数学建模2015 - 图文

关于太阳影子定位的数学模型

摘要

利用球面天文学和空间解析几何等知识，并运用matlab、lingo等软件进行数值求解，解决了关于物体的太阳影子变化确定拍摄地点的经纬度及拍摄日期时间的问题。

针对问题一，通过引进太阳高度角、赤纬角等变量，得到太阳影子的变化与经度，纬度，杆长和时间的函数关系，求出直杆在不同时刻所对应的影长，利用matlab编程得到直杆影长的变化曲线，曲线大致呈对称形状，物体影长由长变短，在中午12点14分左右直杆的影长达到最短且为3.8米左右，12点之后逐渐变长。

针对问题二，运用最小二乘法将附件1所给的影子的顶点坐标进行拟合，通过误差分析取出最优的两个坐标点，并结合几何知识，建立模型求解出直杆的高度为2.04米。我们运用matlab对影子的长度进行二次拟合，求出一天中影子最短出现的时间，并求解出当地经度为108.75?E。根据附件1，结合问题一中的数学模型，得到当地的纬度为

18?N，所对应的地区为海南。由于最优坐标的选取不同和三角函数的周期性，可以得

到不同的地点。

针对问题三，对附件2的数据进行椭圆曲线拟合，应用地平式日晷原理，计算出当地的纬度为83.90?E，经度为33.05?N，数据记录的时间为2015年10月20日，所对应的地区为西藏自治区的阿里地区。同理，附件三对应的地区在越南附近，日期为2015年8月22日。

针对问题四，使用matlab将视频文件转化成帧数，再设定三分钟取出一个帧数，之后对这些图像进行灰度处理，根据它们的像素点从而来确定杆底、杆高及影子顶点的坐标，从而计算出影子的长度，用Excel统计出影长随时间变化的二次函数，根据问题二的模型求解出当地的坐标为（41.83?N，108.50?E），位置为内蒙古自治区。

关键词： 球面天文学 空间解析几何 拟合 地平式日晷 灰度处理

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一、问题重述

1.1问题背景

所谓太阳影子定位技术，就是通过分析同一地点的同一物体在不同时间的太阳影子变化规律，从而确定出视频拍摄的地点和日期。由于各物体在不同时间或者不同地点的太阳高度角不同，因此各物体对应的影长也会有所不同，因此需要我们对研究太阳影子与时间，地点等参数的关系，建立出相应的数学模型，从而确定物体的拍摄地点及拍摄日期。 1.2 解决问题

建立数学模型，解决下列问题

1. 分析影子长度的变化规律，建立出在已知日期的直杆影子长度变化的数学模型，并应用此模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。

2.已知某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据及测量日期，未知直杆的高度，建立相应数学模型从而确定直杆所处的地点。并应用于附件1数据，求解出若干个可能的地点。

3.根据固定直杆在水平地面上的坐标建立数学模型，确定直杆所处的地点和日期。并分别应用于附件2和附件3的数据，解出若干个可能的地点与日期。

4．根据附件4中已知拍摄的日期的一段视频，给出数学模型，估计出直杆的高度为2米。并给出若干个可能的拍摄地点。并且在拍摄日期未知的条件下，建立相关模型，确定出拍摄地点与日期。

二、模型假设

（1）假设收集数据的过程中天气良好，没有乌云或者其他遮挡物对太阳阴影的顶点坐标产生影响；

（2）假设直杆在数据记录的过程中一直处于直立状态，没有受到风吹导致直杆倾斜等影响；

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（3）假设太阳从日出到日落一直在进行匀速运动，转过的角度为180?，且经过的时间为12个小时；

（4）不考虑大气层的折射对太阳光照的影响。 （5）忽略对影长及其他数据测量时造成的测量误差。

（6）坐标系以直杆底端为原点O，水平地面为xOy面，Z轴垂直于xOy面，x轴，y轴，z轴满足右手法则。

三、名词解释与符号说明

根据球面天文学的原理[1]，本文可以用到以下名词：

（1）太阳高度角?：通俗地讲，就是太阳光的入射方向和地平面之间所形成的夹角；而从专业的角度来说，则指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角，如图1中的?AOB。

（2）太阳时角?：指的是日面中心的时角，换言之就是从观测点天球子午圈沿天赤道量至太阳所在时圈的角距离。

t（3）真太阳时s：太阳视圆面中心连续两次上中天的时间间隔叫做真太阳日。一

个真太阳日又分为24真太阳时.这个时间系统称为真太阳时。

（4）赤纬角?：赤纬角又称为太阳赤纬，它是指地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角，如图1中的?AOC。 本文还会用到如下的符号：

?：当地纬度，如图1中的?ZOQ；

h：直杆的高度； L：太阳影子的长度；

?：直杆的顶点与其太阳影子顶点的夹角；

?：太阳转过的角度；

利用软件soildworks建立相应的三维模型，则几个变量之间相对应的关系[1]如下图1：

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图1 球体?、?、?、?的关系图

四、问题分析

对于问题一，需要我们建立出影子长度的变化曲线，经资料差知，北京所对应的时区为东八区。由于当地经度与东八区的经度有所不同，因此首先我们要计算出当地时间与北京时间的误差，根据经度差与时间差的关系，即一个经度相差的时间为4分钟，从而计算出当地的真太阳时。之后再联立太阳时角、赤纬角、太阳高度角的计算方程式即可求各个时刻太阳影子的长度，从而得到太阳影子长度的变化曲线。

对于问题二，我们考虑到在短时间内，太阳影子顶点坐标的变化量不会很大，因此我们可以将所有的太阳影子顶点坐标做拟合，挑选出最优的两个顶点坐标，设定直杆的高度为未知条件，由于在一定时间内太阳所转过的夹角是固定的，则可以建立出相关的方程组求解出直杆的高度。之后再将影子的长度进行拟合，求解出函数达到最低点时影子的长度，从而求得直杆在太阳的照射下影子最短时的时刻。根据问题一中的方程组求解出当地的经纬度，从而确定当地的位置。

对于问题三，由于记录太阳影子坐标的日期未知，所以我们没有办法求解出当地的赤纬角，于是我们根据第二问可以考虑到太阳影子的终点坐标近似于椭圆的形状，于是我们可以将附件中太阳影子的坐标用圆锥曲线（椭圆）进行拟合，由椭圆圆心与直杆所在位置的关系及椭圆长、短轴之间的关系我们可以确定出当地的纬度及数据记录的时间。又由于椭圆上的点到原点的最短距离即为直杆影子长度最短的时刻，因此我们可以根据椭圆上的点到原点的最短距离求解出当地的经度，从而确定当地的位置。

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对于问题四，题目中给出了直杆的高度，因此我们可以根据太阳影子的长度与视频中直杆的比例确定出影子的长度。由于所给视频的时间较长，我们可以将它分割成为各个帧数，并且设定一段时间来取出一个图像，从而来对这些图像进行灰度处理，从而确太阳影子顶点，杆底及杆顶所处的坐标，从而计算出影子的长度。之后我们可以根据问题二中的模型确定出当地的经纬度，从而得出所在地的位置。

五、模型的建立与求解

5.1 太阳影子长度的变化模型

该问题要求我们建立影子长度变化的数学模型，并通过进一步分析影子长度关于各个参数的变化规律从而得出直杆的太阳影子长度的变化曲线。我们用caxa软件建立太阳光照射过程中直杆与其影长的关系如下图2[2]。其中，赤道与太阳光直射点与地球中心的夹角为23?26'，我们为了计算简单，近似为23.5?，直杆的高度为L，太阳光照射直杆投影的影长为h。

图2 太阳光直射过程中直杆与其影子的示意图

5.1.1 建立影子长度变化的数学模型

首先根据问题分析找出影响影子长度变化的相关参数，根据影子长度与杆长的几何关系，通过一定的数学公式建立起数学模型。步骤如下：

设太阳的时角为?，距离2015年1月1日的天数为n，当地时间（真太阳时）为ts，则：

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fgb2.html