2018年北京大学物理学院612量子力学考研强化五套模拟题
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2018年北京大学物理学院612量子力学考研强化五套模拟题(一) (2)
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第 2 页,共 43 页 2018年北京大学物理学院612量子力学考研强化五套模拟题(一)
说明:根据本校该考试科目历年考研命题规律,结合出题侧重点和难度,精心整理编写。考研强化检测使用。共五套强化模拟题,均含有详细答案解析,考研强化复习必备精品资料。
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一、简答题
1. 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态?
【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时,波函数趋向零,称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态,则称该本征值是简并的,所对应的本征态即为简并态,本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号,若新波函数与原波函数相差一个负号,则称其为负宇称态。
2. 写出泡利矩阵。 【答案】
3. 什么样的状态是定态,其性质是什么?
【答案】定态是能量取确定值的状态,其性质:定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变
4. 何谓正常塞曼效应?何谓反常塞曼效应?何谓斯塔克效应?
【答案】在强磁场中,原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中,原子发出的
每条光谱线都分裂为条(偶数)的现象称为正常塞曼效应。原子置于外电场中,它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。
5.
写出角动量的三个分量
的对易关系. 【答案】这三个算符的对易关系为
6. 写出电子在外电磁场
中的哈密顿量。 【答案】
7. 量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符?
【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数,而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符,因此这要求可观测量算符应为厄米算符。
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第 3 页,共 43 页 8. 简述波函数的统计解释。
【答案】波函数在空间某一点的强度(振幅绝对值的平方)和在该点找到粒子的几率成正比。
9. 写出测不准关系,并简要说明其物理含义。
【答案】测不准关系
物理含义:若两个力学量不对易,则它们不可能同
时有确定的测值。
10.自发辐射和受激辐射的区别是什么?
【答案】自发辐射是原子处于激发能级时,可能自发地跃迁到较低能级去,并发射出光子的过程;
受激辐射是处于激发能级的原子被一个频率为的光子照射,受激发而跃迀到较低能级
同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的,自发辐射是随机的。
二、证明题
11.证明么正变换不改变算符的本征值。
【答案】设在某一表象下,一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符,其在该表象下的矩阵表示为F , 则对其进行么正变换后的矩阵表示为:
由于相似变换不改变矩阵本征值,故与F 本征值相同,因此么正变换不改变算符本征值。
12.证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符?
【答案】以表示的本征值
表示所属的本征函数,则因为是厄密算符,于是有
由此得即是实数。 三、计算题
13.在表象中,电子波函数可表示为
简要说明其物理意义。 【答案】式中,代表(自旋向上)的状态波函数,代表(自旋向下)的状态波函数
,代表自旋向上的概率
,
代表自旋向下的概率,归一化表示为
:
14.两个无相互作用的粒子(质量均为m )置于一维无限深方势阱(
)中。对下列两种情况写出:两 粒子体系可具有的两个最低总能量值,相应的简并度以及上述能级对应的所有二粒子波函数。
(1)两个自旋为的可区分粒子。
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第 4 页,共 43 页 (2)两个自旋为的全同粒子。
【答案】(1)对于自旋的二个可区分粒子,波函数不必对称化。
基态:总能量为
而波函数为有4重简并。 第一激发态:总能量为其波函数为有8重简并。 (2
)自旋
的二个全同粒子,总波函数必须是反对称的。故基态:
总能量为
波函数为
非简并。 第一激发态:总能量为波函数为4重简并。其中,
代表二粒子自旋单态
,
代表自旋三重态。
15.粒子在二维无限深势阱中运动
,
(1)写出本征能量和本征波函数;
(2)若粒子受到微扰的作用,求基态和第一激发态能级的一级修正。
【答案】 (1)根据题意,易写出粒子在二维无限深势阱中本征能量和波函数。
(2)基态的一级能量修正
在计算第一激发态能级的一级修正时,由于存在两组简并态
所以利用简并下能级的修正方法计算.令则可计算出微扰
的矩阵表达式
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