2015年全国高中数学联合竞赛一式参考答案及平分标准

2015年全国高中数学联合竞赛一试

一．填空题：本大题共8小题，没小题8分，满分64分。

1.设a、b为不相等的实数，若二次函数f(x)?x?ax?b满足f(a)?f(b)，则f(2)的值为

2.若实数?满足cos??tan?，则

21?cos4?的值为 sin?3.已知复数数列?zn?满足z1?1,zn?1?zn?1?ni(n?1,2,???)，其中i为虚数单位，zn表示zn的共轭复数，则z2015的值为

4.在矩形ABCD中，AB?2,AD?1,边DC上（包含D、C）的动点P与CB延长线上（包含点B）的动点Q满足DP?BQ，则向量PA与向量PQ的数量积PA?PQ的最小值为 5.在正方体中随机取3条棱，他们两两异面的概率为

6.在平面直角坐标系xOy中，点集K?(x,y)(x?3y?6)(3x?y?6)?0所对应的平面区域的面积为

7.设w是正实数，若存在a,b(??a?b?2?)，使得sinwa?sinwb?2，则w的取值范围是

8.对四位数abcd(1?a?9,0?b,c,d?9)，若a?b,b?c,c?d，则称abcd为P类数；若

??a?b,b?c,c?d则称abcd为Q类数.用N(P),N(Q)分别表示P类数和Q类数的个数，

则N(P)?N(Q)的值为

二．解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.（本小题满分16分）若实数a,b,c满足2?4?2,4?2?4，求c的最小值。 10.（本小题满分20分）设a1,a2,a3,a4是4个有理数，使得

abcabc?aai31???1?i?j?4??24,?2,?,?,1,3? ?j28??求a1?a2?a3?a4的值。

x2?y2?1的左、11.（本小题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，F1,F2分别是椭圆2右焦.设不经过焦点F1的直线l与椭圆交于两个不同点A,B,焦点F2到直线l的距离为d。如

果直线AF1,l,BF1的斜率依次成等差数列，求d的取值范围。

2015年全国高中数学联合竞赛加试

一、（本小题满分40分）设a1,a2,???,an(n?2)是实数，证明：可以选取?1,?2,???,?n???1,1?，使得：

(?ai)?(??iai)?(n?1)(?ai2)

22i?1i?1i?1nnn二、（本小题满分40分）设S??A1,A2,???,An?,其中A1,A2,???,An是n个互不相同的有限集合（n?2），满足对任意Ai,Aj?S，均有Ai?Aj?S.若k?minAi?2.证明：存在

1?i?nx?UnAi，使得x属于A1,A2,???,An中的至少

i?1n个集合（这里X表示有限集合X的元素个k数）。 三、（本小题满分50分）

如图，?ABC内接于圆O，P为弧BC上一点，点K在线段AP上，使得BK平分?ABC.过K,P,C三点的圆?与边AC交于点D，连接BD交圆?于点E，连接PE并延长与边AB交与点F.证明：?ABC?2?FCB

四、（本小题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k：对任意正整数n，2除

(k?1)n?1不整

(kn)! n!

2015年全国高中数学联合竞赛一试参考答案及评分标准

说明：

1.评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分；其他各题的评阅，请严格按照本标准评分档次给给分，不要增加其他中间档次。

如果考生的解答和本解答的不同，只要给合理的思路、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9题4分为一个档次.第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次.

一、填空题：本大题共8小题，没小题8分，满分64分。 1. 答案：4

【解答】由已知条件及二次函数图像的对称性，可得：

a?ba??，及2a?b?0.所以 22f(2)?4?2a?b?4

2. 答案：2

【解答】由条件可知cos2??sin?，反复利用此结论，并注意到cos2??sin2??1，得

1cos2??sin2?4?cos???sin2?sin?sin?(1?sin?)?(1?cos2?)?2?sin??cos2??2

3. 答案：2015?1007i

【解答】由已知，对一切正整数n，有

=

zn?2?zn?1?1?(n?1)i?zn?1?ni?1?(n?1)i?zn?2?i

于是z2015?z1?1007?(2?i)?2015?1007i 4. 答案：

3 4【解答】不妨设A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，设P的坐标为(t,1)（其中0?t?2），则由

DP?BQ得点Q的作标为（2，-t），故PA?(?t,?1)，PQ?(2?t,?t?1)，因此

133PA?PQ?(?t)?(2?t)?(?1)(?t?1)?t2?t?1?(t?)2??

24413当t?时，(PA?PQ)max?

2425. 答案：

55【解答】设正方体为ABCD?EFGH,它共有12条棱，从中任意取出3条的方法共有

3C12?220种。

下面考虑三条棱两两异面的取法数.由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB、AD、AE的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB方向的棱，这有4种取法。不妨设取的棱就是AB，则AD方向只能取棱EH或者FG，共有2种可能.当AD方向取棱是EH或者FG时，AE方向取棱分别只能是CG或者DH。

由上可知，3条棱两两异面的取法数为4*2=8，故所求概率为

82 ?220556. 答案：24

【解答】设K1?(x,y)x?3y?6?0，先考虑K1在第一象限中的部分，此时有x?3y?6 故这些点对应于图中的?OCD及其内部.由对称性可知，K1对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD及其内部。

同理设K2?(x,y)3x?y?6?0，则K2对应的区域是图中O为中新的菱形EFGH及其内部.由点集K的定义可知 ，K所对应的平面区域是被K1,K2中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S

由于直线CD的方程为x?3y?6，直线GH的方程为3x?y?6，故他们的交点P的坐标为(,)，由对称性可知：

????332213S?8S?CPG?8??4??24.

2295137. 答案：w?[,]?[,??)

424【解答】由sinwa?sinwb?2可知，sinwa?sinwb?1，而[wa,wb]?[w?,2w?] 故题目条件等价于：存在整数k,l(k?l)，使得

w??2k???2?2l???2?2w? ①

当w?4时，区间[w?,2w?]的长度不小于4?，故必存在k,l满足 ①式。 当0?w?4时，注意到[w?,2w?]?(0,8?)，故仅需要考虑如下几种情况：

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