微积分下 第二版 课后习题答案 同济大学

习题1—1解答 1． 设f(x,y)?xy?x11x1，求f(?x,?y),f(,),f(xy,), yxyyf(x,y)解f(?x,?y)?xy?111yx1yx?;f(xy,)?x2?y2;?2；f(,)?

xyxyxyf(x,y)xy?xy2． 设f(x,y)?lnxlny，证明：f(xy,uv)?f(x,u)?f(x,v)?f(y,u)?f(y,v)

f(xy,uv)?ln(xy)?ln(uv)?(lnx?lny)(lnu?lnv)?lnx?lnu?lnx?lnv?lny?lnu?lny?lnv?f(x,u)?f(x,v)?f(y,u)?f(y,v)3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）f(x,y)?1?x?（2）f(x,y)?2

y2?1;

;

4x?y2ln(1?x2?y2)x2y2z2（3）f(x,y)?1?2?2?2;

abc（4）f(x,y,z)?x?y?z1?x?y?z222.

解（1）D?{(x,y)x?1,y?1? （2）D?(x,y)0?x?y?1,y?4x?222?

??x2y2z2（3）D??(x,y)2?2?2?1?

abc??（4）D?(x,y,z)x?0,y?0,z?0,x?y?z?1

?222?

4．求下列各极限：

1

（1）limx?0y?11?xy1?0=?1 22x?y0?1ln(x?ey)x?y22（2）limx?1y?0?ln(1?e0)1?0?ln2

（3）lim2?xy?4(2?xy?4)(2?xy?4)1?lim??

x?0x?0xy4xy(2?xy?4)y?0y?0（4）limsin(xy)sin(xy)?lim?x?2

x?2x?2yxyy?0y?05．证明下列极限不存在：

x2y2x?y（1）lim ; （2）lim22x?0xy?(x?y)2x?0x?yy?0y?0（1）证明 如果动点P(x,y)沿y?2x趋向(0,0) 则limx?yx?2x?lim??3；

x?0x?0x?2xx?yy?2x?0x?y3y?lim?3

y?0y?0x?yyx?2y?0如果动点P(x,y)沿x?2y趋向(0,0)，则lim所以极限不存在。

（2）证明： 如果动点P(x,y)沿y?x趋向(0,0)

x2y2x4?lim4?1； 则lim222x?0x?0xxy?(x?y)y?x?0x2y24x4?lim4?0 如果动点P(x,y)沿y?2x趋向(0,0)，则lim2222x?0x?0xy?(x?y)4x?xy?2x?0所以极限不存在。

6．指出下列函数的间断点：

y2?2x（1）f(x,y)?； （2）z?lnx?y。

y?2x解 （1）为使函数表达式有意义，需y?2x?0，所以在y?2x?0处，函数间断。 （2）为使函数表达式有意义，需x?y，所以在x?y处，函数间断。 习题1—2 1．（1）z?xy? yx2

?z1y?z1x??2；??2. ?xyx?yxy (2)

?z?ycos(xy)?2ycos(xy)sin(xy)?y[cos(xy)?sin(2xy)] ?x?z?xcos(xy)?2xcos(xy)sin(xy)?x[cos(xy)?sin(2xy)] ?y(3)

?z?y(1?xy)y?1y?y2(1?xy)y?1, ?x1?zx?ln(1?xy)?y, z?y1?xy lnz=yln(1+xy)，两边同时对y求偏导得

xyxy?z?z[ln1(?xy)?]?(1?xy)y[ln1(?xy)?]; ?y1?xy1?xy12y2?z11?3x3??;x?2y?zx3y??(4), ?yx?y x?2y?xx(x3?y)x?2xxy?uyz?1?u1z?u?x,?xlnx,??2xzlnx(5)?x; z?yz?zzyyyz(x?y)z?1?uz(x?y)z?1(?y)?u?u(x?y)zlnx(6), , ; ?????x1?(x?y)2z?y?z1?(x?y)2z1?(x?y)2z2.(1)

zx?y,zy?x,zxx?0,zxy?1,zyy?0;

(2) zx?asin2(ax?by),zy?bsin2(ax?by),

zxx?2a2cos2(ax?by),zxy?2abcos2(ax?by),zyy?2b2cos2(ax?by).

222 3 fx?y?2xz,fy?2xy?z,fz?2yz?x,fxx?2z,fxz?2x,fyz?2z,

fxx(0,0,1)?2,fxz(1,0,2)?2,fyz(0,?1,0)?0.

4

ttttzx??2sin2(x?),zt?sin2(x?),zxt?2cos2(x?),ztt??cos2(x?)

2222tt2ztt?zxt??2cos2(x?)?2cos2(x?)?0.

22 3

yy115.(1) zx??2ex, zy?ex,dz??2exdx? exdy;

xxxx (2) z?yyyyyyxx1z?dz? dx?dy; ,,ln(x2?y2),zx?2y2x2?y2x2?y2x2?y2x?y2y12?ydx?xdyyxxxdz???2z?? (3)zx? , ,; yy2y2x2?y2x2?y2x?y21?()1?()xx?yz?1,uy?zxyzlnx,uz?yxyzlnx, (4) ux?yzxdu?yzxyz?1dx?zxyzlnxdy?yxyzlnxdz.

6. 设对角线为z,则z?x2?y2,zx?xx?y22,zy?yx?y22, dz?xdx?ydyx?y22

当x?6,y?8,?x?0.05,?y??0.1时,?z?dz?6?0.05?8?(?0.1)6?822 =-0.05(m).

7. 设两腰分别为x、y,斜边为z,则z?x2?y2,

, dz?zx?xx?y22，zy?yx?y22xdx?ydyx?y22,

设x、y、z的绝对误差分别为?x、?y、?z,

当x?7,y?24,?x??x?0.1,?y??y?0.1时, z?72?242?25

?z?dz?7?0.1?24?0.17?2422 =0.124,z的绝对误差?z?0.124

z的相对误差

?z0.124??0.496%. z258. 设内半径为r，内高为h，容积为V，则

V??r2h,Vr?2?rh,Vh??r2,dV?2?rhdr??r2dh,

当r?4,h?20,?r?0.1,?h?0.1时,

?V?dV?2?3.14?4?20?0.1?3.14?42?0.1?55.264(cm3).

习题1—3

4

xyyx?2du?fdx?fdy?fdzzzz????? ?aeax?1.?2a(ax?1)

xyxyxydx?xdx?ydx?zdx1?()21?()21?()2zzzy[z?axz?2axy(ax?1)](ax?1)eax(1?a2x2)==. 422axz2?x2y2(ax?1)?xe??z?f???f????2.=?x???x???x1??24x3arcsin1?x2?y2x?y444x3?arcsin??4=422x?y1?x?y?x?xln(x4?y4)(1?x?y)(x?y)2222

??z?f???f????=?y???y???y1??24y3arcsin1?x2?y2x?y3. (1)

444y3?arcsin??4=422x?y1?x?y?y?yln(x4?y4)(1?x?y)(x?y)2222.

?u?uxyxy=2xf1?yef2, =?2yf1?xef2.

?y?xx1y?u?u1?u=?f1, =?2?f1?f2,=?2?f2.

?yzy?xy?zz(2)

(3)

?u?u?u=f1?yf2?yzf3,=xf2?xzf3,=xyf3.

?y?z?x?u?u?u=2xf1?yf2?f3=2yf1?xf2?f3,=f3.

?y?x?z?z?z?xf1?f2, ?yf1,?y?x(4)

4 .(1)

?f1?2z?y?y?f11?y??y2f11, 2?x?x?2z??yf1??f1?y?f1?f1?y(f11?x?f12)?f1?xyf11?yf12, ??x?y?y?y?f1?f2?2z?2???xf?f?x??x(f?x?f)?f?x?f?xf11?2xf12?f2212111221222?y?y?y?y 5

(2)

?z?z?2xyf1?x2f2, ?y2f1?2xyf2,?y?x?f2?2z?22?f1?yf?2xyf?y?2yf?2xy 1222?x?x?x?x???y2(f11?y2?f12?2xy)?2yf2?2xy(f21?y2?f22?2xy)?2yf2?yf11?4xyf12?4xyf22?f?f?2z?2?yf1?2xyf2?2yf1?y21?2xf2?2xy2 ?x?y?y?y?y4322.

???2yf1?y2(f11?2xy?f12?x2)?2xf2?2xy(f21?2xy?f22?x2)?2yf1?2xf2?2xyf11?2xyf22?5xyf123322

?f1?2z?22?f2 ?2xyf?xf?2xf?2xy?x1212?y?y?y?y???2xf1?2xy(f11?2xy?f12?x2)?x2(f21?2xy?f22?x2)?2xf1?4xyf11?4xyf12?xf225 ?2234

?u?u?x?u?y1?u3?u?u?u?x?u?y3?u1?u, ????,??????s?x?s?y?s2?x2?y?t?x?t?y?t2?x2?y(?u21?u23?u?u3?u2?u23?u23?u?u1?u2)?()??(),()?()??(), ?s4?x2?x?y4?y?t4?x2?x?y4?y?u2?u?u?u)?()2?()2?()2. ?s?t?x?y?(x?y?z)?(x?y?z)?(x?y?z), Fx?1?e,Fy?1?e,

?(6 (1) 设F(x,y,z)?x?y?z?eFz?1?e?(x?y?z),

FyF?z?z??x??1,????1 ?xFz?yFz(2)设F(x,y,z)?z?x2?y2tanFx??xx2?y2tanzx2?y2zx?y22,?1(?)(x2?y2)22xz2x2?y2?x2?y2sec2z3

6

=?xx?yyx?y2222tanzx?yzx?y2222?xz2secx2?y2222zx?yz22,

3 Fy?tan?x?ysec?1(?)(x2?y2)2(?2yz) 2x2?y2=

yx?y22tanzx?y22?yzsec222x?yzzx?y22,

Fz?1?x2?y2sec212x?y2x?y22=?tan22zx?yzx?yzx?y222,

F?zxzxzcot?2csc2??x??2Fz?xx2?y2x2?y2x?yFy?z????yFzyx?y2222,

cotzx?y22?yzcsc222x?y.

xy, z(3) 设F(x,y,z)?x?2y?z?2xyz,Fx?1?yzxzFx?1? Fy?2?xy.

F?z??x=

Fz?xFyyz?xyz?z??,=

Fzxyz?xy?yxz?2xyzxyz?xy(4) 设F(x,y,z)?xzx11x1?ln??lnz?lny,Fx?,Fy?Fz??2?, zyzzyzzFyFxz?z?zz2???,, ???Fzx?z?y?xFzy(x?z)7.设F(x,y,z)?x?2y?3z?2sin(x?2y?3z),Fx?1?2cos(x?2y?3z),

?Fy?2?4cos(x?2y?3z),Fz??3?6cos(x?2y?3z),

?

Fy2F1?z?z??x?,???,

Fz3?y?xFz3?z?z?1. ??x?y?

8.设F(x,y,z)??(cx?az,cy?bz),Fx?c?1,Fy?c?2,Fz??a?1?b?2,

FyFxc?1c?2?z?z?z?z????c. ??,?, ? a?bFza?1?b?2?y?y?x?xFza?1?b?2

7

9. (1)方程两边同时对x求导得

x(6z?1)?dydy?dz??,?2x?2y,??dx?dx2y(3z?1)dx解之得? ?dydzdyx???2x?4y?6z?0,?dxdx??dx3z?1(2) 方程两边同时对z求导得

?dxdy?dz?dz?1?0, ?解之得

dydx?2x?2y?2z?0dz?dz (3) 方程两边同时对x求偏导得

?dx???dz?dy????dzy?z,x?y z?x.x?y?u1?e? ??0?eu?sinv??u?u?u?v?,?sinv?ucosv,u??xe(sinv?cosv)?1?x?x?x解之得? ?u?u?u?v?vcosv?e???cosv?usinv,.u?x?x?x???xu[e(sinv?cosv)?1]同理方程两边同时对y求偏导得

?cosv??u?u?v?u?u?,0?e?sinv?ucosv,u???xe(sinv?cosv)?1???y?y?y ?解之得? u?u?u?v?vsinv?e?1?eu???cosv?usinv,.u??y?y?y????xu[e(sinv?cosv)?1]

习题1－4

1． 求下列函数的方向导数

?u?lPo

22（1）u?x?2y?3z,P0?1,1,0?,l??1,?1,2?

解：

?u?xP0?2xP0?2 ，

?u?yP0?4yP0?4，

?u?zP0?6z0P0?0，l?(16,?16,26)

??u?lP0?2*16?4*(?16)??26.

（2）u?(),P0(1,1,1),l?(2,1,?1); 解：

yxz?u?x?u?zyz?1y?z()(?2)P0xxyzy?()ln()P0xxP0??1，

?u?yyz?11?z()()P0xxP0?1,

0P0?0, l?(26,16,?16)

8

??u?lP0?(?1)*26?1*16??16.

22（3）u?ln(x?y),P0(1,1),l与ox轴夹角为

?3;

解：

?u?x?u?yP0?2xx2?y22yx2?y2P0?1,

P0?P0?1,

由题意知??0?3,则???6,

l?(cos,cos)?(,??3613) 22 ??u?lP0?1*131?3?1*?. 222（4）u?xyz,P0(5,1,2),P1(9,4,14),l?P0P1.

?u?x?u?yP0?yz?xzP0?2,

?10,

P0P0

?u?zP0?xyP0?5,

4312l?(4,3,12),?l0?(,,),

131313?u431298??2*?10*?5*?. P0?l13131313

2． 求下列函数的梯度gradf

（1）f(x,y)?sin(xy)?(cos(xy); 解：

22?f?cos(x2y)*(2xy)?sin(xy2)*y2, ?x?f?cos(x2y)*x2?sin(xy2)*(2xy), ?y222222

(),xcos(xy)?2xysin(xy)) f(2xycosx(y)?ysinxy ?grad? 9

yy(2)f(x,y)?e.

xx?fyy11y解：?(?2)ey?ey?ey(1?),

?xxyxxx?f1yyyx11?e?e(?2)?ey(?), ?yxxxyy1y11。 ?gradf?(ey(1?)，ey(?)）

xxxy3． 一个登山者在山坡上点(?xxxxxxxx33,?1,)处，山坡的高度z由公式z?5?x2?2y2近似，其24中x和y是水平直角坐标，他决定按最陡的道路上登，问应当沿什么方向上登。 解：

?z?x?z?y33(?,?1,)24??2x33(?,?1,)24?3,

33(?,?1,)24??4y33(?,?1,)24?4,

?按最陡的道路上登，应当沿（3，4）方向上登。

4． 解：

?T?T?y(1?y)(1?2x),?x(1?x)(1?2y) ?x?y11(,)43沿方向?gradT11?(?,?)

9165． 解：设路径为y?f(x)，在点(x,y)处gradT?(?2x,?8y)

y?f(x)在(x,y)点的切向量为??(1,dy) dx?,? ?grad平行于切向量T 因为过(1,2),?y??2x

4dxdy?y?cx4 ??2x?8y习题1-5

tt?1,y?,z?t2在对应于t?1点处的切线及法平面方程。 1?tt1解：当t?1时，x(1)?,y(1)?2,z(1)?1，

21、求曲线x?

10

T1(,2,1)21?(1?t)?1?tt?(t?1)1?{x'(1),y'(1),z'(1)}?{,,2t}?{,?1,2} 22(1?t)t4t?1x?12y?2z?1x?12y?2z?1??，即: ??14?121?48故所求切线方程为：

11法平面方程为：(x?)?(y?2)?2(z?1)?0 即: 2x?8y?16z?1

422、求下列空间曲线在指定点处的切线和法平面方程

22??x?y?2（1）?2 在点(1,1,1) 2??y?z?2解 ：将方程两端对x求导，得

x?dydy???2x?2y?0??y??dxdx ? 在M(1,1,1)处T?(1,?1,1) ???2ydy?2zdz?0?dz?x??dx?dx?dxz故所求的切线方程为：x?1?法平面方程：x?y?z?1

y?1?z?1 ?1?x2?y2?z2?6（2）? 在点(1,?2,1)

?x?y?z?0解法1：将方程两端对x求导，得

dydzdz??dy2x?2y??2z??0y??z???x????dxdxdxdx?? ??1?dy?dz?0?dy?dz??1???dxdx?dxdx当J?yz11?y?x?0时，有

dy1?xzz?xdz1y?xx?y，?? ????dxJ?11y?zdxJ1?1y?z?T?z?xx?y??dydz???1,,???1,,?{1,0,?1} ??dxdx?(1,?2,1)?y?zy?z?(1,?2,1)(1,?2,1)?x?1z?1??故所求的切线方程为：??11

??y?2?0 11

法平面方程：?(x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0 即：x?z?0

?2xdx?2ydy?2zdz?0解法2：将方程组两端求微分：得?

?dx?dy?dz?0∴曲线在点(1,?2,1)处的切向量为

3. （题略）

y11'''-z, Fx(P0)??,Fy(P0)?,Fz(P0)= -1，曲面在点x2211??P0的切平面方程为：-(x?1)?(y?1)?(?1)(z?)?0，即： x - y - 2z -=0；

2242解：（1）令 F（x，y，z）=arctg

x?1y?14，即：x?1?y?1???111?1?1?22x（2）令F(x,y,z)?z?y?ln

z11则Fx??，Fy??1，Fz?1?

xz法线方程为：

z??z?2?4 ；

曲面在点(1,1,1)点处的切平面的法向量为：n?{?1,?1,?2}

故所求的切平面方程为：(?1)?(x?1)?(?1)?(y?1)?2(z?1)?0即： x?y?2z?0 法线方程为：

（3）令F（x，y，z）=2+2-8，Fx(P0)?4ln2,Fy(P0)??4ln2,Fz(P0)=-

16ln2，曲面在点P0的切平面方程为：4ln2（x-2）-4ln2（y-2）-16ln2（z-1）=0，

即：x-y-4z=0，法线方程为：

xzyzx?1y?1z?1 ???1?12'''x?2y?2z?1x?2y?2z?1，即： ????4ln24ln2?16ln211?44、解：??z1?z11111?,}?{,} ，? ??z(1,2)?{?xx?y?yx?yx?yx?y(1,2)33又∵抛物线y2?4x在(1,2)点处的切线斜率为：

dy?1 dx(1,2) 12

???dy?∴抛物线y2?4x在(1,2)点处偏向x轴正向的切线方向为T??1,??{1,1}

??dx(1,2)???11?∴T0??,?

?22?故所求的方向导数为：习题1-6

1（题略）. 解：由

?z?T(1,2)222?11??11???? ??,???,?63?33??22?6?f?f??4?2y?0,有 x=2, y=-2, 即P0(2, -2)为 f(x,y) 的驻点, ?4?2x?0, ?y?x?2f?2f?2f?2f又??2,?0,2??2, D（P0）=4>0,2(P0)=-2 2?x?x?y?x?y故P0 (2,-2)为f(x,y)的极大值点, 其极大值为f(2,-2)=8.

2（题略）.

??f?3x2?6y?39令0??x2?2y?13?0??x解：由 ?有? 驻点：(5,6)和(1,?6)

?f?y?3x?9?0??2y?6x?18令0???y?2f?2f?2f?2?6x 2?2 ??6 ?x?x?y?y?(5,6)?6x?2?(?6)2(5,6)??12x?36?(5,6)?2f?24?0，而2?x?6x(5,6)?30

(5,6)∴f(x,y)在点(5,6)取得极小值f(5,6)??88 又∵?(1,?6)?6x?2?(?6)2(1,?6)??12x?36?(1,?6)??24?0

∴f(x,y)在点(1,?6)不取得极值

3、求z?x2?y2在闭区域x2?4y2?4上的最大值和最小值

13

??z?2x?0???x解：由?，得唯一驻点(0,0)

?z???2y?0???yx2又∵在边界x?4y?4即椭圆?y2?1上,z?x2?y2?4?5y2 y?(?1,1)

422由

d(4?5y)?0，得驻点：y?0?(?1,1) dy∴所有可能的极值点为：(0,0) (2,0) (-2,0) （0,-1） (0,1) 相应的函数值为： 0 4 4 -1 -1 4、求抛物线y?x2和直线x?y?2?0之间的最短距离。

解：设P(x,y)为抛物线y?x2上任意一点，它到直线x?y?2?0的距离为

d?x?y?22，d最小当且仅当d2最小

1(x?y?2)2在条件y2?x下的最小值。 2解法1（用拉格朗日乘数法） 此问题即是求d2?设L?1(x?y?2)2??(y?x2) 21?L??x2?2(x?y?2)?1?2x?令0?(1?2?)x?y?2?0?111??由?Ly??2(x?y?2)?(?1)??令0，即???x?y?2?0得唯一驻点(,)

242?y?x2?0???L??y?x2令0??故由实际问题知抛物线y?x2和直线x?y?2?0之间的最短距离在在，为：

dmin?d(1,1)?2472 8解法2（转化为无条件极值）

设抛物线y?x2上点P(x,x2)，它到直线x?y?2?0的距离为

d?x?y?22?x?x2?22

14

1∵d最小当且仅当d2?(x?x2?2)2最小

21设f(x)?(x?x2?2)2

2∴f?(x)?(x?x2?2)?(1?2x)令0 ?唯一驻点x?1 2f??(x)?(1?2x)?(1?2x)?(x?x2?2)?(?2)?(1?2x)2?2(x2?x?2)

1?f??()?(1?2x)2?2(x2?x?2)2??12?7?0 2∴当x?1时，f(x)有极小值，从而该极小值就是所求的最小值（∵唯一驻点） 2x?x2?2212∵d1?2=

72 8故抛物线y?x2和直线x?y?2?0之间的最短距离为

72 85、求抛物线z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长与最短距离。

解：设椭圆上任意一点为(x,y,z)，它到原点的距离为d?x2?y2?z2

?z?x2?y2此问题即是求d?x?y?z在条件?下的最大值和最小值。

x?y?z?1?222令L?x?y?z??(x?y?z)??(x?y?z?1)

?L?2x?2?x??令0?x?Ly?2y?2?y??令0??由?Lz?2z????令0?22?L??x?y?z令0?L?x?y?z?1令0???①②③ ④⑤22222由①-②得2(1??)(x?y)?0 若???1代入①，得??0，

1再代入④，?z??<0, 不合题意

2

15

????1，有x?y

?2x2?z?1?3代入④，⑤由?，解得y?x?， z?2?3

2?2x?z?1∴驻点为：P1(?1?3?1?3?1?3?1?3,,?1?3)和P2(,,?1?3) 2222P1∴dP?x2?y2?z21?9?53，dP?x2?y2?z22?9?53

P2由实际问题知，所求最大值和最小值存在，分别为

6（题略）.

9?53和9?53

解: 设圆柱高为H,圆锥高为h ,圆柱圆锥底半径为r,则浮标体积V=?rH?222?3r2h,

故:3V-?r(3H?2h)=0 (1) 浮标表面积S(r,h,H)=2?rH?2?rr2?h2?2?r(H?r2?h2)

令L(r,h,H)=2?r(H?r2?h2)+?[3V??r(3H?2h)

2?

?L由?2?(H?r2?h2)?2??r 有?r?r2r?h22?2r??(3H?2h)=0 （2）

?L?2??hrhr2?h2?2??r2=0 (3)

?L?2?r?3??r2?0 (4) ?Hh2r552??0, 故?, 代入（3）有, r=h,再由（2），有H=h,

223h223r?hh=

25r, ( r,

25r,

25r)为S(r,h,H)

r5?时,材料最省。 h2唯一驻点，由于实际问题存在最值，故当H=h,

16

7（题略）

解设BC=a, 则横截面积

S11(BC+AD)h=(2a?2hctg? )h=(a+h ctg? )h,a= ?h?ctg?,湿周

h22hSh F(h, ?)=?a?2CD?a?2??h?ctg??2sin?hsin??fS2由??2?ctg???0 (1) ?hsin?hS=

?f1?2cos???0 (2) 2??sin?

由(2)有1-2cos??0,???3, 由(1), h=

S43, 即(

?3,4S3)为唯一驻点，故当???3,

h=

S43 时，湿周最小.

习题2-1 1、解：在任意一个面积微元d?上的压力微元dF??gxd?，所以，该平面薄片一侧所受的水压力F????gxd?

D2、解：在任意一个面积微元d?上的电荷微元dF??(x,y)d?，所以，该平面薄片的电荷总量Q????(x,y)d?

D223、解：因为0?x?1,0?y?1，所以x?y?1?x?y?1，又lnu为单调递增函数，所以lnx?y?1?ln?x?y?1?，由二重积分的保序性得

22??0?x?10?y?1??ln?x2?y2?1d???0?x?10?y?1??ln?x?y?1?d?

4、解：积分区域D如图2-1-1所示，所以该物体的质量

M???(x2?y2)d???dy?D012?yy1884(x2?y2)dx??(?4y?4y2?y3)dy?

03335、解：（1）积分区域如图2-1-2所示，所以

?dy?01y0f(x,y)dx??dx?f(x,y)dy

0x11 17

（2）积分区域如图2-1-3所示，所以（3）积分区域如图2-1-4所示，所以（4）积分区域如图2-1-5所示，所以

?dy?022yy2f(x,y)dx??dx?0104xx/2f(x,y)dy

1?y2?12?y?dx?122x?x22?xlnxf(x,y)dy??dy?1e0ef(x,y)dx

?e0dx?0f(x,y)dy??dy?yf(x,y)dx

16、解：（1）积分区域如图2-1-6所示，所以

??xDyd???dx?20x1x22?41?6xydy??xx3/4?x3dx??x11/4?x5??

033?115?0551??（2）积分区域如图2-1-7所示，所以

??xyd???dy?D?2224?y20xydx?2?2201264y(4?y2)dy? 215（3）积分区域如图2-1-8所示，所以

x?ye??d???dx?D?1001?x?1?xex?ydy??dx?01011?x?1?xex?ydy??ex(e1?x?e?1?x)dx??ex(e1?x?e?1?x)dx?10

??(ee2x?e?1)dx??(e?e?1e2x)dx?e?e?1?1（4）积分区域如图2-1-9所示，所以

22(x?y?x)d???dy???D022?193?13(x2?y2?x)dx???y3?y2?dy? y/20248?6?y7、解：

（1）积分区域如图2-1-10所示，令x?rcos?,y?rsin?，所以??2????2,0?r?a，

故

??f?x,y?d????d??2D?2?a0r?f(rcos,rsin)dr

（2）积分区域如图2-1-11所示，令x?rcos?,y?rsin?，所以0????,0?r?2sin?，故 8、解：

（1）积分区域如图2-1-12所示，令x?rcos?,y?rsin?，所以0???故

??Df(x,y)d???d??0?2sin?0r?f(rcos?,rsin?)dr

?4,0?r??sin?，

cos2??dx?01x2x4(x?y)dy??4d??cos?r?rdr??4sec?tan?d???sec??0?2?1 222?12?sin???1000（2）积分区域如图2-1-13所示，令x?rcos?,y?rsin?，所以0????,0?r?2sin?，

aa2?y2?故

?0dy?0(x?y)dx?22?20d??rdr?0a3?a48

18

9、解：（1）积分区域如图2-1-14所示，故

??D2x12x2923 d??xdxdy?(?x?x)dx?122???114yxy（2）积分区域如图2-1-15所示，令x?rcos?,y?rsin?，所以0????2,0?r?1，故

??D211?r1?x2?y2?11?r22d???d???rdr??rdr222000421?x?y1?r1?r???????01?r42???02??211rdr??10?dr??1?r4?r3??1?11d(1?r4)?????04441?r1?r?dr21

1??112142??arcsinr?(1?r)02?22????????2??80?（3）积分区域如图2-1-16所示， 故

??(xD2?y)d???dy?a23ayy?a(x?y)dx??223aaa3(2ay?ay?)dy?14a4

322（4）积分区域如图2-1-17所示，令x?rcos?,y?rsin?，所以0???2?,a?r?b，

122?b故

2(x?y)d??d?r????dr?D0a222?3b?a3 3??10、解：积分区域如图2-1-18所示，由图形的对称性得：S?4S1?4???d?，所以

D1S?4?d??40asin2??0rdr?2?asin2?d???acos2?4022?40?a2

图2-1-1 图2-1-2 图2-1-3 图2-1-4

19

图2-1-5 图2-1-6 图2-1-7 图2-1-8

图2-1-9 图2-1-10 图2-1-11 图2-1-12

图2-1-13 图2-1-14 图2-1-15 图2-1-16

图2-1-17 图2-1-18

习题2-2 1、解：Q?

????(x,y,z)dv

?222、化三重积分为直角坐标中的累次积分

解：（1）因为积分区域?的上曲面为开口向上的旋转抛物面z?x?y，下曲面为z?0，积分区域?在xoy坐标面上的投影区域Dxy:0?x?1;0?y?1?x，所以

???f?x,y,z?dv??dx??011?x0dy?x2?y20f?x,y,z?dz

2（2）因为积分区域?的上曲面为开口向下的抛物柱面z?2?x与下曲面为开口向上的旋转抛物面z?x?2y围成，二曲面的交线在xoy平面上的投影为圆x?y?1，即

2222?1?x?1?11?x22?x2?22dy?22f?x,y,z?dz ?:??1?x?y?1?x，所以???f?x,y,z?dv??dx??1?1?x2x?2y??x2?2y2?z?2?x2?

20

（3）因为积分区域?的上曲面为开口向上的旋转抛物面z?x?y，下曲面为z?0，积分区域?在xoy坐标面上的投影区域Dxy:?1?x?1;x2?y?1，所以

22???f?x,y,z?dv???1?1dx?2dy?x1x2?y20f?x,y,z?dz

3、解：积分区域?如图2-2-1所示

???xzdxdydz???1?1xdx?2dy?x1y01211zdz??xdx?2ydy??x(1?x6)dx?0

?1x26?111另解：因为积分区域?关于坐标面yoz对称，又f(x,y,z)?xz关于第一坐标是奇函数，所以

???xzdxdydz?0。

?4、解：积分区域?如图2-2-2所示，当0?z?h时，过(0,0,z)作平行与xoy面的平面，

2?2R???R22R?x?y2??z?与立体?的截面为圆Dz:??h?，因而Dz的半径为hz，面积为h2z，

?z?z?故

???zdxdydz???h0zdz??dxdy?Dz?R2h2?h0zdz?3?R2h24

5、求下列立体?的体积

解（1）曲面所围立体是球体与旋转抛物面的一部分（如图2-2-3所示），用柱面坐标计算：

V????dv????rdrd?dz???d??dr?r2??0042?322?25??rdz

1122??[?(5?r2)?r4]0??(55?4)03163

图2-2-1 图2-2-2 图2-2-3

（2）因为积分区域?的上曲面为平面z?1?x，下曲面为z?0，积分区域?在xoy坐标面上的投影区域Dxy:y?x?1;?1?y?1，所以

21

2V????dv??dy?2dx???1y111?x0111?11?8dz??dy?2(1?x)dx?2???y2?y4?dy?

?1y022?15?6、利用柱面坐标计算下列三重积分

解：（1）因为积分区域?的上曲面为开口向上的上半球面z?口向上的旋转抛物面z?x?y，将z?x?y代入z?22222?x2?y2，下曲面为开

2?x2?y2得z?2?z，

解此方程得z?1积分区域?在xoy坐标面上的投影区域Dxy:x2?y2?1，由柱坐标公式得：Dxy:0???2?,0?r?1

???zdv??d??dr?2?00r2?12?r2zrdz?2??17?r2?r2?r4dr?。 02121??（2）因为积分区域?的上曲面为平面z?2，下曲面为开口向上的旋转抛物面2z?x?y，

22将z?2代入2z?x?y得x?y?4，所以积分区域?在xoy坐标面上的投影区域

2222Dxy:x2?y2?4，由柱坐标公式得：Dxy:0???2?,0?r?2

2?22212?16?2233?(x?y)dv?d?drrdz?2?r2?rdr?。 ?????????00r2/2023???7、利用球面坐标计算下列三重积分

解：（1）用球面坐标计算

22244(x?y?z)dv?rsin?drd?d??d?sin?d?r?????????dr??0002??14??1??2??(?cos?)0??r5????5?05（2）用球面坐标计算

1

???zdv????rcos??r??2sin?drd?d???d??02??/40sin?cos?d??2acos?0r3dr

?2????/40?/41sin?cos??(2acos?)4d??8?a4?sin?cos5?d?04?/48?a4??cos6?607??a468、选用适当的坐标计算下列三重积分

?0?r?cos???解：（1）积分区域?为球，故用球面坐标计算：?:?0???，所以

2??0???2?

22

???x2?y2?z2dv??d??02??/20d??cos?0r?r2sin?dr?2???/20sin?d??cos?0r3dr

?2???/201?1??/2sin??cos4??d????cos5?0?425102222（2）将z?2y代入z?x?y得到xoy平面上的一个圆x??y?1??1，用直角坐标公

式计算

???zdv??dx???111?1?x21?1?xdy?222yx?y2zdz，由于计算量较大，请同学一试。

用柱坐标计算x?rcos?,y?rsin?,z?z

???zdv??d???0?2sin?0dr?2r2rsin?zrdz??d??0?2sin?01r(4r2sin2??r4)dr2???08616531?5sin?d????3364226

（3）用柱坐标x?rcos?,y?rsin?,z?z计算

22zdv?d?drz??????rdz?2???0002?12r2r116r(z3)dr??

003151（4）用直角坐标计算

???xy?2zdv??xdx?ydy?zdz??xdx?000031x2xy31x0121xy2441 xydy??dx?0428364

习题2-3

1、 解：（1）因为连接点（1，0）和（2，1）的直线段的方程为y?x?1,1?x?2，所以

?(x?y)L?1ds??[x?(x?1)]12?11?(1)dx??2212dx?2

（2）L??x?2?y2ds???n2?0?a2cos2t?a2sin2t?n(?asint)2?(acost)2dt

??a2n?1dt?2?a2n?102?（3）

L2yds?2a?322?01?cost[a(1?cost)]2?(asint)2dt32?2a?2?

0(1?cost)dt?4?a 23

（4）因为星形线的参数方程为x?acost,y?asint，所以

22??2?33?2a3(?3acos2tsint)2?(3asin2tcost)2dx?x?yds?4??0??L??

33?12a53??20costsintdx?6asint02?6a532?53（5）因为折线ABCD由线段AB，BC和CD构成，在线段AB上，x?y?0,在线的BC上，y?0,而在线段CD上，x?1,z?2,y?t,0?t?3且ds?dy?dt

?xL2yzds?AB?x0t02yzds?BC?x2yzds?CD?x2yzds?0?0??12?t?2dt?9

03?zds??Lt0t?cost?tsint?2?(sint?tcost)2?1dt（6）

??011?22?t2d(2?t2)??2?t023???32? ?2??322、解：因为曲线L的极坐标方程为r?

1

?，所以

s??ds??L4334r??r??d???2243341??2?2d?，又

?1??2?2d????tanucosu1d(sinu)?du??sin2ucos2u?sin2u(1?sin2u)

1/21/2??1???2???d(sinu)1?sinu1?sinusinu??111?sinu???ln?Csinu21?sinu??43341??2 ?

1??2?11??2???ln?C221????53?ln 1222所以 s??1??2?2?0d??s??ds??Lr2??r??d????0?0e2a??a2ea?d?

3、解：

?1?a2?1?a2a?a?ed??(e?1)a习题2-4

1、（1）解：将曲面向xoy平面投影，得投影区域Dxy：x2+y2≤R2,从而有

24

??zdS??Dxy??R2?x2?y2?RR2?x2?y2dxdy

?Dxy23Rdxdy?R??R??R???0?x?2(2) 解：将平面向XOY平面投影，得投影区域，Dxy:?0?y?3?3x2?4(z?2x?y)dS???3??,从而有积分

Dxy??(4?2x?4422y?2x?y)1?zx?zydxdy33

Dxy??461dxdy?461322（3）解：由 ?1:z?1 （x?y?1）得 dS?dxdy,Dxy:x?y?1

22 由?2:z?(x?y)(0?z?1) 得

1222x2y2dS?(1?2?2)2dxdy?2dxdy22x?yx?y

Dxy:x2?y2?12?11??zx?ydS??1?222Dxy??x?ydxdy?222?d??rdr?2??002?12??;332?2

2222??zx?ydS???(x?y)2dxdy?2?Dxy0d??r2rdr?01所以，

222222??zx?ydS???(x?y)dS???(x?y)dS???1?22?2?? 322、解：将被截得的平面向XOY平面投影，又有已知条件的，z?c?ccx?y， abcczx??,zy??，设所求的面积为A，则有

abA???dS??Dxy??1?(?c2c1)?(?)2dxdy?ab22a2b2?a2c2?c2b2

23、解：将曲面向XOY平面投影，得投影区域，Dxy:x?y?4,且zx??2x,zy??2y， 设所求的面积为A，则有

25

A????dS??2Dxy??1?(?2x)2?(?2y)2dxdy1???(17)6?32?2?0d??01?4r2rdr???1??

4、解：以圆环的中心为坐标原点建立坐标系，则容易知道圆环薄片的面密度为：

?(x,y)?1x2?y2,当x2?y2?4时，设薄片的质量为M，则有 12?4M?2??2????x2?y222dxdy?4???d??021?rdr?8? raaa22,k?2?0 5、??(x,y)?k(x?y)，而?(,)??0,??0?k?222aaa4a2?0222222 M???2?0(x?y)ds?2?0?dx?(x?y)dy?3asa00

习题2-5

3x?(x,y)d??xyd??(x??????2ydy)dxDD0x31x1、 解：

1x6x811?(?)|0?26848221x

22y?(x,y)d??xyd??(x??????2ydy)dxDD0x1x6x911?(?)|0?36954

??D?(x,y)d????xyd???(?x2ydy)dxD0x221x1x5x711?(?)|0?25735

26

1?35?48x??,y?14835154?35,重心(35,35). 154485435222、 解：设P(x,y)为三角形上一点，则容易知道此点的密度为?(x,y)?x?y。

22x?(x,y)d??x(x?y)d???(?????DD0aa?x0x(x2?y2)dy)dx

?(?4xaxaxaxaa???)|0?152361522aa?y005423325??y?(x,y)d????y(x?y)d???(?DDy(x2?y2)dx)dy

?(?4yayayayaa???)|0?152361522aa?x005423325??D?(x,y)d????(x?y)d???(?D(x2?y2)dy)dx

4x42ax3a2x2a3xaa4?(????)|0?123236重心：(2a2a,) 55 3、 解：（1）由对称性知道重心一定在z轴上。

122z?dv?zdv?(zdz)dxdy?[1?(x?y)]dxdy???????????x2?y22Dxy??Dxy1?11rr1?2((1?r)rdr)d??(?)|d??02?0?02?02442?12?24

而圆锥的体积为：V?

?3。所以重心为：(0,0,)。

34（2）容易知道此几何体是两个同心半球之间的部分，且重心一定在z轴上。而

2?????dv????dv????0d??d?????sin?d?a?20A?3A2?3?2??[(?cos?)|]?(|a)?(A?a3)33?20

27

???z?dv????zdv????2?0d??d???cos?????sin?d?a?20A122?4A?4?2??(sin?|0)?(|a)?(A?a4)2443(A4?a4)重心：(0,0,)。

8(A3?a3)?

4、 解：以圆柱下底面的圆心为坐标原点，以转动轴为z轴建立坐标系，设P(x，y，z)为圆

柱体上一点，则此点到转动轴的距离为r?222x2?y2，因此

h2?aIz????r?(x,y,z)dv????(x?y)dv??dz?d??r2?rdr??0001??ha425、 解：设P(x,y,z)为弹簧上一点，则P到Z轴的距离为r?22?

x2?y2，因此有

Iz??r??(x,y,z)ds??a2?(a2?k2t2)?a2?k2dtL0?a2122?a2?k2?(a2t?k2t3)|0?a2a2?k2(3?a2?4k2?3)33

6、 解：有对称性知道Fy=0。

Fx?G??DR2?(x,y)x(x2?y2?a2)1(r2?a2)1232?d??G??2?(??2R2rcos?(r2?a2)32R1rdr)d??2G??[R1?a2(r2?a2)32]dr

rr2R2r2?2G?[(ln(?1?2)|R1)?(|RR1)]aaa2?r2?2G?[ln2R2?R2?a2R1?R?a212?R22a2?R2?R1a2?R12] 28

(x2?y2?a2)R21122??aG???d(r?a)3R12(r2?a2)212?aG??|RR1a2?r211?aG??(?)2222a?R2a?R1DFz??aG???(x,y)32?d???aG???(?2?2R21(r2?a2)32R1rdr)d?

7、 解：由对称性知道Fx=Fy=0。

[x2?y2?(z?a)]2?Rh(z?a)?G??d??rdr??000Fz?G????(x,y,z)(z?a)322dv[r2?(z?a)]2?1212h|0}rdr322dz??2?G??{[(z?a)?r]0R2??2?G??{[(h?a)?r]02122R22??[a?r]}rdr221222?12

R??2?G?{[(h?a)?r]?(a?r)}|0??2?G?{[(h?a)?R]?(a?R)?[(h?a)?a]}??2?G?{[(h?a)?R]?(a?R)?h?2a}

习题3-1

1、计算下列第二类曲线积分：

22（1）(x?y)dx,L为抛物线y?x上由点（0,0）到点（2,4）的一段弧；

2122221221222212?L2（2）

(x?y)dx?(x?y)dy,L为按逆时针方向饶行的圆x2?y2?a2； 22?x?yL（3）

?Lydx?zdy?xdz,L为螺旋线x?acost,y?asint,z?bt上由t=0到t=2?的

有向弧段;

（4）

?xdx?ydy?(x?y?1)dz,L为由点（1，1，1）到点（2，3，4）的一段直线；

L 29

（5）F?dl,其中F??(y,x),L为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路，取逆时针

L?方向；

（6）F?dl,其中F?L?ye1?xe2，L按逆时针方向饶行的圆x?acost,y?asint.

x2?y22解（1）化为对x的定积分，L: y?x，x从0到2，所以

131525624= (x?x)dx?(x?x)??(x?y)dx??003515L222（2）圆周的参数方程为：x?acost,y?asint(0?t?2?)

(x?y)dx?(x?y)dy 22?x?yL1a21=2a1=2a=

?2?02?(acost?asint)d(acost)?(acost?asint)d(asint) [(acost?asint)(?asint)?(acost?asint)(acost)]dt ?a2dt??2?

??02?0（3）L的参数方程为：x?acost,y?asint,z?bt，t从0到2?，所以

?Lydx?zdy?xdz=?asintd(acost)?btd(asint)?acostd(bt)

02? =

?2?0(?a2sin2t?abtcost?abcost)dt???a2

（4）直线的参数方程为：x?1?t,y?1?2t,z?1?3t(0?t?1) ?dx?dt,dy?2dt,dz?3dt代入

?xdx?ydy?(x?y?1)dz

L101 =[(1?t)?2(1?2t)?3(1?t?1?2t?1)]dt =

??(6?14t)dt?6?7?13

0（5）三条直线段的方程分别为

y=0,x从0到1； x=1,y从0到1； y=x,x从1到0. 所以 F?dl=?ydx?xdy

LL?? 30

???1dy??0101?xdx???xdx

10 =0

(6)?F?dlL????2?02?02?yxdx?dy2222x?yx?y asintacostd(acost)?d(asint)22aa???1dt??2?02、一力场由以横轴正向为方向的常力F构成，试求当一质量为m的质点沿圆周

x2?y2?R2按逆时针方向走过第一象限的弧段时，场力所作的功.

解：由题意知，场力所作的功为

W??Fdx

LL: x?y?R,x从R变到0， 于是，w=

222?Fdx??L0RFdx??FR

3、有一平面力场F，大小等于点（x,y）到原点的距离，方向指向原点.试求单位质量

x2y2的质点P沿椭圆2?2?1逆时针方向绕行一周，力F所作的功.

ab解：F?(?x,?y)

x2y2 椭圆2?2?1的参数方程为：x?acost,y?bsint，t从0到2?

ab所以，

2?W??F?dl???acost(dacost)?bsint(dbsint)L0??acost2222??0bsint2222?

?00 4、有一力场F，其力的大小与力的作用点到xoy平面的距离成反比且指向原点，试求单位质量的质点沿直线x?at,y?bt,z?ct(c?0)从点(a,b,c)移动到(2a,2b,2c)时，该场力所作的功.

解：F?kxyz(?,?,?)

222222222zx?y?zx?y?zx?y?z 31

直线的参数方程为：x?at,y?bt,z?ct(c?0)，t从1到2

2W??F?dl??(?a2t?b2t?c2t)所以，

L1kctat?bt?ct222222)dt

??习题3-2答案

ka?b?cln2c2221、 解：记S在x>0一侧为S1，在x<0一侧为S2，在z=h上的部分为S3，在z=0上的部分

为S4，在y>0一侧为S5，在y<0一侧为S6，则由题有

Q1???xdydz???xdydz???xdydz???xdydz???xdydz?ydzdx?zdxdy???xdydz?ydzdx?zdxdys1s2s3s4S1S2?y???(r?y?y)dydz?????r2?y2?y?r2?y2r2?y2DyzDyz?22y??dydz???2??r2?y2dydzDyzr?2?dy??rh0r2?y2dz?2h?

r?rr2?y2dy??hr2Q2???zdxdy???zdxdy???zdxdy???zdxdy???xdydz?ydzdx?zdxdy???xdydz?ydzdx?zdxdys1s2s3s4S3S4?

Dxy??zdxdy?h??dxdy??hrDxy2同理可得：Q3?S5?S62 ydzdx??hr???Q?Q1?Q2?Q3?3?hr2

2、解：（1）由题S：z??R?x?y,S在xoy面上的投影区域Dxy:x?y?R，

222222 32

???x2y2zdxdy????x2y2?R2?x2?y2dxdy?SDxy??Dxy??x2y2R2?x2?y2dxdy??d??r5cos2?sin2?R2?r2dr00R12???sin22??r5R2?r2dr040??2??2R7sin5tcos2tdt??R7401052?R

（2）

??Sezx2?y2dxdy?Dxy??ex2?y2x2?y2dxdy??d??erdr?2??e?e2?

2?201222（3）将S分成s1和s2，其中S1：z=h，x?y?h取上侧，

s2：z?x2?y2，0?z?hx>0取下侧

则

22?(x?y)dxdy?0,??[(y?x?y)?????????s1s1s2Dxy?xx?y22?(x2?y2?x)??yx?y22?(x?y)]dxdy?0??????????0ss1s2(4)记S在z=0上的部分为S1，在x=0上的部分为S2,在y=0上的部分为S3,在x?y?1上的部分为S4,在z?x?y上的部分为S5.有

2222yzdxdy?xzdydz?xydzdx?yzdxdy?xzdydz?xydzdx????S1S22222???yzdxdy?xzdydz?xydzdx?0S322

?x2z?22?yzdxdy?xzdydz?xydzdx?????x1?x????dxdz2S4Dxz?1?x?22?11?xz3?22?dz???dx???x1?x.?00?216?1?x?2

33

22yzdxdy?xzdydz?xydzdx???S5Dxy???y?x2102?y2?xx2?y2??2x??x2y??2y?dxdy?????Dxy???y24?2x?3xydxdy??d??r5sin4??2cos4??3sin2?cos2?dr20422?????1

??d??r5[sin4??2cos4??3cos2?(1?cos2?)]d???00?16?原式?3?????161683、 解：（1）

z?3?33x?y, 23?z3?z35??z???z????,??,1??????3,??y??x2?y3?x6????32?,cos???, 222255??z???z???z???z???1?????1???????????x???y???x???y?12cos???3225??z???z?1???????y???x????cos??原式=

22?z??x??z?y322???Pcos??Qcos??Rcos?dS?P?Q??????SS??553?R?dS. ?5?（2）

?z?z??2x,??2y, ?x?y 34

?cos???z?x22?2x1?4x2?4y2cos????z???z??1?????????x???y??z??y2cos????z???z??1?????????x???y?1??z???z??1?????????x???y?22?2y1?4x?4y11?4x2?4y222

2?原式=

2xP?2yQ?R??Pcos??Qcos??Rcos?dS?dS ????22SS1?4x?4y

§3-3格林公式及其应用 1．

(1) P?x?y,Q?x?e，

2y?p?Q??1,?1，故原式??y?x??(D?Q?P?)dxdy?2ab? ?x?y (2) P?(x?1)y,Q??x(y?2),

?p?Q?x?1,?2?y , ?y?x11?y?Q?P1?)dxdy??dy?(1?x?y)dx? 故原式???(?y6D?x00（3）P?(x?y),Q??(x?y)，

222?p?Q?2(x?y),??2x ?y?x11?y0?Q?Py312故原式???(?)dxdy???ydy???dy?(4x?2y)dx?(?)??1

?x?y313D100（4）P?e(1?cosy),Q??e(y?siny)，

(0,0)xx0?p?Q?exsiny,??ex(y?siny) ?y?x而在以(?,0)为起点(0,0)为终点的直线上

(?,0)xxe(1?cosy)dx?e(y?siny)dy?0 ?35

?sinxx???[?e(y?siny)?esiny]dxdy???edx所以原式

D0xxxx?01ydy???sin2x?exdx20?1cos2x?e?2sin2x?e1?[?ex?]?(1?e?)42050

2．P?x?4xy,Q?6x43?

??12y?5y4，

?p?Q?12xy2,?6y2(??1)x??2 ?y?x因为积分与路径无关，所以

(1,2)?p?Q?,得??3 ?y?x12424(0,0)?(x?4xy)dx?(6xy?5y)dy??xdx??(6y2?5y4)dy??0043279 53.(1)p?x?2y,Q?2x?y

?p?Q?2?，是二元函数u(x,y)(的全微分. ?y?x由由?u1?p?x?2y，得u(x,y)??(x?2y)dx?x2?2xy??(y) ?x2?u?u?2x??'(y)及?Q?2x?y得，?'(y)?y ?y?y?(y)?(2)

1211y?C，故u(x,y)?x2?2xy?y2?C222

p?4sinxsin3ycosx,Q??3cos3ycos2x

数u(x,y)(的全微分.

?p?Q?12sinxcosxcos3y?，是二元函?y?x由由?u?p?2sin2xsin3y，得u(x,y)??(2sin2xsin3y)dx??sin3ycos2x??(y) ?x?u?u??3cos3ycos2x??'(y)及?Q??3cos3ycos2x得，?'(y)?0 ?y?y?(y)?C，故u(x,y)??sin3ycos2x?C

(3) p?2xcosy?ysinx,Q?2ycosx?xsiny 二元函数u(x,y)(的全微分.

22?p?Q??2xsiny?2ysinx?，是?y?x由?u?p?2xcosy?y2sinx?x36

，得

u(x,y)??(2xcosy?y2sinx)dx?x2cosy?y2cosx??(y)

由?u?u??x2siny?2ycosx??'(y)及?Q?2ycosx?x2siny得，?'(y)?0 ?y?y?(y)?C，故u(x,y)?x2cosy?y2cosx?C

(4)

p?y1?p1?Q?? ，是二元函数u(x,y)(的全微分. ,Q??x2x?yx2?x由由?uyyy?p?2，得u(x,y)??2dx????(y) ?xxxx?u1?u1????'(y)及?Q??得，?'(y)?0 ?yx?yxy?(y)?C，故u(x,y)???C

x4． （1）

P?3x2?6xy2,Q?6x2y?4y2

?P?Q?12xy?,故为全微分方程。 ?y?x由由?u?P?3x2?6xy2,得u(x,y)??(3x2?6xy2)dx?x3?3x2y2??(y) ?x?u?u4?6x2y??'(y)及?Q?6x2y?4y2得?'(y)?4y2，故?(y)?y3?C ?y?y3322通解为x?3xy?（2）

43y?C 3P?ey,Q?xey?2y

?P?Q?ey?,故为全微分方程。 ?y?x由由?u?P?ey,得u(x,y)??eydx?xey??(y) ?x?u?u?xey??'(y)及?Q?xey?2y得?'(y)??2y，故?(y)??y2?C ?y?yy2通解为xe?y?C

37

（3）

P?1?e2?,Q?2?e2?

?P?Q?2e2??,故为全微分方程。 ????由?u?P?1?e2?,得u(?,?)??(1?e2?)d?????e2???(?) ??由?u?u?2?e2???'(?)及?Q?2?e2?得?'(?)?0，故?(?)?C ????2?通解为?(1?e)?C （4）

P?y(x?2y),Q??x2

?P?Q?x?4y,??2x,故不是全微分方程。 ?y?x§3-4高斯公式和斯托克斯公式 1 （1） 原式=

???(??P?Q?R??)dxdydz ?x?y?z =3222(x?y?z)dxdydz ?????2?2a =3d?0?4sin?d????d? ??02 =

125?a 5（2） 原式= =

???(??P?Q?R??)dxdydz ?x?y?z2???(x?a?1)dxdydz

=bc(x?1)dx

0?2 =abc?abc

133 38

（3） 原式=

???(??P?Q?R??)dxdydz ?x?y?z =2???(y?z?xz)dxdydz

?311?y2 =2dzdy00??30?(y?z?xz)dx

02?1 =2dzd?(rsin??z?rcos?z)rdr

00??? =

3? 2 （4） 原式=

???(??P?Q?R??)dxdydz ?x?y?z =3???dxdydz

?3 =2?R （5） 原式= =

???(???P?Q?R??)dxdydz????(Pdydz?Qdzdx?Rdxdy) ?x?y?zS'S'???(?4x?8x?4x)dxdydz????4zxdxdy

ea =4xdx12a???dydz

S =2(e

?1)?a2

2.解:(1)圆周事实上就是xoy面上的圆x?y?9,取?为圆域

22x2?y2?9的上侧,

dydzdzdxdxdy???22ydx?3xdy?zdz????dxdy???dxdy?9? ?L???x?y?z??DXY22y3xz

39

(2) 取?为平面x?y?z?0被L所围成的部分的上侧, ?的面积为?a,?的单位法向量为n??cos?,cos?,cos????2?1?3,11??, 33?,113??yz?x13????0ds?0 ?z?x?y??y?z?dx??z?x?dy??x?y?dz???L?3??xy?z3.

dydzdzdxdxdy???解:?3ydx?xzdy?yz2dz??????z2?xdydz??z?3?dxdy

L?x?y?z??23y?xzyz??以

???z?? 其中?为平面z=2被L所围成的部分的上侧,因为?在yoz面上的投影区域为线段,所

2?xdydz?0,又?在xoy面上的投影区域为x2?y2?4,所以

2???2?3dxdy??5??2??20?, ???????z?3?dxdy?LDxy??3ydx?xzdy?yz2dz??20?

习题3—5

1． 解：（1）P?x?yz,Q?y?xz,R?z?xy， divA?222?P?Q?R???2x?2y?2z?2(x?y?z)， ?x?y?z ?divA(1,1,3)?10

（2）P?e,Q?cos?xy?,R?cosxzxy??，

2 divA??P?Q?R???yexy?xsin?xy??2xzsinxz2， ?x?y?z?? ?divA(0,0,1)?0

（3）P?y,Q?xy,R?xz，

2 40

divA??P?Q?R???0?x?x?2x， ?x?y?z ?divA(1,2,3)?2。

2． 证明：场力沿路径L所作的功为W??L?kkxdx?ydy，要证明场力所作的功与所33rr取的路径无关，只需证明上面的积分与路径无关，显然，半平面x>0是单连通域。 P???Q3k?Rkk?xy?在该区域具有一阶连续偏导数，另外，所以x,Q??y533?x?yrrr上面的积分与路径无关，因而结论正确。

i?3．解：（1）rotA??xyzi? （2）rotA??xxyzj??yzxj??yxyzk??0 ?zxyk???xz?xy?i??xy?yz?j??yz?zx?k ?zxyzk??i?j ?z0ij?? （3）rotA??x?yz?siny?z?xcosyi?rotA??x （4）

x2siny?xsin?cosz??xy2cos?xz?i?ysin?cosz?j?y2zcos?xz??x2cosyk?jk???y?zy2sin?xz?xysin?cosz?

???ji??4．证明：（1）rotA??0

?x?y22xcosy?ysinx,2ycosx?x2sixy 所以A为有势场

H?x,y???2xcosb?b2sinxdx??2ycosx?x2sinydy?ycosx?xcosy?cx?a??y22?b??

41

i? （2）rotA??xycos(xy) 所以A为有势场

习题4－1

xjk???0

?y?zxcos(xy)sinzyzH?x,y,z???bcos(bx)dx??xcos(xy)dy??sinzdzabc?sin(xy)?cosz?c

1111，u2=，u3=，u4=，…

2?1?12?2?12?3?12?4?11故un=

2n?11?21?31?11?12?13?1 （2）记一般项为un，则 u1=(-1)·，u2=(-1)·，u3=(-1)·，…

2311?nn?1故un=(-1)·

n1．（1）记一般项为un，则 u1= （3）记一般项为un，则 u1=

xxxx，u2=2 ，u3=3，u4=4，… 2?1!2?2!2?3!2?4!xn212223242 故un=

2n?n!1?1

（4）记一般项为un，则u1=(-1)

a1?1a2?1a3?12?13?1u3=(-1)??u2=(-1)?，，，…

2?1?12?2?12?3?1n?1 故un=(-1)

?an?1? 2n?12．（1）

1?n1?11?21?3????? ?22221?11?21?3n?11?n1?3??2n?1?11?31?3?5????? ?2?4?2n22?42?4?6n?1? （2）

（3）

?????1?n?15n?n?1111???? 51015 （4）

n!1!2!3!?1?2?3?? ?n123n?1n42

3．（1）该级数为几何级数，r＝?33，由于r??1，故该级数收敛。

44?1n （2）该级数的一般项un?该级数发散。

1n5?5?1?0(n??)，故由级数收敛的必要条件可知，

（3）该级数为几何级数，r? （4）设s?33?1，由于r??1，故该级数发散。 221111?2?3?4?? 222222223 ??1??2?3??

333 因为s为r?12的几何级数，?为r＝的几何级数，故s，?均为收敛级数， 23故原级数收敛。

习题4－2

1?112n?1?，而级数?发散，故该级数发散。 1． （1）因为limn??12n?1nn??11?n1?n1（2） 因为un???，而?发散，故原级数?un发散。 22n1?nn?nn?1nn?11?n2?n?1??n?4??lim2?1，而且?12收敛，故原级数收敛。 （3）因为limn??n??n?5n?41n?1n2nsin（4）因为limn???2n?lim?n??12nsin2?2n??，而且?1收敛，故原级数收敛。

?nn?1?2nun?13nlim2．（1）un?，因为

n??un?2nn故级数发散。

3n?13n3(n?1)?2n?1?lim?lim(?)??1， n??n??2n?123nn?2n （2）因为limun?1n??un(n?1)2n?11n?121?lim32?lim()??1,故级数收敛。 n??n??3n3n3n 43

（3）因为limun?1n??un2n?1?(n?1)!nn12(n?1)n?1?lim?lim2()?2lim??1, n??n??n??1nen?12n?n!(1?)nnn故级数收敛。

（4）因为limun?1?limn??un??n(n?1)tan?2n?2?limn?1?2n?2?limn?1?2n?2?1?1，

n??nn??n???2ntann?1tann?1222n?1tan??故级数收敛。

3.（1）因为limnun?limn??n1??1，故级数收敛。

n??2n?12（2）因为limnun?limn??1?0?1，故级数收敛。

n??ln(n?1)2n?1nn)（3）因为limnun?lim(n??n??3n?1n2?n?lim() n??3n?1112ln1n11?e[lim(2?)ln()]?e3?()2??1，故级数收敛。

n??n3n?139（4）因为limnun?limn??bb?，

n??aanbb?1，级数收敛；当b?a时，?1，级数发散；

aab当b?a时，?1，无法判断。

a3(n?1)()n?1u3nn?13344．（1）un?n()，而limn?1?lim?lim???1， n??n??n??34unn44n()n4故当b?a时，故级数收敛

un4（2）un?，而limn?1n??un!n(n?1)4n?141(n?1)!?lim?lim()??0?1，故级数收敛。 4n??n??nn?1nn!n?1?un?1n?1n(n?2)1?lim?lim?1，而级数?发散，故级数发散。 （3）因为limn??1n??n??n?21n?1nnn 44

(4）因为limun?1n??un2n?1?(n?1)!nn12(n?1)n?1?lim?lim2()?2lim??1, n??n??n??1nen?12n?n!(1?)nnn故级数收敛。

n?12)?1?0，故级数发散。 （5）因为limun?(n??n??111111（6）un???，而级数?发散，从而??发散，故原级数发散。

na?bann?1ann?1n15．（1）un?(?1)n?11n12，显然

?un?1?n为一交错级数，且满足un?un?1，limun?0，

n??? 因而该级数收敛。又

?un?1?n??n?11n12是p?1的p级数，所以

?un?1?n发散，

即原级数是条件收敛。

?un?1n?13n?11n?11 （2）对于lim?limn??lim???1，故?un收敛，

n??un??3n??n3n3n?1n从而原级数绝对收敛。

（3）un?(?1)n?1??11?11??n收敛，故原级数绝对收敛。 ，显然?un??n3n?123?23?2nn?1n?1 （4）un?(?1)n?1?11?0(n??)， ，?un为一交错级数，又un?ln(n?1)n?1ln(n?1) 且un?un?1，故由莱布尼兹定理可知，原级数收敛。但由于un?1， n?1?un?1?n发散，故原级数是条件收敛。

22n2n?2n?2n?2n?2n （5）因为?un?lim?lim??，故级数发散。

n??n!n??n(n?1)?3?2?1n?1??(?1)n?116．（1）因为?n?1??(?)4n?14n?1?n?111??(?)n为几何级数，且r??，

44n?0?其和为

114??。 1?r1?(?1)5445

??3n?2n1n1n1n?1n1?1n1?1n??[()?()]??()??()??()??() （2）因为?n?n?16n?123n?12n?132n?023n?03? 而由

?(1n知r?12，其和为11?r?1?2

?02)n1?12?由

?(1n113)知r?3，其和为11???3n?0r1?12 3?故?3n?2nn?1?133n?1622?3?2?2 7．设排球每一次下落后的高度依次为:

h1?34h,h2?34h1?(34)2h,

h3?34h2?(34)3h,h4,

4?34h3?(34)h,??hn?34hn?1?(34)nh??反弹的总距离s??hn3?n31n?h?3hn?1?(34)?n?14h?(34)?h? n?041?348．由已知可得：

CD?bsin?,DE?CDcos(90o??)?CDsin??b(sin?)2,EF?DEsin??b(sin?)3,FG?EFcos(90o??)?EFsin??b(sin?)4,??L=|CD|+|DE|+|EF|+|FG|+?=

?b(sin?)n??bsin??(sin?)n?bsin??1bn?1n?01?sin??sin?1?sin?

习题4-3

1． （1）R?limann??a?lim2n(n2?1)1n?1?n?1n??2((n?1)2?1)2 46

…

当x??111时，级数收敛，所以该级数的收敛域为[?,] 222

（2）R?liman1n?lim?1

n??an??1n?1n?1当x?4时，级数收敛，当x?6时，级数发散， 所以该级数的收敛域为[4,6)

nx2n?1（3）该幂级数只含有奇次幂项，记un?n，则有 n2?(?3)un?1(n?1)x2n?1(2n?1?(?3)n?1)12lim?lim?x 2n?1nnn??un??3nx(2?(?3))n当x?3时，级数收敛，当x?3时，级数发散，于是收敛半径R?当x??3时，级数发散，所以该级数的收敛域为(?3,3

3)

n2n（4）该幂级数只含有偶次幂项，记un?2(x?a)，则有

un?12n?1(x?a)2n?22 lim?lim?2x?an2nn??un??2(x?a)n当x?a?222时，级数收敛，当x?a?时，级数发散，于是收敛半径R? 222222,?a?) 时，级数发散，所以收敛域为(?a?222当x??a?2． （1）设s(x)??nxn?1x??n?1(?1?x?1)

?

?x0s(x)dx??(?nx0n?1n?1)dx??xn?n?1x1?x(?1?x?1)

?1?x?故 s(x)????(1?x)2?1?x??(?1?x?1)

x2n?1(?1?x?1) （2）设s(x)??2n?1n?1

s?(x)??x2n?2?n?1?11?x2(?1?x?1)

47

xx111s(x)?s(0)??dx??dx???0x2?1?0x2?1dx01?x2x11x11???dx?[??dx]0(x?1)(x?1)20x?1x?1

xx1111?[?dx??dx]?[ln(1?x)?ln(1?x)]01?x20x?1211?x?ln(?1?x?1)21?xx?

（3）设s(x)???(2n?1)xn?1n?n(?1?x?1)

则s(x)?2?(n?1)xn?1n??xnn?1(?1?x?1)

令u(x)??(n?1)xn?1?n?1?(?1?x?1)

?x0u(x)dx??xn?1x2?1?x(?1?x?1)

??x2?2x?x2u(x)???1?x???(1?x)2??(?1?x?1)

2x?x2x3x?x2故s(x)?2???21?x(1?x)(1?x)2xn（4）设s(x)??n?2n(n?1)??(?1?x?1)

(?1?x?1)

xn?1s?(x)??(?1?x?1)

n?1n?2s??(x)??xn?2?n?2?11?x(?1?x?1)

s?(x)?s?(0)??x0x01dx??ln(1?x)(?1?x?1) 1?xs(x)?s(0)??ln(1?x)dx?(1?x)ln(1?x)?x(?1?x?1)

习题4-4 1． (1)

48

1??4?x2211x21?41?(2n?1)!!2n???x2n?1n!23n?12?1?x?1?(?)?2?4??2?12111???1)(??n?1)2n?(?)(??x??1?22??1??2???2?n?1n!?4????(?2?x?2)2n?12n1?cos2x1?xn?12???(?1)（2）sinx?22n?1(2n)!(???x???)

（3）设f(x)?ln(x?1?x2)

1?22f?(x)?11?x?n?12?(1?x)111(?)(??1)(??n?1)22?1??2(x2)nn!n?1

??1??(?1)nx(2n?1)!!2nx(2n)!!?n(?1?x?1)(2n?1)!!2nxdx(2n)!!(?1?x?1)f(x)?f(0)??dx??(?1)0n?1??x0(2n?1)!!?x??(?1)nx2n?1(2n)!!(2n?1)n?1（4）a?exxlna

(lna)nn??xn!n?0?(???x???)

（5）设f(x)?(1?x)ln(1?x)

f?(x)?1?ln(1?x)?1??(?1)n?1?n?1xnn(?1?x?1)

f(x)?f(0)??dx??(?1)0n?1x?n?1?x0xndxn?x??(?1)n?1n?1?xn(n?1)?n?1

(?1?x?1)（6）

x1?x2?x[1??(?1)nn?1(2n?1)!!2nx]

(2n)!!(?1?x?1)

?x??(?1)nn?1?(2n?1)!!2n?1x(2n)!! 49

2． f(x)?1111?????3x2?3x?2x?1x?2111?? x?42x?41?31?2 ??13?? 1n?1??1nn(x?4)n?02n(x?4)

n?032

???(11n?02n?1?3n?1)(x?4)n(?6?x??2)

??1?x?4注：收敛域：???3?1?????7?x??1?6?x???6?x??2 ??1?x?4?1??2?23． （1）18o??10

cos?1?110?1?2!(10)2?4!(?10)4?1?6!(10)6??

|r?16!(?2|10)6?10?4

cos??1?1(?)21?102!10?4!(10)4?0.9511

?（2）

11?x4?1??(?1)n(2n?1)!!4nx?1)

n?1(2n)!!x(?1?1?2101?x4dx?1?2??(?1)n(2n?1)!!2n)!!(4n?1)(14n?12)

n?1(|r5!!2|?6!!?113?(1132)?10?4 1?2101?x4dx?12?110?(12)5?124(12)9?0.4969 ?4． 设s(x)??n2xn???x???

n?1n!???s(x)??nxn??1n1n?2)!x??xn?x2ex(n?1)!?xexn?1n?2(n?1(n?1)!?则?n2?s(1)?2e

n?1n! 50

(???x???)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fgto.html