导数的概念及导数的几何意义

导数的概念及导数的几何意义 一．知识梳理

1、导数的概念及意义

求函数y?f(x)在x0处的导数的步骤：

（1）求函数的改变量?y?f?x0??x??f?x0?；

?y? ； ?x（3）取极限，得导数y?? .

（2）求平均变化率

特别提醒：f/(x0)的定义式并不唯一，f?(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)，也可以写成

?xf(x0)?f(x0??x)f(x)?f(x0)等形式. ,lim?x?0x?x0?xx?x0特别提醒：注意f?(x)与f?(x0)的区别与联系

曲线C:y?f(x)在点（x0，y0）处的导数的几何意义是f(x)在该点处的切线的 ，即k? .切线方程为 . 物理意义:设物体运动规律是s?s(t),则 表示物体在t=t0时刻的瞬时速度；设v?v(t)是速度函数，则 表示物体在t=t0时刻的加速度. lim2.常用导数公式

(1).若f(x)?c,则f?(x)?_______;(2).若f(x)?xn,则f?(x)?_______;(3).若f(x)?sinx,则f?(x)?_______;(4).若f(x)?cosx,则f?(x)?_______;(5).若f(x)?a,则f?(x)?_______;(6).若f(x)?ex,则f?(x)?_______;(7).若f(x)?logax,则f(x)??_______;(8).若f(x)?lnx,则f?(x)?_______.3.导数的运算法则 .

x

(1).?f(x)?g(x)???____________________________;(2).?f(x)?g(x)???____________________________;(3).?f(x)?g(x)???____________________________;(4).?Cf(x)???____________________________(C是常数);?f(x)??(5).???____________________________.g(x)??例1.用导数的定义求函数y?2x?3x?1在x?3处的导数.

例2.求下列函数的导数：

2

11（1）y?sinx?x3? ； （2）y?(2x?1)(3x?2)

33xex （3）y?tanx ； （4）y?elnx （5）y?

x?1x例3. 已知曲线y=x3?.

（1）求曲线在点（2，4）处的切线方程； （2）求曲线过点（2，4）的切线方程.

1343ax,f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切.2x?b(1)求函数f(x)的解析式； （2）若P(x0,y0)为f(x)图象上任意一点，直线l与f(x)的图象相切例4. 已知函数f(x)?于P点，求直线l的斜率k的取值范围.

例5.(1)求抛物线y=x2上点到直线x?y?2?0的最短距离. a2-2lna3c?422 (2)若实数a、b、c、d满足??1,求（a-c）?（b-d）的最小值.bd

巩固练习

1.知f(x)??x2,则lim?x?0f(3??x)?f(3)的值是________．

?x2.函数y?3x在x?1处的导数为_______;

3.设曲线y?ax2在点（1，a）处的切线与直线2x?y?6?0平行，则a?________． 4.若曲线y?x4的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直,则直线l的方程为________． 5.设P为曲线C：且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为?0，?，y?x2?2x?3上的点，则点P横坐标的取值范围为________． 6.函数

????4?y?f(x)的图像在点M(1,f(1))处的切线方程是

y?1x?2,f(1)?f/(1)= . 27. 直线y = kx与曲线y?2ex相切，则实数k = ．

8.已知函数y?xlnx.

（1） 求这个函数的导数；（2）这个函数在点x?1处的切线方程.

5. 求双曲线y?

11过点(2,)的切线方程。 x2

6.已知函数f?x??x3?3ax2?3bx在x?1处的切线为12x?y?1?0，求函数f?x?的解析式．

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