【常考热点 拔高提分】备战2013高考 数学一轮复习学案：《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》

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第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[知识能否忆起]

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；

(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； tan α＋tan β

(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝

1－tan αtan βtan α－tan β

(6)T(α－β)：tan(α－β)＝1＋tan αtan β2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；

(2)C2α：cos 2α＝cos＝ 2tan α

(3)T2α：tan 2α＝. 2

1－tan3．常用的公式变形

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)； 1＋cos 2α1－cos 2α22

(2)cosα＝，sinα＝；

22(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)， π sin α±cos α＝2sin α±.

4

[小题能否全取]

sin 2α

1．(2011²福建高考)若tan α＝3，则的值等于( ) 2

cosαA．2 C．4

B．3 D．6

2

2

2

2

2

2

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解析：选D

sin 2α2sin αcos α

＝2tan α＝2³3＝6. 22

cosαcosα

2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) AC.

2

2

B.22

3

2

D．1

解析：选B 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22

2

3．已知sin α＝，则cos(π－2α)等于( )

3A5

3

1B9D.53

1

C. 9

4122

解析：选B cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sinα)＝2sinα－1＝2³－1＝－.

99π 4 4．(教材习题改编)若cos α＝－α是第三象限角，则sin α＋ ＝________ 4 5 32

解析：由已知条件sin α1－cosα＝－，

5π 2272 sin α＋ sin α＋cos α＝－. 4 2210 72

答案：－

10

π2 5．若tan α＋＝，则tan α＝________. 4 5 πtan α＋12 解析：tan α＋＝＝ 4 1－tan α5 即5tan α＋5＝2－2tan α. 3

则7tan α＝－3，故tan α73

答案：－

7

1.两角和与差的三角函数公式的理解：

(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则

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后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．

(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．

(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α

＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．

2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对

角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．

2

2

2

2

典题导入

1π[例1] (2011²广东高考)已知函数f(x)＝2sin x－，x∈R.

6 3

(1)求f

5π 的值；

4

π 106 π (2)设α，β∈ 0， ，f 3α＋ ＝，f(3β＋2π)＝cos(α＋β)的值．

2 2 135

1π [自主解答] (1)∵f(x)＝2sin－ ，

6 3

∴f5π＝2sin 5ππ＝π2.

1264 4

π106 π (2)∵α，β∈ 0， ，f 3α＋＝，f(3β＋2π)＝，

2 2 135 π610 ∴2sin α2sin β2 513 53

即sin α＝，cos β135124

∴cos α＝，sin β＝135

∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

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1235416＝³＝13513565

由题悟法

两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．

以题试法

3 π 1．(1)已知sin α＝，α∈ ，π ，则5 2

cos 2απ 2sin α＋ 4

＝________.

(2)(2012²济南模拟)已知α为锐角，cos α＝A．－3 4

C3解析：(1)

1B．－

7D．－7 cosα－sinα

2

2

5 π tan 2α ＝( ) 5 4

cos 2απ 2sin α＋4

2 2

2 sin α＋α

2 2

cos α－sin α，

34 π ∵sin α＝，α∈ π ，∴cos α55 2 7

∴原式＝－5

252³24 π (2)依题意得，sin α＝，故tan α＝2，tan 2α＝＝－，所以tan ＋2α 51－43 4 4

1－31

＝＝－

471＋3

7

答案：(1) (2)B

5

典题导入

[例2] (2013²德州一模)已知函数f(x)＝2cos－3sin x.

2

2

x

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(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；

π1cos 2α (2)若α为第二象限角，且f α－＝，求 3 31＋cos 2α－sin 2α

π2x[自主解答] (1)∵f(x)＝2cos3sin x＝1＋cos x－3sin x＝1＋2cos x＋，

3 2

∴周期T＝2π，f(x)的值域为[－1,3]．

π111 (2)∵f α－＝，∴1＋2cos α＝，即cos α＝－3 333 22

∵α为第二象限角，∴sin α＝3

cos 2αcosα－sinα

∴ 1＋cos 2α－sin 2α2cosα－2sin αcos α122－33cos α＋sin α1

－22

＝＝2cos α22

3

由题悟法

运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β

)²(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．

以题试法

ππ43 2．(1)(2012²赣州模拟)已知sin α＋＋cos α＝，则sin α的值为

6 3 5 ( )

43

A. B.55C.3

2

D.35

2

2

3π

(2)若α＋β＝(1－tan α)(1－tan β)的值是________．

4解析：(1)由条件得

3343sin α＋α， 225

134

即sin α＋α225π4 ∴sin α＋＝3 5

3πtan α＋tan β

(2)－1＝tan(α＋β)＝

41－tan αtan β∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β.

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∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 答案：(1)A (2)2

典题导入

sin α＋cos α

[例3] (1)(2012²温州模拟)若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)

sin α－cos α＝________.

π 4π (2)(2012²江苏高考)设α为锐角，若cos α＋ ＝，则sin 2α＋ 的值为6 512 ________．

sin α＋cos αtan α＋1

[自主解答] (1)由条件知＝3，

sin α－cos αtan α－1则tan α＝2.

故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α] ＝

tanβ－α－tan α－2－24

.

1＋tanβ－αtan α1＋－2³23

π4 (2)因为α为锐角，cos α＋＝ 6 5 π3π24 所以sin α＝，sin 2 α＋＝，

6 56 25 π7 cos 2 α＋＝ 6 25

ππ π 所以sin 2α＋＝sin 2 α＋－

6 4 12 24272

172

＝³³＝. 252252504172[答案] (2)350

由题悟法

1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

3．常见的配角技巧：

α

α＝2²；α＝(α＋β)－β；

2

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α＝β－(β－α)；

1

αα＋β)＋(α－β)]；

21

βα＋β)－(α－β)]；

2ππ π＋α＝－ α42 4

；α＝π－ πα

4 4

.

以题试法

3．设tan(α＋βA.C.

)＝

π 1π2 ，tan β－ ＝tan α＋＝( ) 4 44 5

B.1322

13

183

22

1D.6

π α＋β－ β－ 4

π 解析：选C tan α＋＝tan 4

π tanα＋β－tan β－ 4 3

＝＝π 22

1＋tanα＋βtan β－ 4

1．(2012²重庆高考)设tan α，tan β是方程x－3x＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( )

A．－3 C．1

B．－1 D．3

2

解析：选A 由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α²tan β＝2， tan α＋tan β

tan(α＋β)＝＝－3.

1－tan αtan β

3 π π 2．(2012²南昌二模)已知cos x－＝－cos x＋cos x－ 的值是( )

6 3 3 23

A．－

3C．－1

23B．±

3D．±1

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1333 π解析：选C cos x＋cos x＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋x＝3

3 2222 1 3 π cos x＋sin x ＝3cos x－6＝－1.

2 2

1 π π 3． (2012²乌鲁木齐诊断性测验)已知α满足sin α＝，那么sin ＋α sin α

2 4 4 的值为( )

1

A. 41

C. 2

1B41D2

π π

解析：选A 依题意得，sin ＋α sinα

4 4

11 π 12

sin ＋2α ＝cos 2α＝(1－2sinα)＝24 2 2

＝sin πα

4 ²cos πα

4 ＝1

2

4．已知函数f(x)＝x＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线的斜率为4，则函数g(x)＝3sin 2x＋bcos 2x的最大值和最小正周期为( )

A．1，π C.2，2π

B．2，π D.3，2π

2

3

解析：选B 由题意得f′(x)＝3x＋b，

f′(1)＝3＋b＝4，b＝1.

所以g(x)3sin 2x＋bcos 2x π ＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin 2x，

6 故函数的最大值为2，最小正周期为π.

5． (2012²东北三校联考)设α、β都是锐角，且cos α＝则cos β＝( )

A.25

25

B.25

555525

5

sin(α＋β5

)＝

35

C.

2525

255

D.

25解析：选A 依题意得sin α1－cosα＝

542

cos(α＋β)＝±1－sinα＋β5又α、β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，

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454

cos α>cos(α＋β)，注意到－，

5554

所以cos(α＋β).

5

453

cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－³5552525³.

525

6．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝

5

3

5 9

3

，则cos 2α＝( ) 3

A B53

C.

5

9

D.

解析：选A 将sin α＋cos α＝

312两边平方，可得1＋sin 2α＝sin 2α＝－，333

52

所以(－sin α＋cos α)＝1－sin 2α＝.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α

3＜0，所以－sin α＋cos α5. 3

15

，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)²(cos α＋sin 3

α)π4π1

7．(2012²苏锡常镇调研)满足sinsin x＋cosx的锐角x＝________.

552解析：由已知可得

4π4π1

x＋sinsin x＝，

552即cos

4πx ＝1，

2

5

4ππ7π又x是锐角，所以－x＝，即x＝.

53157π

答案：15

2tan45°－αsin αcos α

8．化简²＝________. 222

1－tan45°－αcosα－sinα1

α2

解析：原式＝tan(90°－2α)²

cos 2α

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＝＝

sincos1

α290°－2α²

90°－2αcos 2α

cos 2α1sin 2α1＝sin 2α2cos 2α2

1答案：2

9．(2013²烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α，1

β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的

34

cos α＝________.

5

解析：依题设及三角函数的定义得： 14

cos β＝－sin(α＋β)＝35

ππ223

又∵0<β<π，∴<β<π，<α＋β<π，sin β，cos(α＋β)＝－.

2235∴cos α＝cos[(α＋β)－β]

＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β 3 1 422

－

5 3 53＝

3＋2

15

3＋82答案：15

π1 π 10．已知α∈ 0， ，tan αtan 2α和sin 2α＋的值．

2 3 2 1

2³2412tan α

解：∵tan α＝tan 2α＝＝， 21－tanα13

1－

4且

sin α1

cos α＝2sin α， cos α2

2

2

又sinα＋cosα＝1，

π2

∴5sinα＝1，而α∈ 0，

2

∴sin α＝

525

cos α＝. 55

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∴sin 2α＝2sin αcos α5254³， 555

41322

cos 2α＝cosα－sinα－＝

555

πππ41334＋3 ∴sin 2α＋＝sin 2αcos＋cos 2αsin＝³³. 3 33525210 π 4π 11．已知：0<α<<β<π，cos β－ ＝4 52 (1)求sin 2β的值； π (2)求cos α＋的值．

4

ππ221 解：(1)法一：∵cos β－＝cosβ＋sin β＝cos β＋β＝

4 4223 ∴cos β＋sin β＝

2271＋sin 2β＝sin 2β399

法二：sin 2β＝cos

π－2β ＝2cos2 β－π－1＝－7 4 9 2

π

(2)∵0<α<<β<π，

2

ππ3π3π∴<β<－π，<α＋β<， 44422π ∴sin β－>0，cos(α＋β)<0.

4 π14 ∵cos β－＝sin(α＋β)＝ 4 35 π22 ∴sin β－＝， 4 3

cos(α＋β)＝－.

π ∴cos α＋＝cos 4

π α＋β－ β－

4

3

5

π ＝cos(α＋β)cos β 4 31422－3

.

535315

x x 12．(2012²衡阳模拟) 函数f(x)＝cos －＋sin π－，x∈R.

2 2 (1)求f(x)的最小正周期；

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π210 π (2)若f(α)＝，α∈ 0，求tan α＋的值．

2 4 5

xxx x xπ 解：(1)f(x)＝cos －＋sin π＝cos2sin ，

2 22 2 24

2π

故f(x)的最小正周期T＝4π.

12

210αα210

(2)由f(α)＝，得sin＋cos＝，

5225α2 210 2 α

则 ＝ ，

22 5 83

即1＋sin α＝sin α

55

π又α∈ 0，，则cos α＝1－sinα＝

2

sin α3

故tan α＝＝，

cos α4

941 255

π3

tan α＋＋1

44π 所以tan α＝＝7.

4 π3

1－tan α144

π 1 1．若tan α＝lg(10a)，tan β＝lg ，且α＋β＝，则实数a的值为( )

4 a A．1

B.1

10

1

C．1或

10

D．1或10

lg解析：选C tan(α＋β)＝1

tan α＋tan β 2

＝＝1 lga＋lg

1－tan αtan β 11－lg10a²lg 110a＋lg a

a

a＝0，

1

所以lg a＝0或lg a＝－1，即a＝1或.

10

ππ 2 2 2

2．化简sin α＋sin α＋ －sinα的结果是________．

6 6 π π 1－cos 2α－ 1－cos 2α 3 3 2

＋－sinα

22

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ππ 1 2

＝1cos 2α－＋cos 2α＋ －sinα

3 3 2

πcos 2α1－cos 2α12

＝1－cos 2α²cos－sinα＝1－＝.

32221

答案：2

3．已知sin α＋cos α＝

π 335 π ππ ，α∈ 0，sin β－ β∈ .

4 4 55 42

(1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．

92

解：(1)由题意得(sin α＋cos α)＝

594

即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝.

55

3 π2

又2α∈ 0，，∴cos 2α＝1－sin2α＝

2 5 sin 2α4

∴tan 2αcos 2α3

π 3π π ππ (2)∵β∈ ，，β－ 0，sin β－ ＝

4 4 54 42 π4 ∴cos β－＝

4 5

ππ π 24 于是sin 2 β－＝2sin βcos β－ ＝4 4 4 25 π 又sin 2 β＝－cos 2β， 4 24

∴cos 2β＝－

25

7 π 又∵2β∈ ，π ，∴sin 2β 25 2 1＋cos 2α4 π 2

又∵cosα＝＝α∈ 0 ，

4 25 255

∴cos α＝sin α＝.

55

∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝

2557115 24³ －－

.

525 25 525

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1．(2012²北京西城区期末)已知函数f(x)3sinx＋sin xcos x，x∈ (1)求f(x)的零点；

(2)求f(x)的最大值和最小值．

解：(1)令f(x)＝0，得sin x3sin x＋cos x)＝0， 所以sin x＝0或tan x＝－

3. 3

2

ππ .

2

π 由sin x＝0，x∈ ，π ，得x＝π；

2

由tan x35π π ，x∈ π ，得x＝36 2

5π

综上，函数f(x)的零点为，π.

6(2)f(x)＝

π 313 (1－cos 2x)＋sin 2x＝sin 2x－ ＋. 3 222

π 2π5π π 因为x∈ ，π ，所以2x－∈ . 3 3 3 2 π2ππ

所以当2x－＝，即x＝时，f(x)3；

332π3π11π3

当2x－＝x＝f(x)的最小值为－1＋.

32122βπ1 α

2．已知0<β<<α<π，且cos α－＝－，sin －β

2 29 2π

解：∵0<βα<π，

2

παππβ

－β<<απ.

42242

＝2 3求cos(α＋β)的值；

α ∴cos β ＝ 2

＝1－sin

2

α－β

2

5 22

1－ ＝， 3 3

β 2 1－cos α－ 2

β sin α－ ＝

2 ＝ 1245. 1－ ＝

9 9

β αα＋β ∴＝cos α－－ －β

2 22

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β α ＝cos α－cos －β2 2 ＋sin α－β sin α－β

2 2

1545275＋³＝.

939327∴cos(α＋β)＝2cos

2

α＋β49³5239

－1＝2³－1＝－2729729

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ffq4.html