高三数学试题（正卷）

高三年级数学Ⅰ试题

注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1、本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题，共14题）、解答题（第15题～第

20题，共6题）两部分。本次考试时间为120分钟。

2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在

答题卡上。

3、作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其

它位置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

4、如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题．．卡相应位置上． ．．．．．

a1．已知集合A???1,0,2?,B?2，若B?A,则实数a的值为 ▲ .

??2．设i为虚数单位，则复数z?(1?3i)i的实部为 ▲ . 3．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是 ▲ . 4．为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名高三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重（单位：kg）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是 ▲ .

（第4题）

5．如图所示的流程图，若输入x的值为－5.5，则输出的结果c? ▲ . 6．已知集合A?{x|?1?x?2}，集合B?{x|?a?x?a}.若命题“x?A”是命题“x?B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ▲ . 7．函数f(x)?sinx?3cosx(x??-?，0?)的单调增区间是 ▲ ．

8．圆心在抛物线x2?2y上，并且和抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ．

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9．已知正四棱锥的底面边长是6，高为7，这个正四棱锥的侧面积是 ▲ ．

10．在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若sinA?3sinC，B?30，b?2，则△ABC的 面积是 ▲ ．

11．已知点P在直线y?2x?1上，点Q在曲线y?x?lnx上，则P、Q两点间距离的最小值为 ▲ .

A 12． 如图，在等腰三角形ABC中，底边BC?2，AD?DC,AE?1EB，若21BD?AC??，则CE?AB= ▲ ．

213．设数列?an?为等差数列，数列?bn?为等比数列．若a1?a2，b1?b2，且bi?ai2（i?1，2，3），则数列?bn?的公比为 ▲ . B E D

C x2y214．设x,y是正实数，且x?y?1，则的最小值是 ▲ ． ?x?2y?1二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明．．．．．．．过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．

（1）求证：FG//平面PBD； （2）求证：BD⊥FG． 16．（本小题满分14分） 如图所示，A、B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，?AOP?? （0????）， 点C坐标为(?2,0)，平行四边形OAQP的面积为S． （1）求t?OA?OQ?S的最大值； （2）若CB∥OP，求sin(2??

17. （本小题满分14分）

在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面: ①下潜

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y B P C O A Q ?3)．

x 时,平均速度为v(米/单位时间),单位时间内用氧量为cv(c为正常数); ②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4; ③返回水面时,平均速度为次考古活动中,总用氧量为y. (1)将y表示为v的函数;

(2)设0

2v(米/单位时间), 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此2x2y2已知直线x?2y?2?0经过椭圆C:2?2?1（a?b?0）的左顶点A和上顶点D．椭圆C的右顶点

ab为B，点E是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AE、BE与直线l:x?（1）求椭圆C的标准方程； （2）求线段MN长度的最小值；

（3）当线段MN的长度最小时，椭圆C上是否存在这样的点T，使得?TBE的面积为点T的个数；若不存在，请说明理由．

19．(本小题满分16分)

设数列?an?的前n项和为Sn，且(Sn?1)?anSn.

210分别交于M、N两点． 31？若存在，确定 5 第3页

（1）求a1； （2）求证：数列??1??为等差数列；

?Sn?1?11??19成立？若存在，求出m，k；若不存在，说明理由. akSkam（3）是否存在正整数m，k，使 20．（本小题满分16分）

已知函数f(x)?x?2a?alnx，常数a?R. （I）求f(x)的单调区间；

（II）若函数f(x)有两个零点x1、x2，且x1?x2. （1）指出a的取值范围，并说明理由； （2）求证：x1?x2?8a3.

东海高级中学高三1月周测数学参考答案

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21???1??21、1 2、 -3 3、 4、40 5、1 6、[2,??) 7、?,0 8、?x?1???y???1

?22??6???9、48 10、3 11、2415 12、? 13、3?22 14、

45315、证明：（1）连接PE，G.、F为EC和PC的中点，?FG//PE,FG?平面PBD，PE?平面PBD， ?FG//平面PBD…………6分

BD?平面ABCD，（2）因为菱形ABCD，所以BD?AC，又PA⊥面ABCD，所以BD?PA，因为PA?平面PAC，AC?平面PAC，且PA?AC?A，?BD?平面PAC，

FG?平面PAC，BD⊥FG………………………………………………14分

16、（1）∵OA?(1,0)，P(cos?,sin?)，∴OQ?(1?cos?,sin?)，

∴OA?OQ?1?cos?，而S?2??|OA|?|OP|?sin??sin?， 所以t?OA?OQ?S?1?cos??sin??1?2sin(??∵0????，∴当??12?4)，………………………………4分

?4时，t?OA?OQ?S取得最大值为1?2；………………………7分

（2）CB?(2,1)，OP?(cos?,sin?)，由CB∥OP得cos??2sin?，又0????，结合

sin2??cos2??1得sin??所以sin(2??17.

43525，cos??，sin2??，cos2??，……………………11分

5555?3)?sin2??cos?3?cos2??sin?3?4?33．………………………14分 10

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18、（1）令x?0得y?1，所以D(0,1)，所以b?1，令y?0得x??2，所以A(?2,0)，所以a?2，

x2?y2?1；?????????????????4分 所以椭圆C的标准方程为4（2）显然直线AE的斜率存在且为正数，设直线AE的方程为y?k(x?2)（k?0），联立得

?y?k(x?2)?y?k(x?2)1016k?2222M(,)，解得，由得(1?4k)x?16kx?16k?4?0，---6分 ?10?2233x??x?4y?4?3??16k2?162?8k2?16k2?16?2?8k2显然??16，由求根公式得x?或x?（舍），所以 ??22222(1?4k)1?4k2(1?4k)1?4k1?y??(x?2)?12?8k24k?4kE(,)，从而直线BE的方程为y??(x?2)，联立得?，解得 22104k1?4k1?4k?x??3?N(101116k116k18,?)，所以MN?， ??2??，当且仅当k?时取“?”

433k33k33k3因此，线段MN长度的最小值为

8；???????????????????????10分 3（3）由（2）知，k?16442时线段MN的长度最小，此时E(,)，BE?，因为?TBE的面积 4555为S?2S21，所以点T到直线BE的距离为d?，因为直线BE的方程为x?y?2?0， ?BE452 4设过点T且与直线BE平行的直线m的方程为x?y?t?0(t??2)，由两平行线之间距离为

得35|t?2|2，解得t??或t??， ?22423?33?x?y??02当t??时，直线m的方程为x?y??0，联立得?，消去y得5x?12x?5?0， 222?x2?4y2?4?显然判别式??0，故点T有2个；

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5?x?y??055?2t??x?y??0当时，直线m的方程为，联立得?，消去y得5x?20x?21?0， 222?x2?4y2?4?显然判别式??0，故点T不存在．

所以，椭圆C上存在两个点T，使得?TBE的面积为

219、解：（I）n=1时，(a1?1)2?a1,?a1?1．?????????????16分 51…………………………………………2分 2（II）

(Sn?1)2?anSn ?n?2时(Sn?1)2?(Sn?Sn?1)Sn ??2Sn?1??Sn?1Sn-----------4分

S?n ………………………6分 Sn?1-1Sn-11 ?1?Sn?Sn(1?Sn?1) ??1?Sn1?Sn111???????1为定值，???为等差数列…………8分 Sn?1Sn?1?1Sn?1Sn-1Sn-1S?1?n?（Ⅲ）

11??2???2?(n?1)(?1)??n?1 a1?1Sn?12n(Sn?1)1?Sn? ?an?……………………………………10分 ?n?1Snn(n?1)假设存在正整数m，k，使

11??19， 则(k?1)2?m(m?1)?19………12分 akSkam1)]k[?(2?2m)?(2? 1k?2?)(m2??4(k?1)2?4m(m?1)?76 ?[(2k?2m?3)k(2?m2? ?[(2?1)?75?75?1?25? 3??2k?2m?3?75?2k?2m?3?25?2k?2m?3?15或?或? ???2k?2m?1?1?2k?2m?1?3?2k?2m?1?5?k?18?k?6?k?4或?或?.…………………………………………………………16分 ??m?5m?2m?18???20. 解：（I）①a?0时，f(x)?x?2a?alnx（x?0），f'(x)?1?时，f(x)??a?0?f(x)在(0,??)递增；②a?0x?2a?x?alnx,0?x?2a

?x?2a?alnx,x?2aa??1?,0?x?2a??x?f(x)???f(x)在(0,2a)递减，在(2a,??)递增。

?1?a,x?2a??x

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综上，a?0时f(x)在(0,??)递增； a?0时f(x)在(0,2a)递减，在(2a,??)递增。………4分 （II）（1）由（I）知a?0，此时f(x)在(0,2a)递减，在(2a,??)递增， 由题，首先f(2a)??aln2a?0 ?a?下证a?1 …………………………………6分 21时f(x)在(0,2a)和(2a,??)各有一个零点： 2①?a?e时，f(a)?a?alna?a(1?lna)?0，

12f(2a)?0?x1?(a,2a)

f(e3)?e3?2a?alne3?e3?5a?a(e2?5)?0②a?e时，f(e)?2a?e?alne?2(a?e)?0，

f(2a)?0?x2?(2a,e3)

f(2a)?0?x1?[e,2a)

f(e2a)?|e2a?2a|?alne2a?|e2a?2a|?2a2

令p(a)?e2a?2a(a?e)，p'(a)?2e2a?2?0，所以p(a)?p(e)?e2e?2e?0

?f(e2a)?e2a?2a?2a2

令q(a)?e2a?2a?2a2(a?e)，q'(a)?2e2a?2?4a(a?e)，

(q'(a))'?4e2a?4?0?q'(a)?q'(e)?2e2e?2?4e?2(e2e?1?2e)?0

所以q(a)?q(e)?e2e?2e?2e2?e2e?2e(1?e)?e5?2e(1?e)?0即f(e2a)?0

1f(2a)?0?x2?(2a,e2a),得证。综上，a?.……………………………………10分

2（2）要证x1?x2?8a3，因为x1?(0,2a)，只要证x2?4a2，即证f(4a)?0 事实上，f(4a2)?|4a2?2a|?aln(4a2)，

21?f(4a2)?4a2?2a?aln(4a2)?4a2?2a?aln4?2alna 212令g(a)?4a?2a?aln4?2alna(a?)

21g'(a)?8a?2?ln4?2(1?lna)?8a?2lna?4?ln4(a?)

221g''(a)?8??0?所以g'(a)在(,??)递增

a2111?g'(a)?g'()=4?2ln?4?ln4?0?g(a)在(,??)递增

222111?g(a)?g()?1?1?ln4?ln?0，所以f(4a2)?0.?x1?x2?8a3.………16分

222因为a? 第8页

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