巴特沃斯数字低通滤波器要点说明教学内容

巴特沃斯数字低通滤波器要点说明

精品资料

目录

1.题目........................................................ .................................. .2

2.要求........................................................ (2)

3.设计原理........................................................ . (2)

3.1 数字滤波器基本概念......................................................... (2)

3.2 数字滤波器工作原理......................................................... (2)

3.3 巴特沃斯滤波器设计原理 (2)

3.4脉冲响应不法......................................................... .. (4)

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2

精品资料

3.5实验所用MATLAB函数说明 (5)

4.设计思路........................................................ .. (6)

5、实验内容........................................................ . (6)

5.1实验程序......................................................... . (6)

5.2实验结果分析......................................................... . (10)

6.心得体会........................................................ . (10)

7.参考文献........................................................ . (10)

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3

精品资料

一、题目：巴特沃斯数字低通滤波器

二、要求：利用脉冲响应不变法设计巴特沃斯数字低通滤波器，通带截止频率

100HZ,采样频率1000HZ，通带最大衰减为0.5HZ，阻带最小衰减为10HZ，画出

幅频、相频相应相应曲线。并假设一个信号

x(t)=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t),其中f1=50HZ,f2=200HZ。用此信号验

证滤波器设计的正确性。

三、设计原理

1、数字滤波器的基本概念

所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输

入信号所含频率成分的相对比例，或者滤波器除某些频率成分的数字器件或程

序，因此，数字滤波的概念和模拟滤波相同，只是的形式和实现滤波方法不

同。正因为数字滤波通过数值运算实现滤波，所以数字滤波处理精度高、稳

定、体积小、质量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实验模拟滤波器无法

实现的特殊滤波功能。如果要处理的是模拟信号，可通过A\DC和D\AC,在信号

形式上进行匹配转换，同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波。

2、数字滤波器的工作原理

数字滤波器是一个离散时间系统，输入x(n)是一个时间序列，输出y(n)也

是一个时间序列。如数字滤波器的系统函数为H(Z),其脉冲响应为h(n),则在时

间域内存在下列关系

y(n)=x(n) h(n) 在Z域内，输入输出存在下列关系

Y(Z)=H(Z)X(Z)

式中，X(Z),Y(Z)分别为输入x(n)和输出y(n)的Z变换。

同样在频率域内，输入和输出存在下列关系

Y(jw)=X(jw)H(jw)

式中，H(jw)为数字滤波器的频率特性，X(jw)和Y(jw)分别为x(n)和y(n)的频

谱。w为数字角频率，单位rad。通常设计H(jw)在某些频段的响应值为1，在

某些频段的响应为0.X(jw)和H(jw)的乘积在频率响应为1的那些频段的值仍为

X(jw)，即在这些频段的振幅可以无阻碍地通过滤波器，这些频带为通带。X(jw)

和H(jw)的乘积在频段响应为0的那些频段的值不管X(jw)大小如何均为零，即

在这些频段里的振幅不能通过滤波器，这些频带称为阻带。

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4

精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 一个合适的数字滤波器系统函数H(Z)可以根据需要输入x(n)

的频率特性，经数字滤波器处理后的信号y(n)保留信号x(n)中的有用频率成分，去除无用频率成分。

3、巴特沃斯滤波器设计原理

（1）基本性质

巴特沃斯滤波器以巴特沃斯函数来近似滤波器的系统函数。巴特沃斯滤波器是根据幅频特性在通频带内具有最平坦特性定义的滤波器。

巴特沃思滤波器的低通模平方函数表示1

()ΩΩ+=Ωc N /22a 11)(j H N=1,2，…… （2-6）

下面归纳了巴特沃斯滤波器的主要特征

a 对所有的N ，()1a

j H 20=Ω=Ω。 b 对所有的N ，()707.0a

j 2c =ΩΩH =Ω即()dB 3a lg 20j H c =Ω=ΩΩ c ()Ωj H a 2

是Ω的单调下降函数。 d ()Ωj H a 2随着阶次N 的增大而更接近于理想低通滤波器。

如下图2所示，可以看出滤波器的幅频特性随着滤波器阶次N 的增加而变得越来越好，在截止频率Ωc 处的函数值始终为1/2的情况下，通带内有更多的

频带区的值接近于1；在阻带内更迅速的趋近于零。

图2 巴特沃思低通滤波平方幅频特性函数

（2）系统函数

精品资料

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 设巴特沃斯的系统函数为H a （s ），则：

（3）设计过程

巴特沃思低通滤波技术指标关系式为

a p >-20log|H a (j Ω)|，Ω<ΩP

a s <-20log|H a (j Ω)|，Ω>Ωs

其中：Ωp 为通带边界频率，Ωs 为阻带边界频率。代入式1.4.1可得:

经过化简整理可得：

取满足上式的最小整数N 作为滤波器的阶数。再将N 代入可得：

或

查表求得归一化传输函数H(s),令s/Ωc 代替归一化原型滤波器系统函数中

的s,即得到实际滤波器传输函数。

4、脉冲响应不变法

所谓脉冲响应不变法就是数字滤波器的脉冲响应序列h(n)等于模拟滤波器的响应ha(t)的采样值，即

h(n)=ha(t)|t=nT=ha(nT)

式中，T 为采样周期。

因此数字滤波器的系统函数H(Z)可由下式求得

H(z)=Z[h(n)]=Z[ha(nT)]

Z[-]表示[-]的内容进行变换，变换的内容请参考相应的数字信号处理材料。

如果已经获得了满足性能指标的模拟滤波器的传递函数Ha(s) ,求与之对应的数字滤波器的传递函数H(z)的方法是：

（

1）、求模拟滤波器的单位脉冲响应ha(t)。

精品资料

式中，L[Ha(s)]表示对Ha(s)的Laplace.逆变换。Laplace变换内容请参考高

等数学的积分变换或信号处理教材。

（2）、求模拟滤波器单位冲激响应ha(t)的采样值，即数字滤波器冲激响应序列h(n)。

（3）、对数字滤波器的冲激h(n)响应进行z变换，得到传递函数H(z)。

由上述方法推论出更直接地由模拟滤波器系统函数Ha(s)求出数字滤波器系统函数H(z)的步骤是：

（1）利用部分分式展开将模拟滤波器的传递函数H(z)展开成

Ha(s)= Rk\(S-Pk)

在MATLAB中这步可通过residue函数实现

若调用residue函数的形式为[b,a]=residue(R,P,K)形式。

若为[R,P,K]=residue(a,b)则为上面调用形式的反过程。

(2)将模拟极点Pk变换为数字极点e^pkT即得到数字系统的传递函数

H(z)= Rk\(1-e^pkT*z*(-1))

式中T为采样间隔。

（3）将上式转换为传递函数形式，可采用[R,P,K]=residue(b,a)。

对于上面的步骤，中已经提供了冲激响应不变法设计数字滤波器的函数，调用格式为

[bz,az]=impinvar(b,a[ ,Fs],Fp)

式中，b,a为模拟滤波器分子和分母多项式系数向量；Fs为采样频率（所滤波数据），单位Hz，缺省时为1Hz，为预畸变频率（prewarped frequency），是一个“匹配”频率，在该频率上，频率响应在变换前后和模拟频率可精确匹配。一般设计中不考虑。bz,az分别为数字滤波器分子和分母多项式系数向量。

5、实验所用MATLAB函数说数。

（1）[N,wc]=buttord(wp,ws,RP,As,’s’)

该格式用于计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数N和3db截止频率wc。Wp、ws和wc是实际模拟角频率(rad\s)。Rp和As为通带最大衰减和最小衰减。（2）[Z,P,k]=buttap(N)

该格式用于计算N阶巴特沃斯归一化模拟低通原型滤波器系统函数的零、极点和增益因子，返回长度为N的列向量Z和P，分别给出N个零点和极点的位置，K表示滤波器增益。

（3）Y=filter(b,a,x)

式中b表示系统传递函数的分子多项式的系数矩阵；a表示系统传递函数的分母多项式的系数矩阵；x表示输入序列；filter表示输出序列。IIR函数实现的直接形式。

(4) [b，a]=butter（N，wc，‘ftype’）

计算N阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子、分母多项式的系数向量b、a。

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢7

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fgdl.html