专题30 小题不小——比较大小-备战2022年高考数学之高三复习大一

专题30 小题不小----比较大小

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高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧.

（一）常用技巧和方法

1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：

判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为()0,1和()1,+∞

（1）如果底数和真数均在()0,1中，或者均在()1,+∞中，那么对数的值为正数

（2）如果底数和真数一个在()0,1中，一个在()1,+∞中，那么对数的值为负数

例如：30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等

2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了

3、比较大小的两个理念：

（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如：1

11342

3,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同 ()()()

1

1

1

11143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可 学#科￥网 （2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较

4、常用的指对数变换公式：

（1）n m m n a a ??= ???

（2）log log log a a a M N MN += log log log a a a M M N N -=

（3）()log log 0,1,0n a a N n N a a N =>≠>

（4）换底公式：log log log c a c b b a

= 进而有两个推论：1log log a b b a =

（令c b =） log log m n a a n N N m = （二）利用函数单调性比较大小

1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则

[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ?∈

2、导数运算法则：

（1）()()()()()()()'''f x g x f

x g x f x g x =+ （2）()()()()()()()'''2f x f x g x f x g x g x g x ??-= ???

3、常见描述单调性的形式

（1）导数形式：()()'0f x f x >?单调递增；()()'0f x f x

（2）定义形式：()()1212

0f x f x x x ->-或()()()12120x x f x f x -->????：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减

4、技巧与方法：

（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点

（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整

（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较

（三）数形结合比较大小

1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系

（1）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变

量距离轴越近，其函数值越小

（2）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大

2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.

【经典例题】

例1.【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（ ）

A ．2x<3y<5z

B ．5z<2x<3y

C ．3y<5z<2x

D ．3y<2x<5z

【答案】D

【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，在用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式和0与1的对数表示.

例2.【2017天津，文理】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，

(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）

（A ）a b c <<

（B ）c b a << （C ）b a c << （D ）b c a <<

【答案】C 【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >，

从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，

22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，

0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，

0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，

所以b a c <<，故选C ．

【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.

例3.已知,,a b c 均为正数，且11222

112log ,log ,log 22b c

a a

b

c ????=== ? ?????，则（ ） A. a b c << B. c b a << C. c a b << D. b a c <<

【答案】

A 【名师点睛】本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为12

log y x =的形式，而第三个等式也可变形为212

1log log 2c

c c ??-=-= ???，从而可以考虑视,,a b c 分别为两个函数的交点.先作出12log y x =图象，再在这个坐标系中作出112,,22x x x y y y ????===- ? ?????，比较交点的位置即可. 例4.【2018届山东、湖北部分重点中学冲刺模拟（三）】已知，,,则的大小

关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：借助于中间值1和0，利用各实数的范围可比较大小.学#科&网 详解：，,，

∴，故选D. 点睛：比较大小常用的方法有：

（1）作差法（作商法）；

（2）利用函数单调性比较大小；

（3）借助中间变量比较大小.

例5.【2018年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟】函数，若，，

，则有（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】分析：首先分离常数得出，可判断出在上单调递减，且时，，

时，，从而判断出，再根据在上减函数，判断出的大小关系，从而最后得出大小关系.

且，，

在上单调递减，

，

即，故选D.

点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用

例6.【2018届天津市十二校二模】已知定义在上的函数，则三个数，，，则，，之间的大小关系是（）

A. B. C. D.

【答案】C

由指数函数的性质可得

,由可得

,所以，

根据函数的单调性可得，故选C.

例7．【2018届华大新高考联盟4月检测】已知为定义在上的偶函数，且，当时，

，记，则的大小关系为（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】分析：根据的周期性和单调性进行判断．学#科%网

详解：当时，，则在上是增函数，

故选D ．

例8.已知函数()2log 1y x =+，且0a b c >>>，则()()()

,,f a f b f c a b c

的大小关系是（ ） A.

()()()f a f b f c a

b c >

>

B.

()()()f c f b f a c b a

>

>

C.

()()()f b f a f c b

a

c

>>

D.

()()()f a f c f b a

c

b

>

>

【答案】B

【解析】思路：本题具备同构特点()()

2log 1f x x y x

x

+=

=

，但导数()()

2'

2

log 11ln 2

x

x x y x -++=

难于

分析()f x 单调性，故无法比较

()()()

,,f a f b f c a b c 的大小.换一个角度，可发现()f x 的图象可作，且()f x x

具备几何含义，即

()()00

f x f x x

x -=

-，即()()

,x f x 与原点连线的斜率.所以作出()f x 的图象，可

观察到图象上的点横坐标越大，与原点连线的斜率越小，所以由0a b c >>>可得：()()()f c f b f a c

b

a

>

>

答案：B

例9.【2018届内蒙古鄂伦春自治旗二模（420模拟）】已知函数

，设

，

，

，则（ ） A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】∵

∴

∴

∵当时，；当时，

∴当时，，；

当时；.

∴

故选D.

例10.【2018届安徽省六安市第一中学三模】设是函数的导数，且满足，

若、、是锐角三角形的三个内角，则（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】设则其导数

又由满足，

则有则函数在上为增函数，

若是锐角三角形，则有即即有或

故选：D．

【点睛】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，解题的关键是构造函数h（x）并分析其单调性．

【精选精练】

1.【2018届北京市海淀区二模】已知，则( )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】分析：取，利用排除法，逐一排除即可的结果.

详解：因为时， , , ,

所以可排除选项，故选D.学￥科@网

点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.

2．【2018届贵阳第一中学月考卷（七）】实数，，满足且，则下列关系式成立的是（）

A. B. C. D.

【答案】A

故选A ．

3.【2017年高考山东卷】若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A. ()21log 2a b a a b b +

<<+ B. ()21log 2a b a b a b

<+<+ C. ()21log 2a b a a b b +<+< D. ()21log 2a b a b a b +<+< 【答案】B

【解析】因为0a b >>，且1ab = ()1

2112log a b a a b a a b b b

+>+>+?+>+ ，所以选B.

4．【2018届广东省中山市第一中学高三第一次统测】实数0.2

a b c ===的大小关系正确

的是( )

A. a c b <<

B. a b c <<

C. b a c <<

D. b c a << 【答案】D

【解析】根据指数函数和对数函数的性质，知

0<， 01＜，1>，即01a <<， 0b <， 1c >，∴b a c <<，故选C.

5．【2018届福建省龙岩市4月检查】已知定义在上的偶函数对于上任意两个不相等实数和，

都满足

，若，则的大小关系为（ ） A.

B. C. D. 【答案】D

点睛：本题考查了函数值的比较大小，结合函数的奇偶性和函数的单调性进行合理转化是解答的关键，注重考查了学生分析维问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.

6．【2018届湖北省4月调研】已知 2.2 2.1 2.22.1, 2.2,log 2.1a b c ===，则( )

A. c b a <<

B. c a b <<

C. a b c <<

D. a c b <<

【答案】B

【解析】分析：设()ln x f x x =

，得()21l n x f x x -'=，利用导数研究其单调性可得,a b 的大小关系，又由1c <，即可得出结论.

详解：设()ln (0)x f x x x =>，则()2

1ln x f x x -'=， 可得函数()f x 在()0,e 内单调递增，所以()()2.1 2.2f f <，即

ln2.1ln2.22.1 2.2<， 可化为 2.2 2.12.1 2.2<，即1a b <<，又 2.2log 2.11c =<，

所以c a b <<，故选B.

点睛：本题考查了指数函数与对数函数基本性质的应用，利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性比较大小是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题.

7．【2018届浙江省嘉兴市4月模拟】已知

，，，，那么的大小关系

是（ ） A. B. C. D. 【答案】A

【解析】此题可采用特值法，∵

，故可取，此时，，，

即成立，故选A.

8.【2018年4月8日 每周一测】已知函数()f x 为偶函数，当0x >时， ()4x f x -=，设

()3log 0.2a f =， ()0.23b f -=， ()1.13c f =-，则( )

A. c a b >>

B. a b c >>

C. c b a >>

D. b a c >>

【答案】A

【解析】分析：先判断出()f x 在()0,+∞上为增函数，由奇偶性可得()1.13c f =- ()1.13f = ()()33log 0.2log 0.2,a f f ==-根据对数函数与指数函数的性质得到3log 0.2-、0.23-、 1.13的范围，可比较其大小，利用单调性可得结果.

由单调性可得()()()

1.10.233log 0.23f f b f -->>=， c a b ∴>>，故选A.

9．【2018届福建省闽侯第一中学高三上学期开学】记

则A,B,C 的大小关系是（ ）学！科网 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】

，即A>C ，

，即B

综合知A>C>B.

本题选择B 选项.

10．【2018届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知()sin 0,,sin ,4a απαα?

?∈= ??? ()sin cos ,b αα=

()cos sin c αα=，则( )

A. a b c <<

B. a c b <<

C. b a c <<

D. c a b <<

【答案】D

【解析】令0,4πα?

?∈ ???， 0sin α<<， cos sin αα>，令()()sin x f x α=在R 上单调递减，所以()sin sin αα>()cos sin αα,即a>c,又因为()sin g x x α=，在（0,1）上单调递增，所以()()sin sin sin cos αααα<,

即a

11.【2018届天津市9校联考】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时， ()21x f x =-，设1

ln a π=， 2

ln 5b e -=， 0.113c -??= ???，则（ ）

A. ()()()f a f b f c <<

B. ()()()f b f c f a <<

C. ()()()f b f a f c <<

D. ()()()f c f b f a <<

【答案】A

又1ln π2

>=，且()21x f x =-在[]0,1上单调递增， ∴()1ln π

2f f ??> ???

，即()() f a f b < 故选：A 点睛：点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．

12.【2018届重庆市巴蜀中学月考七】已知?)cos(x+ ?)+2cos (x+ ?)-

12 (|?|<3π),若f(0)= 12,a=f(π),b=f(11-12π），c=f （5324

π），则（ ） A. a【答案】B

【解析】 ()()()12212222cos x f x sin x ??++=++- ()()122222

x cos x ??=+++ 226sin x π???=++ ??

?． 由题意得()10262f sin π??

?=+= ???

53532242464b f sin πππ????==?+= ? ?????， ∴a b c <<．选B ．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ffxl.html