《高中竞赛教程》教案：第17讲 三角形的五心（教师）

第17讲 三角形的五心

三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．

A三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．

1、三角形的外心

三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． OBC锐角三角形的外心在三角形内；

直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． A2、三角形的内心

M三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．

FE三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．

KI内切圆半径r的计算：

1S

设三角形面积为S，并记p=(a+b+c)，则r=．

2p1

特别的，在直角三角形中,有 r =2(a+b－c)．

3、三角形的重心

B三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．

上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．

4、三角形的垂心

三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．

斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．

5、三角形的旁心

三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．

每个三角形都有三个旁切圆．

A类例题 例1 证明重心定理。

证法1 如图，D、E、F为三边中点，设BE、CF交于G，连接EF，显然

∥1BC，由三角形相似可得GB＝2GE，GC=2GF． EF =2

又设AD、BE交于G'，同理可证G'B=2G'E，G'A=2G'D，即G、G'都是BE

上从B到E的三分之二处的点，故G'、G重合． 即三条中线AD、BE、CF相交于一点G．

证法2 设BE、CF交于G，BG、CG中点为H、I．连

EF、FH、HI、IE， F∥1BC，HI =∥1BC， 因为EF =22

所以 EFHI为平行四边形．

所以 HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF．

- 1 -

BDBDHAFGDECCABFDCEIaAFGCEAEGICDHB同证法1可知AG=2GD，AD、BE、CF共点． 即定理证毕． 链接 证明外心、内心定理是很容易的。 外心定理的证明：如图，设AB、BC的中垂线交于点O，则有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ΔABC外接圆的圆心．因而称为外心． B 内心定理的证明：如图，设∠A、∠C的平分线相交于I、过I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，则有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点． 上述定理的证法完全适用于旁心定理，请同学们自己完成． BAOCAMIDHEKCF 例2证明垂心定理 分析 我们可以利用构造外心来进行证明。 证明 如图，AD、BE、CF为ΔABC三条高，过点A、B、C分别作对边的平行线相交成ΔA'B'C'，显然AD为B'C'的中垂线；同理BE、CF也分别为A'C'、A'B'的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证． C'FAEB'BDCA'链接 （1）对于三线共点问题还可以利用Ceva定理进行证明，同学们可以参考第十八讲的内容。（Ceva定理）设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直AZBXCY线交于一点的充要条件是ZB·XC·YA=1． （2）对于三角形的五心，还可以推广到n边形，例如，如果我们称n（≥3）边形某顶点同除该点以外的n-1个顶点所决定的n-1边形的重心的连线，为n边形的中线，（当n-1=2时，n-1边形退化成一线段，此时重心即为线段的中心）那么重心定理可推广如下：n边形的各条中线(若有重合，只算一条）相交于一点，各中线被该点分为：（n-1）∶1的两条线段，这点叫n边形的重心．请同学们自己研究一下其他几个“心”的推广。

情景再现

1．设G为△ABC的重心，M、N分别为AB、CA的中点，求证：四边形GMAN和△GBC的面积相等．

2．三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍． B

- 2 -

AMNGCB类例题 例3 过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.

作点P关于MN的对称点P'.试证：P'点在△ABC外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析 分析点M和N的性质，即能得到解题思路。 AP'证明 由已知可得MP'=MP=MB，NP'=NP=NC， N故点M是△P'BP的外心，点N是△P'PC的外心.于是有

M11

∠BP'P=2∠BMP=2∠BAC， BP11

∠PP'C=∠PNC=∠BAC.

22

∴∠BP'C=∠BP'P+∠P'PC=∠BAC.

从而，P'点与A、B、C共圆，即P'在△ABC外接圆上.

链接 本题可以引出更多结论，例如P'P平分∠BP'C、P'B:P'C=BP:PC等等． C例4 AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.

A证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.

A'F'(第26届莫斯科数学奥林匹克) EFG证明 设G为△ABC重心，直线PG与AB，BC相交.从A，C，D，E，FE'D'分别作该直线的垂线，垂足为A'，C'，D'，E'，F'. BCC'D 易证AA'=2DD'，CC'=2FF'，2EE'=AA'+CC'， P ∴EE'=DD'+FF'.

有S△PGE=S△PGD+S△PGF.

两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.

例5 设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛) 证明 连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径为R.由△A2A3A4知[来源:www.shulihua.net]

A2H1 =2R?A2H1=2Rcos∠A3A2A4；

sin?A2A3H1 由△A1A3A4得 A1H2=2Rcos∠A3A1A4. 但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2. ∥A1H2， 易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1 =A2H1A1O.H2A4A3∥A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称. 故得H1H2 = 同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与

四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点，Q点就不难确定了. 链接三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如： （1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等； （2）三角形的外心到三顶点的距离相等； （3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心； （4）三角形的内心、旁心到三边距离相等； （5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； （6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心； （7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心； （8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心． - 3 -

情景再现

3．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.

证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似. (B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)

4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.

C类例题 例6 H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，

DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.

求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. (1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析 只须证明AA1=BB1=CC1即可. B2C1A证明 设BC=a， CA=b，AB=c，△ABC外接圆半径为R，⊙H的半径为r. 连HA1，AH交EF于M. AA

222222 =AM+AM=AM+r-MH11A1BFH2MEA2CHDC2H1=r2+(AM2-MH2)， ①

11

又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2

22

=AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2

2

=cosA·bc-AH， ② 而

B1AH=2R?AH2=4R2cos2A,

sin?ABHa=2R?a2=4R2sin2A. sinA∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. ③ 由①、②、③有 AA221=r+

b2?c2?a2·bc-(4R2-a2)

2bc1

=2 (a2+b2+c2)-4R2+r2. 同理，BB1=

1

21222

(a+b+c)-4R2+r2， 2CC12=2 (a2+b2+c2)-4R2+r2.

故有AA1=BB1=CC1.

例7 已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF中点P是△ABC之内心.(B·波

拉索洛夫《中学数学奥林匹克》) ︵

证明 如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC平分线上.易知AQ= ∵QK·AQ=MQ·QN， ∴QK=

MREOBNKrααPQFCr. sin?AMQ?QN

AQ(2R?r)?r ==sin??(2R?r).

r/sin?- 4 -

由Rt△EPQ知PQ=sin??r.

∴PK=PQ+QK=sin??r+sin??(2R?r)=sin??2R.

∴PK=BK.

利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心.

说明 在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例7的一种特例，但它增加了条件AB=AC.

例8 在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁

切圆半径，p表示半周. (杭州大学《中学数学竞赛习题》) 证明 设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：

p(p-c)=(p-a)(p-b).

11

∵p(p-c)= 2 (a+b+c)·2(a+b-c) 1

=[(a+b)2-c2]

41

=ab；

2

11

(p-a)(p-b)= 2(-a+b+c)·2(a-b+c) 11

=4[c2-(a-b)2]= 2ab.

∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ① 观察图形，可得 ra=AF-AC=p-b， rb=BG-BC=p-a， rc=CK=p.

1

而r=(a+b-c)=p-c.

2

∴r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p. 由①及图形易证.

例9 M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半径，q1，q2，

q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.证明证明 对任意△A'B'C'，由正弦定理可知

O3OrEBO1rcKAO2rbraCr1rr·2=.(IMO-12) q1q2qC'OA'..ED.B'A'

2B'sinA'2 =A'B'··sin 2sin?A'O'B'A'B'sin?sin22， =A'B'·

A'?B'sin2OD=OA'·sin

- 5 -

O'

A'B'cos22. O'E= A'B'·

A'?B'sin2ODA'B'?tgtg. ∴

O'E22cos亦即有

r1rA?CMA?CNBBtgtg ·2=tgtg2222q1q2 =tgABrtg=. 22q例10 锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距离

和为d重，垂心到三边距离和为d垂.

A求证：1·d垂+2·d外=3·d重.

证明 设△ABC外接圆半径为1，三个内角记为A，B， H3G3O2O3C. 易知d外=OO1+OO2+OO3

G2H2=cosA+cosB+cosC， OGI ∴2d外=2(cosA+cosB+cosC). ①

BCO1G1H1 ∵AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC， 同样可得BH2·CH3.

∴3d重=△ABC三条高的和

=2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) ② ∴

BH=2，

sin?BCH ∴HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC. 同样可得HH2，HH3. ∴d垂=HH1+HH2+HH3

=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) ③ 欲证结论，观察①、②、③，

须证(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.

即可.

说明 本题用了三角法。

情景再现 5.设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，BE，CF三条对角线交于一点；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF. (1991，国家教委数学试验班招生试题)

6．△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.证明OE丄CD. (加拿大数学奥林匹克训练题)

7．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB. 求证：OI丄DE，OI=DE. (1988，中国数学奥林匹克集训题)

习题17

1．在△ABC中，∠A是钝角，H是垂心，且AH=BC，则cos∠BHC=( )

1131

A．－22 B．22 C．3 D．2 - 6 -

2．如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，则此直线一定通过三角形的( )

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心(1996年全国初中联赛) 3．(1997年安徽省初中数学竞赛)若0°

11

A．2a B．22a C．a D．2a

5．下面三个命题中：

⑴ 设H为ΔABC的高AD上一点，∠BHC+∠BAC=180?，则点H是ΔABC的垂心； ⑵ 设G为ΔABC的中线AD上一点，且SΔAGB=SΔBGC，则点G是ΔABC的重心； ⑶ 设E是ΔABC的外角∠BAK的角平分线与ΔABC的外接圆⊙O的交

A点，ED是⊙O的直径，I在线段AD上，且DI=DB，则I是ΔABC的内心．

正确命题的个数是( ) F A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 HE

6．设ΔABC的∠A=60?，求证：ΔABC的外心O、内心I、垂心H及点B、

BCDC五点在同一个圆上．

DC7．已知P是□ABCD内的一点，O为AC与BD的交点，M、N分别为PB、PNQPC中点，Q为AN与DM的交点．求证：

MO ⑴ P、Q、O三点在一条直线上；

⑵ PQ=2OQ．

AB

8.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′，

B′，C ′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.(1982，澳大利亚数学奥林匹克)

9.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)

10.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)

11.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形. 12.△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7) A本节“情景再现”解答

1．证明 如图，连GA，因为M、N分别为AB、CA的中点，所

NM以△AMG的面积=△GBM的面积，△GAN的面积=△GNC的面G积,

即四边形GMAN和△GBC的面积相等． CB

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1

sin?cos?

4．ΔABC中，∠A=45?，BC=a，高BE、CF交于点H，则AH=( )

AIrORBA2．证明 如图，O为ΔABC的外心，H为垂心， 连CO交ΔABC外接圆于D，连DA、DB，则DA⊥AC，BD⊥BC，HKND又AH⊥BC，BH⊥AC．所以DA∥BH，BD∥AH， 从而四边形DAHB为平行四边形。

O又显然DB=2OM，所以AH=2OM． BM 同理可证 BH=2ON，CH=2OK．证毕．

3．提示：设O1，O2，O3是△APS，△BQP，△CSQ的外心，

作出六边形O1PO2QO3S后再由外心性质可知∠PO1S=2∠A，∠QO2P=2∠B，∠SO3Q=2∠C. ∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360° 将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1， 1

同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2O1K

2111

=2 (∠O2O1S+∠SO1K)= 2 (∠O2O1S+∠PO1O2)= 2∠PO1S=∠A；

C 同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.

4．提示：将△ABC简记为△，由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为△'.G为重心，连DE到H，

使EH=DE，连HC，HF，则△'就是△HCF.

(1)a2，b2，c2成等差数列?△∽△'.若△ABC为正三角形，易证△∽△'.不妨设a≥b≥c，有

CF=

1112a2?2b2?c2，BE=2c2?2a2?b2，AD=2b2?2c2?a2. 222 将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得CF=

333a，BE=b，AD=c. 222 ∴CF:BE:AD =

333a:b:c=a:b:c. 故有△∽△′. 222 (2)△∽△′?a2，b2，c2成等差数列.当△中a≥b≥c时， △′中CF≥BE≥AD.∵△∽△′，∴

S?'CF2

＝().

aS?S?33”，有'=. 4S?4 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的

CF23 ∴2=?3a2=4CF2=2a2+b2-c2?a2+c2=2b2.

4a5.证明 连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分线，I为△ACE的内心.

从而有ID=CD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=BC. A 再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用 F..不等式有： BQErdos BI+DI+FI≥2·(IP+IQ+IS). 不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS. IPES ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC. ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)

≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF. CD I就是一点两心.

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6．提示：设AM为高亦为中线，取AC中点

F，E必在DF上且DE:EF=2:1.设 CD交AM于G，G必为△ABC重心. 连GE，MF，MF交DC于K.易证：

DG:GK=

AEGOBKCDF111DC:(?)DC=2:1. 323 ∴DG:GK=DE:EF?GE∥MF.

∵OD丄AB，MF∥AB，

∴OD丄MF?OD丄GE.但OG丄DE?G又是△ODE之垂心. 易证OE丄CD.

7．提示：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K. 易证△AID≌△AIB≌△EIB，

A∠AID=∠AIB=∠EIB.

I 利用内心张角公式，有 1

∠AIB=90°+2∠C=105°，

BD30°CFOEK111

∴∠DIE=360°-105°×3=45°. ∵∠AKB=30°+2∠DAO=30°+2 (∠BAC-∠BAO)=30°+2 (∠

1

BAC-60°)=2∠BAC=∠BAI=∠BEI.

∴AK∥IE. 由等腰△AOD可知DO丄AK，∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高. 同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE.由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.

习题17解答

1． B；2．A；3．A；4．C；5．选B，只有（3）是对的；

6．略；7．略；8.略；9.略；10.略；11.略；12. H的轨迹是一条线段.

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