线性代数知识点典型题

一、方程组

1、设方程组x2x

1 2 0有非零解，则k=（ ）

2x1 kx2 0

A. 2 B. 0 C. 1 D. 4

2、若方程组xx

1 2 0有非零解，则k=（ ）

kx1 x2 0

A. -1 B. 0 C.1

D.2

aaa3、设A=11

1213

a11x1 a12x2 a13x3 0

a21

a22a23 为3阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组 a21x1 a22x2 a23x3 0的解为（ ） a31

a32

a33

a31x1

a32x2 a33x3 0A． 1,1,1 T

B． 0,0,0 T

C． a11,a12,a13

T D．(0,1,0)T

1

22 4、设矩阵A=

2

t3

，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=（ ）

34

5

3x1 kx2 x3 0

5、如果方程组

4x2 x3 0有非零解,则 k=（ ）

4x2 kx3 0A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

6、设A为5阶方阵，若秩（A）=3，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中包含的解向量的个数是（ A．2 B．3 C．4 D．5 7、设A为4×5的矩阵，且秩（A）=2，则齐次方程Ax=0的基础解系所含向量的个数是（ ）

8、设A为5阶的矩阵，且秩（A）=2，则齐次方程Ax=0的基础解系所含向量的个数是（ ） 9、齐次线性方程组 x 1

3x3 4x4 5x5 0

x 3x的解空间的维数是___________.

2 2x34 x5 0 x y z 0

10、线性方程组

2x 5y 3z 10的解为（ ）

4x 8y 2z 4A．x=2,y=0,z=-2 B．x=-2,y=2,z=0 C．x=0,y=2,z=-2 D．x=1,y=0,z=-1 11、设非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵为 1

002 1

01

0 1 2 ，则该方程组的通解为（ ） 00

2

4

6

12、设 1， 2是Ax=b的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ ） A. η+ 1是Ax=0的解

B. η+（ 1- 2）是Ax=0的解

）

C. 1+ 2是Ax=b的解 D. 1- 2是Ax=b的解

13、方程组x1 x2 x3 0的通解是___________.

14、设四元非齐次线性方程组AX b的系数矩阵A的秩为3, 已经它的三个解向量为 1, 2, 3, 其中

3 4 ,

1 2

4

6

8 0

1 2 3

，则该方程组的通解为（ ）

x1 x2 3x3 x4 1,

15、求下列方程组的通解 3x1 x2 3x3 4x4 4,

x 5x 9x 8x 0.

234 1

x1 x2 x3 4x4 3x5 1

x1 x2 3x3 2x4 x5 3

16、求线性方程组的通解

2x x 3x 5x 5x 32345 1

3x x 5x 6x 7x 5

2345 1 x1 x2 x3 x4 x5 1

3x1 2x2 x3 x4 3x5 6

17、求线性方程组 的通解.

x2 2x3 2x4 6x5 3

5x 4x 3x 3x x 8

2345 1

x1 x2 x3 x4 0

18、求齐次线性方程组 x1 2x2 4x3 4x4 0的通解.

2x 3x 5x 5x 0

234 1 ２x3 1 x1　　

19、已知线性方程组 x1 x2 3x3 2

2x x 5x a

23 1

（1）求当a为何值时，方程组无解、有解.

（2）当方程组有解时，求出其全部解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.

2x1 x2 x3 1

20、设3元线性方程组 x1 x2 x3 2，

4x 5x 5x 1

23 1

（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？

（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示） 二、行列式按行（列）展开性质

1

3426

9614

7833

1、设D=215

， D中元素aij的代数余子式Aij,则 A41 3A42 9A43 7A44=（ ）

A. 0 B. 3 C. 2 D. 4

36426

9604

12833

2、设D=

215

， D中元素aij的代数余子式Aij,则A41 2A42 3A44=（ ）

A. 0 B. 3 C. 2 D. 4 1

3426

9614

7833

3、设D=

215

， D中元素aij的代数余子式Aij,则A41 2A42 A43 3A44=（ ）

A. 0 B. 3 C. 2

3

513 4

201 1

1 53 3

,

D. 4

4、设D

1 12

D中元素aij的余子式和代数余子式依次记作Mij和Aij,求（1）

A11 A12 A13 A14

； （2）M11 M21 M31 M41 4472

12351

3462

5、设D=

311

， D中元素aij的代数余子式Aij，试求A41 A42与A43 A44.

6、已知4阶行列式D中第1行的元素分别为1，2，0，-1，第3行的元素的余子式依次为5，x，17，1，则

x=__________.

三、向量

1、设向量α=（4，-1，2，-2），则下列向量是单位向量的是（ ） A．

13

15

19

125

α

B．

α

C．

α

D．

α

2、已知向量α=（3，5，7，9），β=（-1，5，2，0），如果α+ξ=β，则ξ=（ ）

3、设α与β的内积（α，β）=2，‖β‖=2，则内积（2α+β，-β）=___________. 四、秩

a1 a2

1、设A为n阶非零矩阵，且A

a n

(b1,

b2,

,

bn),

则r(A) （ ）

A．n B．1 C．2 2、已知向量 1 (2,3,4,5,),

2 (3,4,5,6),

D．n-1

3 (4,5,6,7),

4 (5,6,7,8)，则向量组 1, 2, 3, 4

的秩为（ ）

A．1 B．-1 C．2

D．-2

3、向量 1=（1，0，-2）， 2=（3，0，7）， 3=（2，0，6）. 则 1, 2, 3的秩为（ ）

k

4、设矩阵A= 1

1 1

1k11

11k1

1

1, 若r(A) 1, 1 k

则k （ ）

5、已知向量组 1 (1,2, 1), 2 (2,0,t), 3 (0, 4,5)的秩为2，则数t=（ ）

1

6、矩阵A 3

5

135

135

1

3 的秩= __________. 5

7、求向量组 1 (1,2, 1,1)T,线性无关组.

2 (2,0,3,0),

T

T

3 (0, 4,5, 2)， 4 (3, 2,7, 1)的秩与一个极大

T

1 6 1 2

8、求向量组α1= 1 ，α2= 3 ，α3= 2 ，α4= 4 的秩与一个极大线性无关组.

5 6 1 5

1 1 1 2

1 211

9、求向量组α1= ，α2= ，α，α的秩与一个极大线性无关组，并把不属于极3=4= 62 24

6 9 7 3

大无关组的向量用极大无关组线性表示。 10、求向量组 1 (1,1,4,2),性无关组与秩.

五、特征值与特征向量

2

1、设3阶方阵A的特征多项式为 E A ( 2)( 3)，则A=（ ）

T

2 (1, 1, 2,4),

T

3 ( 3,2,3, 11),

T

4) (1,3,10,0)的一个极大线

T

A. -18 B. -6 C. 6

1

2、设矩阵A= 0

0 0

1200

1130

D. 18

1 1

，则A的线性无关的特征向量的个数是（ ） 1 3

A．1 B．2 C．3 D．4

3、设 =2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵（A2）-1必有一个特征值等于（ ）

A．

14

B．

10

12

C．2 D．4

0

4、设矩阵A= 0

1 1

0 ，则A的特征值为（ ） 0

A．1，1，0 B．-1，1，1 C．1，1，1 D．1，-1，-1

5、设A为3阶矩阵，且已知|3A+2E|=0，则A必有一个特征值为（ ）

1

6、设矩阵A= 0

0 0

1200

1130

1 1

，则A的线性无关的特征向量的个数是（ ） 1 3

A．1 B．2 C．3

1

7、已知矩阵A= 0

1

010

D．4

1

0 的一个特征值为0，则x= （ ） x

13A

8、已知3阶方阵A的特征值为1，-3，9，则 （ ）

9、已知3阶方阵A的特征值为1，2，3，则A3 5A2 7A （ ）

2

10、设矩阵A 0

4

1a1

1 1

0有一个特征值 2，对应的特征向量为x 2，则数a=（ ） 2 3

11、已知3阶方阵A的特征值为1，2，3，则2A 1的特征值为 （ ） 12、已知3阶矩阵A的3个特征值为1，2，-1，则|A|= __________.

六、二次型

222

1、设二次型f(x1,x2,x3) 2x1 3x2 3x3 2ax2x3正定，则数a的取值应满足（ ）

*

A. a＞9 B. 3≤a≤9 C.-3＜a＜3

1

2、设矩阵A= 1

0

12 a0

D. a≤-3

0

0 为正定矩阵，则a的取值范围是.（ ） 3

222

3、已知二次型f(x1,x2,x3) x1 2x2 x3 2x1x2 4x1x3 6x2x3是正定的，则λ的取值范围是_____.

t

4、设矩阵 1

0

120

0

0 为正定矩阵，则t取值为（ ） t

222

x2 x3,则f(x1,x2,x3)（ ） 5、设有二次型f(x1,x2,x3) x1

A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定

211

6、设A

1

60

，则二次型f xTAx是（ ） 1

4

A. 正定 B. 负定 C. 半正定 D. 不定

2

10 7、设A

1

30

，则二次型f xTAx是（ ）

00

6

A.正定 B.负定 C.半正定 D.不定

8、二次型f(x1,x2,x3,x4)=x222

1+x2+x3+x24

+2x3x4的秩为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

9、二次型f(x,x2221,x23) x1 2x1x2 2x1x3 2x2 4x2x3 x3的秩为（ ）

10、二次型f(x1,x2,x223) x1 4x1x2 2x1x3 2x22 6x3的秩为（ ）

11、二次型x22xx221 1x2 21x3 2x2 4x2x3 x3的标准形为（ ）12、二次型f(xx222

1,x2,x3) 21 3x2 3x3 4x2x3的标准形为.

23 13、二次型f(x) xT

1 4

56

x的矩阵为（ ）

78

9 23 35 23 1

A. 1 4

56 B. 1

3

57 C. 1

4

56 D. 3

78

9

57

9

78

9 2

14、二次型f(xx2x2

1,2,x3) x21 x2 3 2x1x2 4x1x3的矩阵为（ ）

24 24 12 10

A． 1

2

10 1 B． 0

10 1

C． 1

10 D． 1

1

12

40

1 00

1

20

1

02

1

1

21 15、矩阵

A= 2

10 对应的二次型f(x1,x2,x3) = （

10

3

七、方阵的行列式

1、设A为3阶方阵，且|A|＝2，则|2A-1

|=（ ） A．-4 B．-1 C．1 D．4 2、设A、B为同阶方阵，下列等式中正确的是（ ）

A. AB=BA B. A B 1 A 1 B 1 C. A B A B D. A B T

AT BT

）

3、设A为3阶方阵，且已知|-2A|=2，则|A|=（ ）

A．-1 B．-14

C．

14

D．1

4、设A为三阶矩阵，且|A|=2，则|（A*）-1

|=（ ）

A.

14

B. 1 C. 2 D. 4

5、设A为n阶正交矩阵，则行列式|A2|=（ ）

A．-2 B．-1 C．1 D．2

6、设A是4阶方阵，且|A|＝-2，则|A |＝（ ）

八、向量组的线性相关性

1、设 可由向量α1 =（1，0，0）α2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量中 只能是（ A.（2，1，1） B.（-3，0，2） C.（1，1，0） D.（0, -1, 0）

2、若向量组α1，α2线性相关，则 （ ） A. α1＝ｋα2或α2＝ｋα1 B. α1,α2中必有一个零向量

C. α1,α2都是零向量 D. 必有α1=α2

3、如果向量α=（1，5，-1，y）和β=（x，-10，2，1）线性相关，则y=（ ） 4、已知向量α=（1，2，-1）与向量β=（x，1，y）线性相关，则y=（ ） 5、若向量 1 (1,x, 3)与 2 (2,5,y)线性相关，则x6、设β1 1, 2 1 2, , r 1 2 r且向量组 1, 2, , r线性无关，组β1，…，βr线性无关.

7、设向量组α1，α2线性无关，证明向量组β1=α1+α2，β2=α1-α2也线性无关

九、向量的正交

1、下列向量中与 =（1，1，-1）正交的向量是（ ）

A. 1=（1，1，1） B. 2=（-1，1，1） C. 3=（1，-1，1） D. 4=（0，1，1）A．

32

B．

23

C．

23

D．

32

2、已知向量α=（1，2，-1）与向量β=（0，1，y）正交，则y=（ ）

十、矩阵的乘法 1、设 11 1

211 2

X 3

, 则X=( ).

11

1 6

1

A. 2

0

1

3 B. 11 2 C. 1

23

1

3 D. 3 2

） 证明：向量

2、设矩阵A＝（1，2），B＝

1 32 1，C＝ 44

25

3

，则下列矩阵运算有意义的是（ ） 6

A．ACB B．ABC C．BAC D．CBA

1

3、已知矩阵A=

1

A．

0

1 0

1

1

10

，B= 11 ，则AB-BA=（ ）

1

1

1

C．

0

1

2

1

B．

0 0

00

D．

0

0

1

4、三阶矩阵A= 0

0

750

9

4 ，则A*A=（ ） 3 022

023

1

5、设3阶矩阵A= 2

1

1

5、设3阶矩阵A= 2

3

0

0 ，则A*A=（ ） 3

0

0 ，则A*A=_____________. 3

十一、矩阵的相似

1、若A与B相似，则（ ）

A. A=B B. A，B有相同的特征向量 C. A-λE=B-λE D. |A|=|B| 2、设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3. 则|B-1|=（ ）

A．

112

B．

17

C．7 D．12

3、设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为1，2，3. 则|B-1|=（ ）

A．

112

B．

16

C．6 D．3

2

4、设矩阵A= 2

0

21 2

0 -1

2 ，求可逆矩阵P及对角矩阵∧，使得PAP=∧. 0 031

0

1

1 , 试求出可逆矩阵P, 使PAP为对角阵. 3

4

5、设有对称矩阵A 0

0

1

6、设矩阵A= 0

2

1

7、设矩阵A= 2

4

012

12 2

2

2 ，求可逆矩阵P及对角矩阵∧，使得P-1AP=∧. 0

0 -110

（1）求可逆矩阵P及对角矩阵∧，使得PAP=∧；（2）求A 0 ，1

8、设P 1AP ，其中P 1

1

9、设矩阵A= 2

4

12 2

1

4

,, 1 1

0

0 ，求A5 2

0

-1

（2）求A3 0 （1）求可逆矩阵P及对角矩阵∧，使得PAP=∧；

1

十二、矩阵的相等 1、设矩阵

a b

4 2 = d c

a b

，则（ ） 3

A．a=3,b=-1,c=1,d=3 B．a=-1,b=3,c=1,d=3 C．a=3,b=-1,c=0,d=3 D．a=-1,b=3,c=0,d=3

十三、矩阵的逆阵 1、矩阵

3 1

3

的逆矩阵是（ ） 0

1 0 B． 13

0 3

C． 1 3

3

1 1

0A．

3

1

D．

1 1 3 0

1

0

2、设A=

0 0

0300

0400

0050

0060

0

0

, 则A-1= （ ） 0 7

0 0 0 8

3、设

2 A= 0

0 0

, 则A-1= （ ）

4、设

3A= 0

0

5200

020

21001000

0 0 5

，则A 1=（ ）

5设

A

00850200

0 0 3 2

, 则A 1=（ ）

6、设A=

0

0 0 50

0 3 0

2

, 则A-1= ________ ___.

7、设A是n阶方阵，且A A 2E 0，证明A及A+2E都可逆

2 1

8、设方阵B满足B B，A E B，证明：A可逆，并求A

9、设A，B为n阶方阵，且满足2B 1A A 4E, 其中E为n阶单位矩阵，证明：B-2E为可逆矩阵，并

求 B 2E

1

10、设A是n阶方阵，且（A+E）2=0，证明A可逆 十四、初等矩阵的作用

a11a12a13 a21

1、设矩阵A= a21a22a23 ，B= a11

a22a12 0

a13 ，P1 1

a23

100

0 , 1

P2 0

010 0 ， a31a32a

33

a31 a11a32 aaa 12

33 13 00

1

则必有（ ）

A．AP1P2 B于 B．AP2P1 B C．P1P2A B

D．P2P1A B

0

01 99

2、 1

23 100

100 0

10 234 001 =（ ）

10

0

34

5

01

0

0

01

9

3

00 001

10

3、 0

10 010 010 = .

1

0

02

1 1

0

十五、行列式的计算

a11

a12a13a115a11 2a12a13

1、设行列式D=a21

a22a23=3，D1=a21

5a21 2a22a23，则D1的值为（ a31

a32

a33

a31

5a31 2a32

a33

0102、

0200=（ ）

000 54

200120022003

3、2004

20052006=（ ） 2007

2008

2009

1 124．行列式0

15 （ ）

2 2

22100204

5、行列式200398=__________. 301

300

600

10

1

）

x1x21

11x2x

2 111,

6、已知

f(x)

131

则x3的系数=____________.

0 1 12120 12

1121

10 11

2200.

7、计算行列式D

1 1231 10

1112 50 1 7.

420 5

.

8、计算行列式D

212112

1

9、计算行列式

111

1 626

10、计算行列式

101

324

11、.排列36715284的逆序数为（ ）

十六、解矩阵方程

1

1、解矩阵方程 1

4 X2

2

1

0 3 1 0

1

1

1

2、设A 2

3

1

3、已知A=

1

224

3

21 , B= 5

3

4

2

2，B=

1

1

1

C , 2 3 3

0 1

3，C=

0

1

1

3

0 (1) 求 CB1

T;(2) 求矩阵X, 使满足AXB=C .

，矩阵X满足AXB=C，求解X.

1

4、设A 0

1

2 1

020

1 2

0 , AB E A B, 求B. 1

2 2

，C= 3 5

1

，X满足AX+B=C，求X 2

5、已知A=

5 1

，B= 3 4

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