对两圆的位置关系的讨论 课后练习一及详解

学科：数学

专题：对两圆的位置关系的讨论 主讲教师：黄炜 北京四中数学教师

重难点易错点解析 题一：

题面：已知⊙O1与⊙O2相切，两圆半径分别为3和5，则圆心距O1O2的值是 ． 金题精讲 题一：

题面：如图，实线部分是半径为15m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长是_______m.

满分冲刺 题一：

题面：如图，在三个同样大小的正方形中，分别画一个内切圆．面积为S

1（图甲所示）；画四个半径相等、相邻两圆相互外切、与正方形各边都相切的圆，这四个圆的面积和为S4，（图

乙所示）；画九个半径相等、相邻两圆相互外切、边缘圆与正方形各边都相切的圆，这九个圆的面积之和为S9，（图丙所示）；则S1，S4和S9的大小关系是（ ）

A．S1最大 题二：

B．S4最大 C．S9最大

D．一样大

题面：已知：AB为⊙O的直径，P为AB弧的中点． （1）若⊙O′与⊙O外切于点P（见图甲），AP、BP的延长线分别交⊙O′于点C、D，连接CD，则△PCD是 三角形； （2）若⊙O′与⊙O相交于点P、Q（见图乙），连接AQ、BQ并延长分别交⊙O′于点E、F，请选择下列两个问题中的一个作答： ．．问题一：判断△PEF的形状，并证明你的结论；

问题二：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论.

我选择问题 ，结论： . 证明：

题三：

题面：已知：⊙O1与⊙O2相交于点A、B，过点B作CD⊥AB，分别交⊙O1和⊙O2于 点C、D.

（1）如图8，求证：AC是⊙O1的直径； （2）若AC＝AD，

① 如图9，连结BO2、O1 O2，求证：四边形O1C BO2是平行四边形；

︵

② 若点O1在⊙O2外，延长O2O1交⊙O1于点M，在劣弧MB上任取一点E（点E与点B不重

︵

合）. EB的延长线交优弧BDA于点F，如图10所示. 连结 AE、AF.

则AE AB（请在横线上填上 “≥、≤、＜、＞”这四个不等号中的一个）并加以证明.

图 8

图 9

图 10

题四：

题面：如图，⊙O1、⊙O2的圆心O1、O2在直线l上，⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm，O1O2＝8cm. ⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动，在此过程中，⊙O1与⊙O2没有出现的位置关系是（ ） A. 外切 B.相交 C.内切 D. 内含

课后练习详解

重难点易错点解析 题一：

答案：2或8

解析：∵⊙O1与⊙O2相切，两圆半径分别为3和5，

∴当两圆外切时，有O1O2＝R＋r＝5＋3＝8；当两圆内切时，有O1O2＝R－r＝5－3＝2． 综上所述，圆心距O1O2的值是2或8． 金题精讲 题一：

答案：40π

解析：如图，连接O1O2，O1A，O1B，O2A，O2B， 因为⊙O1和⊙O2是等圆，

∴△O1O2A，△O1O2B都是等边三角形， ∴∠AO1B=∠AO2B=120°，

240

∴周长为：2××2π×15=40π，因此答案为40π

360

满分冲刺 题一： 答案：D

题二：

答案：(1)等腰直角

(2)问题一：△PEF是等腰直角三角形 证明：连接PA、PB

∵AB是直径，∴∠AQB＝∠EQF＝90° ∴EF是⊙O′的直径，∴∠EPF＝90° 在△APE和△BPF中：∵PA＝PB，∠PBF＝∠PAE ∠APE=∠BPF=90°+∠EPB，∴△APE≌△BPF ∴PE=PF，∴△PEF是等腰直角三角形 问题二：AE=BF 证明：连接PA、PB

∵AB是直径，∴∠AQB＝∠EQF＝90° ∴EF是⊙O′的直径，∴∠EPF＝90° 在△APE和△BPF中：∵PA＝PB，∠PBF＝∠PAE ∠APE=∠BPF=90°+∠EPB，∴△APE≌△BPF ∴AE=BF.

解析：本题第(1)比较简单，容易得出答案.当⊙O′与⊙O的位置关系发生变化后，结论不变，因此可以从(1)中学习到如何在两个圆之间进行转化角的关系，从而解决问题.

本题第(2)个问题中的问题一和问题二是难度相当，得出一个就能得出另外一个，从而保证考试的公开性. 题三：

答案：(1) 证明：∵ CD⊥AB ∴∠ABC＝90°

∴ AC是⊙O1的直径 (2)

① 证明1：∵ CD⊥AB ∴∠ABD＝90° ∴ AD是⊙O2的直径 ∵ AC＝AD

∵ CD⊥AB ∴CB＝BD ∵ O1、O2分别是AC、AD的中点

∴ O1O2∥CD且 O1O2＝CB

2

∴ 四边形O1C BO2是平行四边形 证明2：∵ CD⊥AB ∴∠ABD＝90° ∴ AD是⊙O2的直径 ∵ AC＝AD

∵ CD⊥AB ∴CB＝BD

∵ B、O2分别是CD、AD的中点

1

∴ BO2∥AC且 BO2＝＝O1C

2

∴ 四边形O1C BO2是平行四边形 证明3：∵ CD⊥AB ∴∠ABD＝90° ∴ AD是⊙O2的直径 ∵ O1、O2分别是AC、AD的中点

∴ O1O2∥CD

∵ CD⊥AB ∴ CB＝BD ∴ B是CD的中点

∴O2B∥O1C ∴四边形O1C BO2是平行四边形 证明4：∵ CD⊥AB ∴∠ABD＝90° ∴ AD是⊙O2的直径 ∵ AC＝AD

∴ O1C＝O2B ∴ ∠C＝∠D ∵ O2B＝O2D

∴∠O2B D＝∠D

∴∠C＝∠O2B D ∴O2B∥O1C

∴四边形O1C BO2是平行四边形 ② AE ＞ AB

︵

证明1：当点E在劣弧MC上(不与点C重合)时， ∵ AC＝AD

∴ ∠ACD＝∠ADC

∴ ∠AEB＝∠ACD＝∠ADC＝∠AFB ∴ AE＝AF 记AF交BD为G ∵ AB⊥CD ∴ AF＞AG＞AB

当点E与点C重合时，AE＝AC＞AB

︵

当点E在劣弧CB上 (不与点B重合) 时，设AE交CD与H， AE＞AH＞AB 综上，AE＞AB.

︵

证明2：当点E在劣弧MC上(不与点C重合)时，

连结EC、DF ，∵ AD是⊙O2的直径，即∠AFD＝90° ∠EAC＝∠EBC＝∠DBF＝∠DAF

∵ AC＝AD 直角△AFD≌直角△AEC ∴ AE＝AF （下同证明1）

︵

证明3：当点E在劣弧MC上(不与点C重合)时，

连结EC、DF ，∵ AD是⊙O2的直径，即∠AFD＝90°

∵ ∠DBF＝∠DAF ∴∠ADF＋∠DBF＝90° 又∵ ∠DBF＝∠EBC ∠ABE＋∠EBC＝90° ∴ ∠ADF＝∠ABE

∵ ∠ABE＝∠ACE ∴∠ADF＝∠ACE ∵ AC＝AD ∴ 直角△AFD≌直角△AEC ∴ AE＝AF （下同证明1）

解析：(1) 要证明AC是⊙O1的直径，只要说明∠ABC＝90°就行.

(2)本题有两个小问，根据平行四边形 的判定方法，容易找出条件.②问要通过直角的斜边大于直角边来找出AE与AB的关系.解决第(2)小问时，要注意分情况讨论点E的位置. 题四：

答案：D

解析：两圆的圆心距从8cm变化到1cm，两圆的半径之和为5cm，半径之差为1cm，因此在圆心距的变化过程中，出现过r1＋r2＜d、r1＋r2＝d.、r1－r2＜d ＜r1＋r2、r1－r2＝d四种情况，即出现过外离、外切、相交、内切四种情况，没有出现内含，故选D．

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