(新课标)高中数学《第一章 导数及其应用》知识点、考点、及其例题 新人教A版选修2-2
更新时间:2023-05-12 22:24:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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高中数学选修2----2知识点导数及其应用
知识点:
一.导数概念的引入
1. 导数的物理意义:瞬时速率。一般的,函数y f(x)在x x0处的瞬时变化率是
x 0
lim
f(x0 x) f(x0)
,
x
我们称它为函数y f(x)在x x0处的导数,记作f (x0)或y |x x0, 即f (x0)=lim
x 0
f(x0 x) f(x0)
x
2. 导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点Pn趋近于P时,直线PT与
曲线相切。容易知道,割线PPn的斜率是kn
f(xn) f(x0)
,当点Pn趋近于P时,函
xn x0
f(xn) f(x)0
f( x)0
xn x0
数y f(x)在x x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k lim
x 0
3. 导函数:当x变化时,f (x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数. y f(x)的
导函数有时也记作y ,即f (x) lim考点:无 知识点:
二.导数的计算
1)基本初等函数的导数公式:
1若f(x) c(c为常数),则f (x) 0; 2 若f(x) x,则f (x) x
1
x 0
f(x x) f(x)
x
;
3 若f(x) sinx,则f (x) cosx 4 若f(x) cosx,则f (x) sinx; 5 若f(x) a,则f (x) alna 6 若f(x) e,则f (x) e
x
x
xx
1 xlna1
8 若f(x) lnx,则f (x)
x
x
7 若f(x) loga,则f (x)
2)导数的运算法则
1. [f(x) g(x)] f (x) g (x)
2. [f(x) g(x)] f (x) g(x) f(x) g (x)
3. [
f(x)f (x) g(x) g(x)] f(x) g (x)
[g(x)]
2
3)复合函数求导
y f(u)和u g(x),称则y可以表示成为x的函数,即y f(g(x))为一个复合函数 y f (g(x)) g (x)
考点:导数的求导及运算 ★1、已知
f x x2 2x sin ,则f' 0
★2、若f x exsinx,则f'
x ★3.f(x)=ax3
+3x2
+2 ,
f ( 1) 4,则a=( )
A.
10133
B.
3
C.16
3
D.19 3
★★4.过抛物线y=x2
上的点M(1,124
)的切线的倾斜角是() A.30° B.45° C.60° D.90°
★★5.如果曲线y
92
x2
3与y 2 x3在x x0处的切线互相垂直,则x0= 三.导数在研究函数中的应用 知识点:
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系:
在某个区间(a,b)内,如果f (x) 0,那么函数y f(x)在这个区间单调递增; 如果f (x) 0,那么函数y f(x)在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数y f(x)的极值的方法是:
(1) 如果在x0附近的左侧f (x) 0,右侧f (x) 0,那么f(x0)是极大值; (2) 如果在x0附近的左侧f (x) 0,右侧f (x) 0,那么f(x0)是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数y f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 (1) 求函数y f(x)在(a,b)内的极值;
(2) 将函数y f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
四.生活中的优化问题
利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题 考点:1、导数在切线方程中的应用 2、导数在单调性中的应用 3、导数在极值、最值中的应用 4、导数在恒成立问题中的应用 一、题型一:导数在切线方程中的运用
★1.曲线y x在P点处的切线斜率为k,若k=3,则P点为( ) A.(-2,-8) B.(-1,-1)或(1,1)
3
11
C.(2,8) D.(-2,-8)
★2.曲线y
13
过其上横坐标为1的点作曲线的切线,则切线的倾斜角为( ) x x2 5,
3
3
6434A. B. C. D.
二、题型二:导数在单调性中的运用
32
f(x) x 3x 1是减函数的区间为( ) ★1.(05广东卷)函数
A.(2, ) B.( ,2) C.( ,0) D.(0,2)
32
f(x) 2x 6x 7,下列说法不正确的是( ) ★2.关于函数
A.在区间( ,0)内,f(x)为增函数 B.在区间(0,2)内,f(x)为减函数
(2, )内,f(x)为
C.在区间(2, )内,f(x)为增函数 D.在区间( ,0)
增函数
★★3.(05江西)已知函数y xf(x)的图象如右图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),
下面四个图象中y f(x)的图象大致是( )
★★★4、(2010年山东21)(本小题满分12分)
已知函数f(x) 1nx ax (Ⅰ)当a
1 a
1(a R). x
1时,求曲线y f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(Ⅱ)当a≤
1
时,讨论f(x)的单调性. 2
三、导数在最值、极值中的运用:
32
f(x) x ax 3x 9,已知f(x)在x 3时取得极值,则a=★1.(05全国卷Ⅰ)函数
( )
A.2
3
B. 3
2
C. 4 D.5
★2.函数y 2x 3x 12x 5在[0,3]上的最大值与最小值分别是( ) A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 16 ★★★3.(根据04年天津卷文21改编)已知函数当x 1时f(x)取得极值-2.
(1)试求a、c、d的值;(2)求f(x)的单调区间和极大值; ★★★4.(根据山东2008年文21改编)设函数f(x) xe为f(x)的极值点。 (1)求a,b的值; (2)讨论f(x)的单调性;
2
x 1
f(x) ax3 cx d(a 0)
是R上的奇函数,
ax3 bx2,已知x 2和x 1
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