第七章 一维波动方程的解题方法及习题答案

第七章 一维波动方程的傅里叶解 小结及习题答案

第二篇 数学物理方程

——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法

Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程；

2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化；

４、数理方程的线性导致解的叠加。

一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律）

1、来源

I．质点力学：牛顿第二定律F?mr

??弦?2u(r,t)???a2?2u(r,t)?0(波动方程);?杆 振动：2?弹性体力学(弹性定律)?t?膜连续体力学? ??????流体力学：质量守恒律：???(?v)?0;?t??v?1?热力学物态方程：?(v??)v?p?f?0(Euler eq.).??t????II.麦克斯韦方程

?D?d???d????D??;????E?dl???B?ds???E?B;???????B?d??0???B?0;?H?dl???(j?D)?ds???H?j?D. ??E???u,B???A,u,A满足波动方程。???Lorenz力公式?力学方程；Maxwell eqs.+电导定律?电报方程。III. 热力学统计物理

?T?热传导方程：?k?2T?0;特别: 稳态（??2???0）:???0 (Laplace equation). ?t??t??2?扩 散方程：?D???0.??t?IV. 量子力学的薛定谔方程：

i2?u???2u?Vu. ?t2m2. 分类 物理过程 振动与波 输运方程 方 程 2波动方程?2u?1?u?0 22数学分类 双曲线 抛物线 a?t?能量：热传导?u?k?2u?0 ??质量：扩 散?t 1

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稳态方程 Laplace equation?2u?0 椭圆型 二、数理方程的导出

推导泛定方程的原则性步骤：

（1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。

（2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”

---“无理取闹”（物理趣乐）。

（3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽

略---线性化。

（4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。 （5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。

Chapter 7 一维波动方程的傅里叶解

第一节 一维波动方程-弦振动方程的建立

7.1.1 弦横振动方程的建立

（一根张紧的柔软弦的微小振动问题）

（1）定变量：取弦的平衡位置为x轴。表征振动的物理量为各点的横向位移u(x,t)，从

而速度为ut，加速度为utt.

（2）立假设：①弦振动是微小的，???1，因此，sin??tan???，cos??1，又

?u?u?tan???，???1；②弦是柔软的，即在它的横截面内不产生应?x?x力，则在拉紧的情况下弦上相互间的拉力即张力T(x,t)始终是沿弦的切向

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(等价于弦上相互间有小的弹簧相连)；③所有外力都垂直于x轴，外力线密度为F(x,t)；④设弦的线密度（细长）为?(x,t)，重力不计。

（3）取局部：在点x处取弦段dx,dx是如此之小,以至可以把它看成质点(微元)。质量

??u?微元：?(x,t)dx；微弧长：ds?dx?du?1???x?dx?dx（即这一小段的

??222长度在振动过程中可以认为是不变的，因此它的密度??x,t?不随时间变化，另外根据Hooke定律?F??k?x可知，张力T(x,t)也不随时间变化，我们把它们分别记为??x?和T(x).

（4）找作用：找出弦段所受的力。

外力：F(x,t)dx，垂直于x轴方向；

张力变化：?Tcos??|x?dx??Tcos??|x?T(x?dx)?T(x),x方向紧绷，

?Tsin??|x?dx??Tsin??|x??Tux?|x?dx??Tux?|x??Tux?xdx,垂直于x轴方向。

（5）列方程：根据牛顿第二定律

T(x?dx)?T(x)?0，因x方向无位移，故T(x?dx)?T(x)?T.

?(x)dxutt?F(x,t)dx??Tux?xdx?F(x,t)dx?Tuxxdx

即，utt?T?uxx?f(x,t)，其中f(x,t)?F(x,t)?是单位质量所受外力。

T如果弦是均匀的，即?为常数，则可写a?utt?a2uxx?f(x,t). ?为弦振动的传播速度，则

2自由振动(f?0): utt?auxx?0(齐次方程)。

小结1：对于弦的横振动、杆的纵振动方程（一根弹性均匀细杆的微小振动问题）、薄膜的横振动方程（张紧的柔软膜的微小振动问题），在不受外力情况下，其振动的微分方程为：

utt?a2?2u（齐次方程）

其中a为振动的传播的速度。当单位质量所受外力为f时，其振动微分方程为：

utt?a2?2u?f（非齐次方程）

7.1.2 定解问题

第一节从物理问题和相应的物理定律导出了其所满足的偏微分方程，但总是选择物体内

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部，不含端点或边界，对一小部分来讨论其运动状况，仅反映了物体内部各部分之间的相互联系，且在区域内部相邻之间、相继时刻之间的这种联系（规律）通常与周围环境（边界上）和初始时刻对象（体系）所处的状态无关。

仅有方程还不足以确定物体的运动，因为外界的作用通常是通过物体边界“传”到内部的；一个方程可能有多个解，通解中含若干任意常数（函数），初始条件和边界条件就是确定它们的条件。

求一个微分方程的解满足一定初始条件和边界条件的问题称为定解问题：

?初始条件?泛定方程&?边界条件

定解条件??衔接条件?自然条件。?1. 初始条件

??u(x,t)t?0??(x)，即已知初位移?(x)和初速度?(x) ???ut(x,t)t?0??(x).2. 边界条件 i.

第一类边界条件-狄利克雷条件（Dirichlet边界条件）：直接给出了未知函数在边界上的值。

ii.

第二类边界条件-诺依曼条件（Neumann边界条件）：给出未知函数在边界上法向导数的值。

自由端点边界（端点不受外力，自由振动，意味着弦张力在振动方向无分量）属于此类，边界条件为ux(0,t)?0或ux(l,t)?0

iii.

第三类边界条件-罗宾条件：给出未知函数和其边界法向导数在边界上的线性关系。

弹性支撑边界（端点受到弹簧的约束而无外力）属于此类，边界条件为：

ux(0,t)?hu(0,t)?0

Note：初始条件和边界条件是场运动规律的极限。

例1．对弦的横振动问题导出下列情况的定解条件：弦的两端点x?0和x?l固定，用手将弦上的点x?c(0?c?l)拉开使之与平衡位置的偏离为h（h??l），然后放手。

解：两端固定，所以边界条件为：u(0,t)?0,u(l,t)?0

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由点x?c的初始位移求出其他点的初始位移，它们是两段直线方程，容易求得：

?hx， (0?x?c)??c u(x,0)??(x)??h?(l?x)， (c?x?l)?l?c?显然，初速度为零：ut(x,0)?0

第二节 齐次方程混合问题的傅里叶解

——分离变量法 本征值问题

Abstract：求解数理方程定解问题的方法有分离变量法、行波法、积分变换法、变分法、复变函数论等，这些方法各有千秋。分离变量法普遍适用，在其使用条件下，自然导致了问题的核心—本征值问题。

求解常微分方程：一般先求通解，再用初始/边界条件定其参数；求解偏微分方程，即使求得通解，亦难于由定解条件来定解（含任意函数）—本征值问题可解决此类问题。

7.2.1 利用分离变量法求解齐次弦振动方程的混合问题

分离变量法：把二元函数u(x,t)表示为两个一元函数相乘u(x,t)?X(x)?T(t)；然后带入函数的二阶偏微分齐次方程utt?a2uxx?0，把偏微分方程化为两个常微分方程；把偏微分方程的边界条件转化为常微分方程的边界条件。

题型I：方程和边界条件都是齐次的，而初始条件是非齐次的。 例题1：下面以两端固定弦的自由振动为例(第一类齐次边界条件):

?utt?a2uxx?0 ?0?x?l?,?? ?ux?0?0; ux?l?0,???ut?0??(x); utt?0??(x).注意这里的边界条件。

第一步, 分离变量，将二阶偏微分方程转化为两个常微分方程。

设u(x,t)?X(x)T(t)[取此特解形式，可得驻波解：T(t)是振荡函数，而与x无关，

X(x)是幅度函数，与t无关],将此u(x,t)?X(x)T(t)代入泛定方程，即得

X(x)T??(t)?a2X??(x)T(t).

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