第一讲 集合的概念与运算技巧

第一讲 集合的概念与运算技巧

【命题趋向】

1．高考试题通过选择题和填空题，以及大题的解集，全面考查集合与简易逻辑的知识，题型新，分值稳定．一般占5---10分．

2．简易逻辑一部分的内容在近两年的高考试题有所出现，应引起注意． 【考点透视】

1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念. 2．了解空集和全集的意义.

3．了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 4．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.

5．注意空集?的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A?B,则有A=?或A≠?两种可能，此时应分类讨论. 【例题解析】

题型1． 正确理解和运用集合概念

理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.

例1.已知集合M={y|y=x＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）

A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}

思路启迪：集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集． 解：M={y|y=x＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．

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2

2

∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D．

y?x2?1,?x?0,?x?1, 点评：①本题求M∩N，经常发生解方程组?或?得???y?x?1.?y?1, ?y?2.从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x＋1}、{y|y=x＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．

例2.若P={y|y=x,x∈R}，Q={y|y=x＋1,x∈R}，则P∩Q等于（ ） A．P B．Q C． D．不知道

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思路启迪：类似上题知P集合是y=x（x∈R）的值域集合，同样Q集合是y= x＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩Q意义就明确了．

解：事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x,y= x＋1的值域，由P={y|y≥0},Q={y|y

2

2

22

≥1}，知QP，即P∩Q=Q．∴应选B．

2

2

例3. 若P={y|y=x,x∈R}，Q={(x，y)|y=x,x∈R}，则必有（ ） A．P∩Q=? B．P

Q C．P=Q D．P

Q

2

思路启迪：有的同学一接触此题马上得到结论P=Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x,x∈R相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合是y=x,x∈R上的点的集合，

2

代表元素根本不是同一类事物．

解：正确解法应为： P表示函数y=x的值域，Q表示抛物线y=x上的点组成的点集，因此P∩Q=?．∴应

2

2

选A．

例4（2007年安徽卷文）若A?{x|x2?1}，B?{x|x2?2x?3?0}，则A?B= A．{3}

B．{1}

C．?

（ ）

D．{－1}

思路启迪：?A?{x|x??1,x?1}，B?{x|x??1,x?3},?A?B???1?. 解：应选D．

点评：解此类题应先确定已知集合． 题型2．集合元素的互异性

集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．

例5. 若A={2，4, a－2a－a＋7},B={1, a＋1, a－2a＋2,－1 (a－3a－8), a＋a＋3a＋7}，且

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2

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3

2

2A∩B={2，5}，则实数a的值是________．

解答启迪：∵A∩B={2，5}，∴a－2a－a＋7=5,由此求得a=2或a=±1． A={2,4,5}，集合B中的元素

3

2

是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．

当a=1时，a－2a＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a=1． 当a=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去a=－1． 当a=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设． 故a=2为所求．

例6. 已知集合A={a,a＋b, a＋2b}，B={a,ac, ac}．若A=B，则c的值是______． 思路启迪：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．

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2

2

解：分两种情况进行讨论．

（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac，消去b得：a＋ac－2ac=0， a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．

2

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∴c－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解． （2）若a＋b=ac且a＋2b=ac，消去b得：2ac－ac－a=0， ∵a≠0，∴2c－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－1．

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2

2

2点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正． 例7.已知集合A={x|x－3x＋2=0},B={x|x－ax＋a－1=0}，且A∪B=A，则a的值为______． 思路启迪：由A∪B=A?B?A而推出B有四种可能，进而求出a的值． 解： ∵ A∪B=A， ?B?A,

∵ A={1，2}，∴ B=?或B={1}或B={2}或B={1，2}． 若B=?，则令△<0得a∈?；

若B={1}，则令△=0得a=2，此时1是方程的根；

若B={2}，则令△=0得a=2，此时2不是方程的根，∴a∈?；

若B={1，2}则令△>0得a∈R且a≠2，把x=1代入方程得a∈R，把x=2代入方程得a=3． 综上a的值为2或3．

点评：本题不能直接写出B={1，a－1}，因为a－1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况． 题型3．要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法

集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．

例8.设集合A={a|a=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1,k∈Z}，则集合A、B的关系是________． 解：任设a∈A，则a=3n＋2=3(n＋1)－1(n∈Z)， ∴ n∈Z,∴n＋1∈Z.∴ a∈B,故A?B． ① 又任设 b∈B，则 b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈Z), ∵ k∈Z,∴k－1∈Z.∴ b∈A，故B?A ② 由①、②知A=B．

点评：这里说明a∈B或b∈A的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理． 例9（2006年江苏卷）若A、B、C为三个集合，A?B?B?C，则一定有（ ）

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A . A?C B .C?A C .A?C D . A?? [考查目的]本题主要考查集合间关系的运算.

解：由A?B?B?C知，A?B?B,A?B?C?A?B?C，故选A.

（2007年福建卷文）已知全集U??12，2?，则A?CUB等于 （ C ） ，，3，4，5?，且A??2，3，4?，B??1

A．{2}

B．{5}

C．{3，4}

D．{2，3，4，5}

例10．（2006年辽宁卷）设集合A?{1,2},则满足A?B?{1,2,3}的集合B的个数是（ ）

A . 1 B .3 C .4 D . 8

[考查目的] 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想.

解：A?{1,2}，A?B?{1,2,3}，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A?{1,2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有22?4个.故选C. 例11．（2007年北京卷文）

记关于x的不等式x?a?0的解集为P，不等式x?1≤1的解集为Q．

x?1（I）若a?3，求P；

（II）若Q?P，求正数a的取值范围． 思路启迪：先解不等式求得集合P和Q． 解：（I）由x?3?0，得P??x?1?x?3?．

x?1（II）Q??xx?1≤1???x0≤x≤2?．

由a?0，得P??x?1?x?a?，又Q?P，所以a?0， 即a的取值范围是(2，??)．

题型4. 要注意空集的特殊性和特殊作用

空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．

例12. 已知A={x|x－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，则实数a组成的集合C是________． 解：由x－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，a=2，当x=2时，a=1．

这个结果是不完整的，上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=?时，仍满足A∪B=A，当a=0时，B=?，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．

例13．（2007年北京卷理）已知集合A??x|x?a≤1?，B?xx2?5x?4≥0．若A?B??，则实数a的取

2

2

?? 4

值范围是 ．

思路启迪：先确定已知集合A和B．

解：A??x|x?a≤1???xa?1?x≤a+1?,B?xx2?5x?4≥0??xx≥4,x?1?. 3)． ?a?1?4,a?1?1.?2?x?3.故实数a的取值范围是(2，??例14. 已知集合A={x|x＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R?=?，则实数m的取值范围是_________． 思路启迪：从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x＋(m＋2)x＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩R?=?可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围．

解：由A∩R?=?又方程x＋(m＋2)x＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，

2?????m?2??4?0,或△=(m＋2)2－4<0．解得m≥0或－4－4． ?????m?2??0,2

2

2

点评：此题容易发生的错误是由A∩R?=?只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因为方程无零根），而把A=?漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言． 例15.已知集合A={x|x－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若B

2

A，则实数p的取值范

围是________．

解：由x－3x－10≤0得－2≤x≤5． 欲使B

?2?p?1A，只须???3?p?3.∴ p的取值范围是－3≤p≤3． ??2p?1?52

上述解答忽略了\空集是任何集合的子集\这一结论，即B=?时，符合题设． 应有：①当B≠?时，即p＋1≤2p－1由B

p≥2．

A得：－2≤p＋1且2p－1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3.

p＜2．

②当B=?时，即p＋1>2p－1由①、②得：p≤3．

点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=?、A∪B=?，A这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． 题型5．要注意利用数形结合解集合问题

B等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，

集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．

例16.设全集U={x|0

思路启迪：本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出．

5

*

解：A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}．

例17.集合A={x|x＋5x－6≤0},B={x|x＋3x>0}，求A∪B和A∩B．

2

2

解：∵ A={x|x－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，

2

B={x|x＋3x>0}={x|x<－3，或x>0}． 如图所示， ∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3，或x>0}=R．

2

A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3，或x>0}={x|－6≤x＜－3，或0

点评：本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果．

例18.设A={x|－21}，B={x|x＋ax＋b≤0}，已知A∪B={x|x>－2}，A∩B={x|1

思路启迪：可在数轴上画出图形，利用图形分析解答． 解：如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，

2

显然当且仅当B覆盖住集合{x|－1－2}，且A∩B={x|1

点评：类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果． 【专题训练与高考预测】 一.选择题:

1．设M={x|x+x+2=0}，a=lg(lg10)，则{a}与M的关系是（ ）

2

2

?A、{a}=M B、M? ?{a} C、{a}?M

D、M?{a}

2．已知全集U=R，A={x|x-a|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=?，则a的取值范围是（ ）

A、 [0，2]

B、（-2，2） C、（0，2]

2

2

D、（0，2）

3．已知集合M={x|x=a-3a+2，a∈R}，N={x|x=b-b，b∈R}，则M，N的关系是（ ）

?A、 M??N B、M?N C、M=N D、不确定

4．设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是（ ）

6

A、11 B、10 C、16 D、15 5．集合M={1，2，3，4，5}的子集是（ ）

A、15 B、16 C、31 D、32 6 集合M={x|x=kx??,k∈Z},N={x|x=k???,k∈Z},则( )

2442A M=N 2

B MN C MN D M∩N=?

7. 已知集合A={x|x－4mx＋2m＋6=0,x∈R}，若A∩R≠?，求实数m的取值范围．

8． 命题甲：方程x＋mx＋1=0有两个相异负根；命题乙：方程4x＋4(m－2)x＋1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m的取值范围．

9 已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1

－

22

A －3≤m≤4

B －3

D 2

10．集合M=?xx2?2x?a?0,x?R?，且??M.则实数a的取值范围是( )

? A. a?-1 B. a?1 C. a?-1 D.a?1

11．满足｛a，b｝UM=｛a，b，c，d｝的所有集合M的个数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 12．若命题P：x?A?B，

?P是（ ）

A. x?A?B B. x?A或x?B C. x?A且x?B D. x?A?B

13．已知集合M=｛a,a｝.P=｛-a,2a-1｝；若card(M?P)=3，则M?P= ( ) A.｛-1｝ B.｛1｝ C.｛0｝ D.｛3｝

14．设集合P=｛3,4,5｝.Q=｛4,5,6,7｝.令P*Q=??a,b?a?p,b?Q?，则P*Q中元素的个数是 ( ) A. 3 B. 7 C. 10 D. 12 二．填空题：

15．已知M={m|m?4?Z}，N={x|x?3?N}，则M∩N=__________.

22216．非空集合p满足下列两个条件：（1）p??{1，2，3，4，5}，（2）若元素a∈p，则6-a∈p，则集合p个数是__________.

17．设A=｛1，2｝，B=｛x｜x?A｝若用列举法表示，则集合B是 .

20072008b?218．含有三个实数的集合可表示为?? ． ?a,,1???a,a?b,0?，则a?b?a?三．解答题：

19．设集合A={(x，y)|y=ax+1}，B={(x，y)|y=|x|}，若A∩B是单元素集合，求a取值范围.

7

20.设A={x|x+px+q=0}≠?，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，若A∩M=?，A∩N=A，求p、q的值. 21．已知集合M={y|y=x+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N．

22．已知集合A={x|x-3x+2=0}，B={x|x-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围． 23．已知全集U=R，且A?xx2?x?12?0,B?xx2?4x?5?0，求?CUA???CUB?. 24．已知集合A?xx2?2x?3?0,B?xx2?ax?b?0,

且A?B?R,A?B?x3?x?4?，A?B?R,A?B??x3?x?4?，求a,b的值.

【参考答案】

1． C 2. A 3. C 4. C 5. D

6. C 解析 对M将k分成两类 k=2n或k=2n+1(n∈Z), M={x|x=nπ+?,n∈Z}∪{x|x=nπ+3?,n∈Z},

2

2

22

????????44对N将k分成四类，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),

N={x|x=nπ+?,n∈Z}∪{x|x=nπ+3?,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+5?,n∈Z} 242

47．解：设全集U={m|△=(－4m)－4(2m＋6)≥0}={m|m≤－1或m≥3}．

2若方程x－4mx＋2m＋6=0的二根为x1、x2均非负，

则m?U?3??x1?x2?4m?0?m?,

2?xx?2m?6?1222

因此，{m|m≥3}关于U补集{m|m≤－1}即为所求． 8．解：使命题甲成立的条件是：

??1?m2?4?0,?m?2.∴ 集合A={m|m>2}． ?x?x??m?0?12使命题乙成立的条件是：△2=16(m－2)－16<0，∴1＜m＜3．∴ 集合B={m|1

若为（1），则有：A∩CRB={m|m>2}∩{m|m≤1或m≥3}={m|m≥3}； 若为（2），则有：B∩CRA={m|1

2

∴??m?1??2，即

?2m?1?7?m?1?2m?1?2＜m≤4 8

10.C 11.D 12.B 13.D 14.B 二.填空题:

15. ?； 16. 7 ； 17. {?,{1},{2},{1,2}}； 18.-1. 三.解答题:

19. a≥1或a≤-1，提示：画图.

p??8,或?p??20,或?p??14, 20．????q?16,??q?10,?q?40.21．解：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征．M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化．M={y|y=x+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}．∴ M∩N=M={y|y≥1}． 22．解：化简条件得A={1，2}，A∩B=B?B?A．

根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=?，B={1}或{2}，B={1，2}． 当B=?时，△=m-8<0．∴ ?2??0当B={1}或{2}时，??2

2

2?m?22．

，m无解．

?1?m?2?0或4?2m?2?01?2?m,∴ m=3． 当B={1，2}时，???1?2?2.综上所述，m=3或?22?m?22．

23.解:A??x?3?x?4?,B??xx??1或>5?,?CUA??xx??3或x?4?,CUB??x?1?x?5?,?(CUA)?(CUB)??x4?x?5?.

24. 解：A??xx?1或x?3?， ∵A?B?R. ∴?x?1?x?3?中元素必是B的元素. 又∵A?B??x3?x?4?, ∴?x3?x?4?中的元素属于B, 故B??x?1?x?3或3?x?4???x?1?x?4?.

而B?xx2?ax?b?0. ∴-1,4是方程x2?ax?b?0的两根， ∴a=-3,b=-4.

?? 9

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fgr6.html