简谐运动的几个问题

学 科 年 级

物理 高二

版 本 编稿老师

人教版 马慧

期 数 7807 审稿教师

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

有关简谐运动的几个问题（一）

（一）学习简谐运动重点应掌握的几个概念：

对简谐运动的学习，重点应搞清以下几个概念：

1. 平衡位置：指物体做简谐运动的中心位置，亦是物体不振时，相对静止的位置，如： 图1弹簧振子的装置中，振子不振时，应处在O1点，从O1点拉开后释放，振子将以O

1图2球将以O2图3球将以O3图4

T方向（切线方向）和垂直摆动方向（法线方向）分解为两个分力G切和G法，G切即为回复力F回，而FT G法恰为摆球的向心力F心，而摆球的合外力应为F回和F心的合力。 振子在平衡位置时，回复力一定为零，但合外力不一定为零。如图5中，当摆球摆至平衡位置时，受两个力作用：重力G和绳的拉力FT ，切线方向上不受力，即F回 0，而法线方向上：FT G F心

mvR

2

。

图5

4. 简谐运动：指物体在与偏离平衡位置的位移大小成正比并且总指向平衡位置的回复力作用下的振动。

要证明一个振动是简谐运动，需证明两点： （1）回复力与位移大小成正比； （2）回复力与位移方向相反。

（二）对简谐振动回复力的理解 1. 给回复力完整的定义

回复力是指振动物体所受的总是指向平衡位置的合外力。从此定义中让学生认识到： （1）回复力是合外力，不单纯是指某一个力。它是根据力的作用效果命名的，类似于向心力。

（2）回复力的方向是“指向平衡位置”。做简谐振动的单摆，受重力和绳的拉力作用，绳的拉力和重力的法向分力的合力提供圆周运动的向心力；指向平衡位置的合外力是重力

的切向分力，它提供了单摆振动的回复力。 2. 加强对回复力公式的理解和应用 简谐振动的回复力公式为F kx。

（1）式中“－”号表示回复力的方向与物体对平衡位置的位移方向相反，亦即指向平衡位置。计算时为避免发生错误，将“－”号省去，直接判断回复力的方向。

（2）式中k是指回复力与位移成正比的比例系数，不能与弹簧的劲度系数相混淆。单摆的振动中F mgsin ，若 5，有sin

xl

，则F mg

xl

，即k

mgl

。一般而

言，弹簧振子的振动中k表示弹簧的劲度系数，但也不能一概而论。

[例1] 一个竖直弹簧连着一个质量为M的薄板，板上放一木块，木块质量为m。现使整个装置在竖直方向做简谐振动，振幅为A。若要求在整个过程中小木块m都不脱离木板，则弹簧的劲度系数k应不小于多少？

分析：m随M一起做简谐振动，以m为研究对象，提供其做简谐振动的回复力是m的重力和M对m的支持力的合力。当支持力为零时，m获得向下的最大回复力mg，即获得向下的最大加速度g。

若以整体为研究对象，根据牛顿第二定律F (M m)a (M m)g 根据回复力公式F kA，以上两式相等得k

(M m)g

A

A

，若以m为研究对象，由牛

顿第二定律F ma mg，由回复力公式F kA，则k

mg

后一种答案是错误的。问题出在哪里？以m为研究对象时，其回复力公式中的比例系数k不再是弹簧的劲度系数。

我们不妨推导一下，由牛顿第二定律F ma，从整体出发有a

F m

kxM m

kxM m

代入上式得

，即此时的比例系数应为m

kM m

MkM m

同理，若以M为研究对象，不难得出其回复力公式中的比例系数为。

所以，我们要充分认识回复力公式中k值的意义。

（3）式中x是指振子对平衡位置的位移，不是弹簧的伸长量或压缩量。因而即使是对弹簧振子也不能把kx理解为弹簧的弹力。

[例2] 一倔强系数为k的轻弹簧，上端固定，下端吊一质量为m的物体，让其上下做简谐振动，振幅为A，当物体运动到最高点时，其回复力大小为（ ）

A. mg kA B. mg kA C. kA mg D. kA 如果弹簧振子是在水平方向做简谐振动，所有同学会很快选择答案D，但遇到竖直方向的弹簧振子，大部分同学认为必须要考虑竖直方向的重力，因而会把D答案排除。问题的关键是学生错把kA当作弹力，而再去求它和重力的合力。

（三）巧用简谐振动的特征解题

做简谐振动的物体，在运动中有许多重要的特征：周期性、双向性、对称性和守恒性。深刻理解并灵活运用这些重要特征，可巧解简谐振动问题。 1. 周期性

[例1] 一弹簧振子做简谐振动，周期为T。下列说法正确的是（ ）

A. 若t时刻和(t t)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则 t一定等于T的

整数倍；

B. 若t时刻和(t t)时刻运动速度的大小相等、方向相反，则 t一定等于倍；

C. 若 t T，则在t时刻和(t t)时刻振子运动的加速度一定相等；

D. 若 t

T2

T2

的整数

，则在t时刻和(t t)时刻弹簧的长度一定相等。

解析：画出振动的位移时间图象如图1所示，两虚线与图象的交点处对应的时间的位移大小都相等。设t1、t2的时间间隔为 t，则t1、t2时刻的位移大小相等、方向相同，但

t1、t2的时间间隔 t不等于T的整数倍，所以A不正确。同理，t1、t2时刻振子运动速度

的大小相等、方向相反，但 t小于

T2

，也不等于

T2

的整数倍，所以B不正确。若 t T，

T2

如图中的t1、t3两个时刻，根据简谐运动的周期性、重复性可判断C正确。而 t

，即

相差半个周期，弹簧在这两个时刻可能分别处于伸长状态和压缩状态，故弹簧的长度一定相等是错误的，所以D不正确。

图1

2. 双向性

做简谐振动的物体，以平衡位置为中心来回往复运动，具有双向性的特点。忽视这一特点往往容易造成漏解。

[例2] 一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3s质点第一次经过M点，再继续运动，又经过2s它第二次经过M点，则该质点第三次经过M点还需的时间是（ ）

A. 8s B. 4s C. 14s D.

103s

解析：画出质点振动过程的示意图如图2，设图中a、b两点为质点振动过程的最大位移处。若开始计时时刻质点从O点向右运动，O M运动过程历时3s，M b M过程历时2s，则由对称性可知M b历时1s，显然

T4

4s，故T 16s，质点第三次经过

M点还需时间 t3 T 2s 14s。故选项C正确。

图2

若开始时质点从O点向左运动，O a O M运动过程历时3s，M b M过程历时2s，显然有

t3 T 2s

103

T2 T4

4s，T

163

s，质点第三次经过M点还需要时间

s。故选项D正确。

3. 对称性

做简谐振动的物体，在通过以平衡位置为中心两侧相对称的某两点时，质点的回复力、位移、加速度大小相等，方向相反；速率、动能、机械能相等。

[例3] 如图3所示，质量为m和M的两木块由轻弹簧相连接，置于水平桌面上，试分析：在m上加多大压力F，才能在F撤去后，上板弹起时刚好使下板对桌面的压力为零？

图3

解析：撤去外力F后，m将在回复力的作用下做简谐振动，依题意当m运动到最上端时，下板对桌面恰好无压力，故此时回复力为(m M)g，由对称性可知，当m在最下端时，回复力大小也为(m M)g，故所施外力大小为(m M)g。

4. 守恒性

[例4] 如图4所示，在光滑的水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，振子的质量为M，振子最大速度为v0，当振子运动到最大位移A的时刻，把质量为m的物体轻放其上，则（ ）

（1）要保持物体和振子一起运动，二者间的动摩擦因数至少多大？ （2）一起振动时，二者过平衡位置时的速度多大？振幅多大？

图4

解析：（1）放物体前振动系统的最大回复力为F kA，放上物体m后，二者一起振动的最大加速度为a

FM m

kAM m

对物体m而言，所需要的回复力是M施于它的静摩擦力，则放上物体m时加速度最大，所需的静摩擦力亦最大。设最大静摩擦力大小为 mg，则当满足 mg ma时，两者可一起振动，可见二者间动摩擦因数的最小值为

ag

kA(M m)g

。

（2）当二者一起振动时，机械能守恒，过平衡位置时，弹簧恢复原长，弹性势能为零，则

12

(M m)v

2

12

Mv0，解得v v0

2

MM m

。

（四）机械振动知识在实际问题中的应用 1. 测凹透镜的凹面半径

[例1] 如图1所示，为了测一凹透镜的凹面半径R，让一半径为r的光滑钢球在凹面内做振幅很小的振动，若测出它完成N次全振动的时间为t，则此凹透镜的凹面半径R ____。（重力加速度为g）

图1

解析：小球的运动情况和受力情况与单摆很相似，并且R r，摆角 5，满足单摆周期公式的使用条件，其运动可看成类单摆运动，可用单摆知识处理，其等效摆长为l R r，其振动周期为T

tN

，由单摆的周期公式T 2

gt

22

2

lg

，

得R r

gT4

22

gt

2

2

2

4 N

，有R

4 N

r。

2. 了解汽车、火车振动系统的固有频率

[例2] 支持列车车厢的弹簧固有频率为2Hz，若列车行驶在每根长为12.5m的钢轨连成的铁道上，则当列车运行速度多大时，车厢振动的剧烈程度最大？

解析：列车运行时，车轮每通过相邻的两根铁轨的连接处时，就会受到一次撞击，所以车厢和弹簧构成的振动系统就在这个周期性变化的撞击力——驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的周期为

1v

，故由共振条件可知，当驱动力的频率f驱

vl

f固 2Hz时，列

车车厢发生共振，解得v 25m/s。当火车以这一速度行驶时车厢振动最剧烈，对车的破坏性最大，为了延长车的使用寿命，火车行驶时应远离这一速度。

[例3] 卡车在水平道路上行驶，货物随车厢底板上下振动而不脱离底板。设货物的振动为简谐运动，以向上的位移为正，其振动图象如图2所示，在图象中取a、b、c、d四点，则下列说法中正确的是（ ）

A. a点对应的时刻，货物对车厢底板的压力最小 B. b点对应的时刻，货物对车厢底板的压力最大 C. c点对应的时刻，货物对车厢底板的压力最大

D. d点对应的时刻，货物对车厢底板的压力等于货物重力

图2

解析：重力与车厢底板的支持力的合力充当货物振动的回复力，在a点对应时刻，位移为正向最大，则加速度为负向最大。根据牛顿第二定律有mg FN mam，所以

FN最小，在b、d时刻，位移为零，则加速度为零，应有压FN mg mam，压力FN

FN mg。在c点对应时刻，位移为负向最大，则加速度为正向最大，有力FN

FN最大。 FN mg mam，所以FN mg mam，压力FN

答案：ACD

3. 与人体有关的振动

[例4] 人体在水平方向的固有频率约为3～6Hz，在竖直方向的固有频率约为4~8Hz，有

关部门作出规定：拖拉机、风镐、风铲、铆钉机等各类振动机械的工作频率必须大于20Hz，其中原因是（ ）

A. 可以使这些机械工作效率更高； B. 可以使这些机械工作时更节约能源；

C. 可以防止操作工人人体发生共振而损害健康； D. 以上说法都不正确。

解析：拖拉机、风镐、风铲、铆钉机多是人们常见的机械，振动机械工作时对施工工人有固有周期性驱动力，为防止共振，应使振动机械的工作频率远离人的固有频率，故答案为C。

[例5] 已知心电图仪的出纸速度（纸带移动的速度）是2.5cm/s，如图2所示是用此仪器记录下的某人的心电图（图中每个方格的边长为0.5cm）

（1）由图可知此人的心率为_____ 次／分，他的心脏每跳一次所需时间是_____s。

（2）如果人的心脏每一次大约输送8 10

4

5

m的血液，正常人血压（可看作心脏压送

3

血液的压强）的平均值为1.5 10Pa，若某人心跳每分钟70次，据此估测心脏工作的平均功率为 W。

图1

解析：

（1）图中相邻峰值间的距离s 4.0 0.5cm 2.0cm，从而此人的心率

f

vs

2.5 602.0

=75次/分，心脏每跳动一次所用时间t

1sf

6075

s 0.8s。

（2）把每一次输送的血液简化成一个圆柱体模型，输送位移为该圆柱体的高，设血管的横截面积为S，血压为p，则压力F pS，每送一次位移为L，由功率的定义可得P

FL t

PSL t

p V t

1.5 10 8 10

6070

4

5

Wt

1.4W。

小结：本题是物理和生物、数学的综合测试题，结合综合能力测试要求，有关环保和人类生存条件的考察成为近年来高考热点之一。解决本题的关键在于将实际问题物理模型化，这也是学好物理的重要方法，可设想心脏在输送血液时，类似于圆形气缸中气体膨胀推动活塞对外做功的模型，问题就迎刃而解了。 4. 用单摆测山的高度

[例6] 有几个登山运动员登上一无名山峰，但不知此山峰的高度，他们想迅速估测出山峰的海拔高度，但是他们只带了一些细绳、小刀、卷尺，可当作秒表用的手表和一些食品，附近有碎石，树木等，其中一个人根据物理知识很快就测出了海拔高度。请写出测量方法，需记录的数据，推导出计算海拔高度的计算式。

解析：用细绳和小石块做成一单摆，用卷尺测出它的摆长l，利用秒表测出它的周期T，由此计算出山顶的重力加速度g

4 lT

22

。因为地面的重力加速度g0

GMR

2

，山顶的重力

加速度g

GM(R0 h)

2

，由以上两式可解得h

R0T2

g0l

R0（R0为地球的半径）

（五）与传感器相联系的振动问题

[例7] 将一个电动传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力，用这种方法测得的某单摆摆动时悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图2所示，某同学由此图线提供的信息做出了下列判断：

A. t 0.2s时摆球正经过最低点 B. t 1.1s时摆球正经过最低点 C. 摆球摆动过程中机械能减小 D. 摆球摆动的周期是T

1.4s

图2

解析：t 0.2s时，摆线拉力最大，达2.1N，可知此时摆球经过了最低点，但摆线拉力越来越小，说明摆球经过最低点的速度越来越小，即摆球在摆动过程中机械能在减小，摆动的周期为1.2s。

答案：AC

【模拟试题】

1. 做简谐振动的物体，如果在某两个时刻的位移相同，则物体在这两个时刻的（ ） A. 加速度相同 B. 速度相同 C. 动能相同 D. 动量相同

2. 一弹簧振子振动过程中的某段时间内其加速度数值越来越大，则在这段时间内（ ） ① 振子速度越来越大

② 振子正在向平衡位置运动

③ 振子的速度方向与加速度方向一致 ④ 以上说法都不正确

A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ④

3. 单摆在小角度摆动的情况下，为了增大其振动周期，可以采用的方法是（ ） A. 增大摆球的质量 B. 增大振动的振幅 C. 增加单摆的摆长 D. 把单摆移至高山上

4. 如图1所示，是某质点做简谐振动的图象，根据图象下列说法正确的是（ ） A. 图象是从平衡位置开始计时的

B. t 2s时，速度为 x方向，加速度最大 C. t 3s时，速度为零，加速度为负

D. t 5s时，速度为零，加速度为负

图1

5. 一个秒摆A的旁边，挂一个摆长为秒摆摆长

14

的B摆，如图2所示，两个摆球是相同

的弹性小球，互相接触，且位于同一水平线上。今把B球拉开一个不大的角度后释放，它在4s内可与A球发生碰撞的次数是（ ）

A. 2次 B. 3次 C. 4次 D. 5次

图2

6. 弹簧振子以O为平衡位置做简谐振动，从某次经过O点开始计时，振子第一次达到M占用了0.3s，又经过0.2s第二次通过M点。则振子第三次通过M点，还要经过的时间可能是（ ） A.

13

s B.

815

s C. 1.4s D. 1.6s

7. 如图3所示，是某质点P在0~4s内的振动图象，则下列叙述正确的是（ ） A. 再过1s，该质点的位移达到正向最大 B. 再过1s，该质点的速度沿x轴正向 C. 再过1s，该质点的加速度沿x轴正向 D. 再过1s，该质点的加速度最大

图3

8. 两单摆在相同的时间内，甲振动30次，乙振动60次，它们的周期分别是T1和T2，频率分别是f1和f2，则（ ）

A. T1:T2 1:2f1:f2 2:1 B. T1:T2 1:2f1:f2 1:2 C. T1:T2 2:1f1:f2 2:1 D. T1:T2 2:1f1:f2 1:2

9. 一个弹簧振子做简谐振动的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 当弹簧振子的动能为零时，加速度也为零

B. 当弹簧振子过平衡位置时，加速度方向发生变化 C. 回复力最大时，振子的动能为零

D. 回复力最大时，振子的机械能也最大 10. 受迫振动是在周期性驱动力作用下的振动，关于它的驱动力与振动的关系，下列说法正确的是（ ）

A. 做受迫振动的物体达到稳定后，其振动的频率一定等于驱动力的频率 B. 做受迫振动的物体达到稳定后，周期一定等于驱动力的周期 C. 做受迫振动的物体达到稳定后，振幅与驱动力的周期无关 D. 做受迫振动的物体达到稳定后，振幅与驱动力的大小无关

11. 如图4所示，一向右运动的车厢顶上悬挂着两个单摆M和N，它们只能在图示平面内摆动，某一时刻出现图示情景，由此可知车厢的运动及两单摆相对车厢运动的可能情况是（ ）

A. 车厢做匀速直线运动，M摆动，N静止 B. 车厢做匀速直线运动，M摆动，N也摆动 C. 车厢做匀速直线运动，M静止，N在摆动 D. 车厢做匀加速直线运动，M静止，N也静止

图4

12. 在“用单摆测定重力加速度”的实验中，若测得的g值比当地的标准值偏小，可能是因为（ ）

A. 摆球的质量偏大 B. 摆球的摆角偏小

C. 计算摆长时，把悬线长l 当作了摆长l

D. 测量周期时，将n次全振动误记成了(n 1)次。

13. 从图5给出的振动图象可知，前4s内，这个振动物体在s末负方向速度最大，在 s末正方向加速度最大。

图5

14. 一质点在一直线上做简谐振动，先后以相同的动量依次通过A、B两点，历时1s钟，过B点后，再经1s钟又第二次通过B点，在这2s钟内，质点的总路程为12cm，则质点振动的周期为 s，振幅为 cm。

15. 如图6，一单摆的摆长为L，摆线系在与水平面成 角的光滑斜面上，让其在斜面方向做小角度的振动，则其振动的周期 。

图6

16. 已知月球的重力加速度是地球上重力加速度的0.16倍，在地球上的秒摆，放在月球上，其周期是 s。

17. 如图7所示为一水平弹簧振子的振动图象，如果振子质量为0.2kg，t 0时振子的速度为2m/s，求：

（1）从开始计时，经过 s第一次达到弹性势能最大，最大弹性势能为 J。 （2）t 0.5s时的机械能为 J，t s时刻，弹性势能与t 0.5s时的弹性势能相等。

图7

18. 在测量重力加速度的实验中，某同学用一个细线和一均匀小球制成单摆，她已经测得此单摆20个周期的时间为t，从悬点到小球顶端的线长为L，还需要测量的物理量为 ，将g用测得的量表示，可得g 。

19. 光滑水平面上的弹簧振子，质量为50g，若在弹簧振子被拉到最大位移处时开始计时，在t 0.2s时，振子第一次通过平衡位置，此时速度为4m/s，问：

（1）该弹簧振子做简谐振动时，其动能的变化频率为多大？ （2）在t 1.2s末，弹簧的弹性势能为多大？

20. 如图8所示，在O点悬有一细绳，细绳穿过球B的通过直径的小孔，使B球能顺着绳子滑下来，在O点的正下方有一半径为R的光滑圆弧形轨道，圆心位置恰好在O点。在弧形轨道上接近O 处有另一小球A，若将A、B两球同时无初速释放，假设A球第一次到达平衡位置O 时正好能够和B球相遇，则B球与绳之间的摩擦力与B球的重力之比是多

2

少？（计算时 取10，g取10m/s）

2

图8

【试题答案】

1. AC 2. D 3. CD 4. AD 5. D 6. C 7. AD 8. D 9. BC 10. AB 11. AB 12. C 13. 1，2 14. 4，6 15. 2 17.

（1）1，0.4

（2）0.4，n 0.5（n 0，1，2，3， ） 18. 小球直径d，g

800 (2L d)

t

22

Lgsin

16. 5

19. 解：

（1）弹簧振子的振动周期为T 4t 0.8s 频率为f

Hz 1.25Hz 0.8

动能的变化频率f 2f 2.5Hz

T 1

1

（2）因t 1.2s 1.5T，故在1.2s末，振子将运动到负的最大位移处，此时弹簧性势能最大，且等于最大动能，故Ep

12mv

2

12

50 10

3

4J 0.4J

2Ra

2

20. 设B下滑的加速度为a，下滑到O 的时间为tB，则tB A球第一次运动到O 的时间为tA 则tA

14 2

Rg

2

Rg

2

由题给条件知tA tB

将以上三式可得a 8m/s

对B，由牛顿第二定律得mg Ff ma 可得Ff 2m 故

Ffmg

2m10m

15

【励志故事】

乘热而入

一位叫帕特的美国推销员，经过很长时间的推销动作，终于就一套可供一座高层办公大楼使用的空调系统，与买方达成了买卖意向书，面临的最后一关需要买方董事会的同意。帕特一出场，几位董事就提出了一连串尖锐的问题。

帕特急中生智，说：“今天天气酷热，请允许我脱掉外衣。”董事们仿佛也受到感召似地纷纷脱去外衣，有的董事甚至抱怨：“这里怎么没空调，闷死人了！”恰逢此时，帕特才开始介绍他的空调系统，生意立马拍板成交。

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有关简谐运动的几个问题(一) 马慧

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