牛顿柯特斯求积公式

牛顿柯特斯求积公式

§4.2 数值积分 §4.2.1 数值求积的基本思想对于积分

I ( f ) = ∫ f ( x )dxa

b

如果知道f ( x )的原函数F ( x ), 则由Newton Leibniz公式有

∫

b

a

f ( x )dx = F ( x ) a = F (b ) F ( a )b

但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:

2011-1-9

牛顿柯特斯求积公式

(1) f ( x )的解析式根本不存在, 只给出了f ( x )的一些数值(2 ) f ( x )的原函数 F ( x )求不出来 , 如 F ( x )不是初等函数I1 =I2 =

∫

λ

0n

exp( α 2 )dαexp( a 2

∫

ξ24a2

)da

0

(3) f ( x)的表达式结构复杂,求原函数较困难以上这些现象,牛顿-莱布尼兹很难发挥作用 只能建立积分的近似计算方法2011-1-9 2

牛顿柯特斯求积公式

对于I ( f ) =

∫ f ( x )dx ,若a

b

f (x) >0 则I对应于曲边梯形的面积。

ξ ∈ [a, b]

∫

b

a

f ( x)dx = (b a ) f (ξ )

2011-1-9

牛顿柯特斯求积公式

如果我们用两端点“高度” ) 与 f (a 的近似值，这样导出的求积公式

f (b) 的算术平均作为平均高度 f (ξ)

b a T = [ f ( a ) + f (b ) ] 2这就是我们熟悉的梯形公式

a+b 如果改用区间中点 c = 的“高度” ) 近似地取代平均 f (c 2高度

f (ξ)

,则又可以导出所谓中矩公式(简称矩形公式)

a+b R = (b a) f ( ) 22011-1-9 4

牛顿柯特斯求积公式

从积分定义的分析中可看出：积分是和式的极限

∫

b

a

f ( x ) dx = lim

n→ ∞

∑

n

f (ξ k ) x kyf (x)

k =1

其几何意义是曲边梯形的面积。 求积分的基本方法是四步： ①分割：把曲边梯形分成若干小曲边梯形；O

②近似：用矩形面积近似小曲边梯形； ③求和：把分量加起来得到总近似值； ④取极限：求得积分的准确值。

a x1 x2

b

x

数值积分的基本思想：求解前三步， 数值积分的基本思想：求解前三步，得到积分的近似值2011-1-9 5

牛顿柯特斯求积公式

∫式中

b

a

f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk )k =0

n

-----(1)

xk 称为求积结点 Ak 求积结点； 求积结点

称为求积系数 求积系数，亦称伴随结点 求积系数

xk

的权。这类数值积分方法通常称为机械求积 权 机械求积。 机械求积

为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计 算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立。2011-1-9 6

牛顿柯特斯求积公式

§4.2.2 代数精度的概念定义1. 若求积公式

I ( f ) = ∫ f ( x) dx ≈ ∑ Ak f ( xk ) = I n ( f )b ak =0

n

对任意次数不超过m次的代数多项式Pi ( x )(i ≤ m)都准确成立 ,即

∫ P ( x)dx = ∑ A P ( x )a ik =0 k i k

b

n

i = 0 ,1 , L , m

但对m + 1次多项式却不能准确成 立 ,即只要

∫2011-1-9

b

a

m+1 x m + 1 dx ≠ ∑ Ak xk k =0

n

则称该求积公式具有m次的代数精度

代数精度也称 代数精确度7

牛顿柯特斯求积公式

不难验证，梯形公式和矩形公式均具有一次代数精度。 一般的要使机械求积公式具有m次代数精度，只要令它对于

f ( x) = 1, x, L x m

都能准确成立，这

就要求

∫

b

f ( x)dx

a

∑ Ak = b a 1 2 Ak xk = (b a 2 ) ∑ 2 LLLLLL A x m = 1 (b m +1 a m +1 ) ∑ k k m + 1

2011-1-9

牛顿柯特斯求积公式

写成一般形式

∑i =0

n

Ai xik

1 = (b k +1 a k +1 ) k +1k = 0,1,2,L, m

-----(2)

(2)式由m + 1个方程组成，包含n + 1个节点xi以及n + 1个待定的求积 系数Ai。若事先选定xi,求(2)式可确定Ai,从而使求积公式(1)至少 具有n次代数精确度。如果适当选择xi 及Ai,求解(2)式可能使求积 公式(1)式具有2n + 1次代数精确度。由此可知，构造数值求积公式 实际上是求xi 与Ai的代数问题。

2011-1-9

牛顿柯特斯求积公式

例：

2011-1-9

牛顿柯特斯求积公式

2011-1-9

牛顿柯特斯求积公式

§4.2.3 插值型的求积公式积分数值计算的方法很多,但为方便起见,最常用的一种 方法是利用插值多项式来构造数值求积公式 具体步骤如下:

在积分区间[ a , b ]上取一组节点

a ≤ x0 < x1 < L < xn ≤ b且已知函数 f (x ) 在这些节点上的值，作插值函数 Ln (x) 由于代数多项式 Ln (x) 的原函数是容易求出的，我们取

I n = ∫ Ln ( x) dxa2011-1-9 12

b

牛顿柯特斯求积公式

作为积分 I = 求积公式

∫

b

a

f ( x ) dx 的近似值，这样构造出来的

In =

∑Ak =0

n

k

f ( xk )

称为是插值型的，式中求积系数 Ak 通过插值基函数 lk (x) 积分得出

Ak =

∫

b

a

l k ( x ) dx

2011-1-9

牛顿柯特斯求积公式

由插值余项定理即知，对于插值型的求积公式，其余项

R[ f ]= I In =

∫

b

a

f ( n + 1 ) (ξ ) ω ( x ) dx ( n + 1)!

式中 ξ 与变量

x 有关.

由插值型的求积公式的余项可推得 定理1 形如 I n = ∑ Ak f ( xk ) 的求积公式至少有n次代数精度k =0 n

的充分必要条件是，它是插值型的.2011-1-9 14

牛顿柯特斯求积公式

§4.2.4 求积公式的收敛性与稳定性定义2 在机械求积公式中，若

lim其中

n→∞ k =0 h→ 0

∑A

n

k

f ( xk ) =

∫

b

a

f ( x ) dx

h = max ( xi xi 1 ) ,则称此求积公式是收敛 收敛的 收敛1≤i ≤ n

定理2

若求积公式 ∫a f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk ) 中系数b k =0

n

Ak > 0 (k = 0,1, L, n)则此求积公式是稳定 稳定的. 稳定2011-1-9 15

牛顿柯特斯求积公式

思考: 思考I( f ) = ∫

试确定下面积分公式中的参数使其代数精确 度尽量高h

0

h f ( x)dx ≈ [ f (0) + f (h)] + ah 2 [ f ′(0) f ′(h)] = I1 ( f ) 2

2011-1-9

牛顿柯特斯求积公式

§4.3 等距节点求积公式 §4.3.1 柯特斯系数牛顿-柯特斯公式是指等距节点 等距节点下使用拉格朗日插值 等距节点 多项式建立的数值求积公式将积分区间[ a , b ]分割为n等份

各节点为

xk = a + kh , k = 0 ,1,L , nb a 其中h = 为步长 n

2011-1-9

牛顿柯特斯求积公式

设函数f ( x ) ∈ C[ a , b ]f ( x )的Lagrange插值多项式及余项分别为

Ln ( x ) = ∑ f ( xk )lk ( x )k =0

n

f ( n + 1 ) (ξ ) Rn ( x ) = ω n + 1 ( x) ( n + 1)!

其中 lk ( x ) =

0 ≤ j ≤ n xk x j j≠k

∏

x xj

ξ ∈ [ a , b ] ω n + 1 ( x ) = ∏

( x xi )i =0

n

而

f ( x ) = Ln ( x ) + Rn ( x )

因此对于定积分2011-1-9

I ( f ) = ∫ f ( x )dxa18

b

牛顿柯特斯求积公式

有

I ( f ) = ∫ f ( x )dxa

b

= ∫ [ Ln ( x ) + Rn ( x )]dxa

b

=∫

b n

an

∑ f ( x )l ( x)dx + ∫ R ( x)dxb k =0 k k a nb

= ∑ Ak f ( xk ) + ∫a Rn ( x )dxk =0

x xj dx 其中 Ak = ∫ lk ( x )dx = ∫a ∏ a 0 ≤ j ≤ n xk x jbb j≠k

Ak 称为求积公式系数2011-1-9 19

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fg6i.html