｌｚ ２善Ｍ（华’）

式中ｔｌ和ｔ２是球棒在碰撞开始和结束时对ｏｃ轴的动量矩。设Ｍ和％分别是这两个瞬间的角速度，Ｊ是球棒的转动惯量，得

叽一批。善Ｍ（舶

角速度的变化为

∑Ｍ“。）

屹一Ｍ２—了一

带入式（３）得

ＭＬ：了ＩＬ—ｊ

式中￡为Ｄ到撞击点的距离，则Ｋ最优碰撞点，当球打在Ｋ点时０净力最小。解得

￡；土

设球棒的密度为Ｐ，将球棒分解成三个部分，分别求出它们对于支点的转动惯量

小学

：＂ｒｔ＇／）Ｌ３２（ｒ０３）２Ｒ６＋ｒＲ３＋２，

小学（Ｌ２＋Ｌ３）３一ｔ】

最后得出球棒整体对于支点的转动惯量

川。“ｕ；学缈ｚ＋韭等望∥＋百ｐａｒＲｒＬ３２

同时求出球棒的质量

Ｍ叫厶ｒ２＋ＬｓＲ２＋１ｊＬｚＲ＋Ｒｒ＋ｒ２）】

将Ｊ和Ｍ代入式（４）得出Ｌ的值，并与Ｌ２＋三３的值进行比较发现

￡＜￡２＋厶

代入多个球棒自身的数据计算得到的￡与Ｌ２＋Ｌ３比值区域为０．７９．０．８６，即最佳击球点距离球棒端部的距离约为１２ｃｍ．１８ｃｍ处。这表明撞击中心并不位于球棒的顶端，而是在球棒顶端以下。如上所述，球若击在撞击中心，将获得较好的击球效果。这也很好地说明了球棒的最佳击球点并不位于顶端的原因。参考文献：

【１】

【２】

【３】

ｆ４】

【５】北美数学建模比赛．棒球棒上的最佳击球点问题，２０１０．王文波．数学建模及基础知识详解．武汉：武汉大学出版社，２００６，５．江启源，谢金星．数学建模案例选集．北京：高等教育出版社，２００６，７．程守洙，江之永．普通物理学．北京：高等教育出版社，２００１，７．刘寿长．高等物理化学．郑州：郑州大学出版社，２００５，４．

棒球棒上的最佳击球点问题分析

作者：

作者单位：王凤军， 王保成， 杜俊成徐州空军学院航空四站系,221000

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