高三数学直线与方程

第八单元 平面解析几何

第一节 直线与方程

基础梳理1. 直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴______ 与直线l______方向之间所成的角a叫做直线l的倾斜角.当直线l与 x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_________. ②倾斜角的范围为________. (2)直线的斜率 ①定义 一条直线的倾斜角a的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小 写字母k表示，即k=______,倾斜角是90°的直线斜率不存在.

②过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1 x2)的直线的斜率公式 为k=________. 2. 直线方程的五种形式

名称点斜式 斜截式 两点式

方 程

适用范围不含直线x=x0 不含垂直于x轴的直线 不含直线x=x1(x1 x2)和直 线y=y1(y1 y2)

截距式一般式

不含垂直于坐标轴和过原 点的直线平面直角坐标系内的直线 都适用

3. 几种特殊直线的方程 (1)过点P(a,b)垂直于x轴的直线方程为________;过P(a,b)垂 直于y轴的直线方程为________. (2)已知直线的纵截距为b,可设其方程为________. (3)已知直线的横截距为a,可设其方程为________. (4)过原点且斜率是k的直线方程为________. 答案：1. (1)①正方向 向上 0° (2)①正切值 tan a ② y2 y1x2 x1

②[0°,180°)x y 1 a b

2. y-y0=k(x-x0) y=kx+b

y y1 x x1 y2 y1 x2 x1

Ax+By+C=0(A2+B2 0) 3. (1)x=a y=b (2)y=kx+b (3)x=my+a (4)y=kx

基础达标1. (教材改编题)经过A(-4,-3),B(5,-1)两点的直线的倾斜角 是( ) A. 锐角 B. 钝角 C. 直角 D. 零度角 2.(教材改编题)若直线ax+by+c=0经过第一、二、三象限，则有 ( ) A. ab>0,bc>0 B. ab>0,bc<0 C. ab<0,bc>0 D. ab<0,bc<0 3.(教材改编题)过点(2,4)且在坐标轴上的截距相等的直线共有 ( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 4. 直线kx-y+1=3k,当k变动时，所有直线都通过定点________. 5. (教材改编题)过点A(1,1)和B(-1,5)的直线方程为_________.

答案：1. A 解析：k=tan a= 1 3 2 >0,所以倾斜角为锐角， 故选A. 2. D 解析：数形结合可知a b

5 4

9

>0,-

c b

>0,即ab<0,bc<0.

3. B 解析：截距为0时有一条，截距不为0时有一条.4. (3,1) 解析：将kx-y+1=3k变为直线的点斜式方程为y-1=k(x5 1 1 1

3),知直线过定点(3,1). 5. 2x+y-3=0 解析： 过A、B两点的斜率为k= =-2,由点

斜式写出直线方程化简得2x+y-3=0.

经典例题题型一 直线的倾斜角和斜率 【例1】 已知经过A(m,2),B(-m,2m-1)的直线的倾斜角为a,且 45°<a<135°,试求实数m的取值范围解：当m=0时，a=90°,满足题意； 当m 0时，∵45°<a<135°, ∴k>1或k<-1,

∴ 2m 3 2 m

>1或 2m 3 <-1,解得0<m< 3

或m<0. 2 m

综上，m的取值范围是 , 3 . 4

4

变式1-1 直线xcos q+y-1=0(q∈R)的倾斜角的范围是 3 3 A. 0 B. , C. 0, D. , 4 4 4 4

(

)

答案：D 解析： 设倾斜角为a,则k=tan a=-cos q. ∵q∈R,-1≤-cos q≤1,∴-1≤tan ∴a∈ 0, 3 , 4 4

a≤1,

题型二 求直线的方程 【例2】 求经过点A(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和等于 12的直线方程. 解：方法一：由题意可知直线在坐标轴上的截距不能为零，设 直线在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为12-a,直线方程 为x + y =1,因为直线过点A(-3,4), a 12 a 3 a

所以

+

4 12 a

=1,

整理得a2-5a-36=0,解得a=9或a=-4, 所以直线方程为x + y =1或 x + y =1, 9 4 16 3

即x+3y-9=0或4x-y+16=0.

方法二：因为直线在两坐标轴上都存在截距且不为零，故直线

的斜率存在且不为零，故设直线方程为y-4=k(x+3)(k¹0).当x=0时，y=4+3k, 当y=0时，x=- 4k

-3,3

所以3k+4- 4 -3=12,即3k2-11k-4=0,解得k=4或k=- 1 ,所k

以直线方程为y-4=4(x+3)或y-4=- 1 (x+3),3

即4x-y+16=0或x+3y-9=0.

方法三：设直线方程为y=kx+b,因为直线过点A(-3,4),

所以3k-b+4=0,①又直线在两坐标轴上的截距之和为12, 所以b+ b k

=12.②

1 ,b=3, 3 所以直线方程为y=4x+16或y=- 1 x+3, 3

由①②解得k=4,b=16或k=-

即4x-y+16=0或x+3y-9=0.

变式2-1 求过点P(3,4),且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线 方程.

解：当直线过原点时，方程为y= x;当直线不经过原点时，设方程为 x +ay 2a

4 3

=1,

把P(3,4)代入得a=5, 方程为2x+y-10=0,综上，所求方程为y= 4 x或2x+y-10=0.3

题型三 与直线方程有关的最值问题 【例3】 直线l过点M(2,1),且分别与x、y轴正半轴交于A、B两点， O为原点.求当△AOB面积最小时，直线l的方程. 解：方法一：设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k<0), 则有A 2 1 , 0 与B 0,1 2k , k

所以S(k)= 当-4k=1 k

1 2

(1-2k) 2 1 = 1 k 1 2

1 4 4k 2 k

≥1 (4+4)=4,当且仅2

,即k=-

时，等号成立.2

故直线l的方程为y-1=-1 (x-2),即x+2y-4=0.

方法二：设过M(2,1)的直线为 则 2 + 1a b2 1 a b

x a

+ y =1(a>0,b>0),b

=1. ≤2 + 1a

由基本不等式得2

=1,即ab≥8,1 = 2

2 S△AOB=ab≥4,当且仅当 a

=

b 1 b

,即a=4,b=2时，

等号成立.

故直线方程为

x 4

+

y 2

=1,即x+2y-4=0.

变式3-1 过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，则 |PA|×|PB|的值最小时直线l的方程是________.

答

案：x+y-3=0

1 2 ,0 解析：设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k<0),则A k ,

B(0,1-2k),|PA|×|PB|=

1 4 4k 2 1 2 k

=

1 8 4 k2 2 k

≥4,

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