2013高考数学分类汇总 考点25 数列求和及综合应用

考点25 数列求和及综合应用

一、选择题

1. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ12）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，cn＋an

△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝2，bn＋an

cn＋1＝2，则（ ）

A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列

C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 【解析】选B.因为an?1?an，bn?1?bn?1?cn?1?cn?anb?a，cn?1?nn，所以an?a1，22cn?anbn?an11?(bn?cn)?an?(bn?cn)?a1 ?22221(bn?cn?2a1)，注意到b1?c1?2a1，所以bn?cn?2a1. 2bn?1?cn?1?2a1?于是?AnBnCn中，边长BnCn?a1为定值，另两边的长度之和为bn?cn?2a1为定值. 因为bn?1?cn?1?cn?anbn?an1??(bn?cn)， ?22212所以bn?cn?(?)n?1(b1?c1)，当n???时，有bn?cn?0，即bn?cn，于是?AnBnCn的边BnCn的高hn随n增大而增大，于是其面积Sn?|BnCn|hn?a1hn为递增数列. 二、填空题

2.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ14）若数列{an}的前n项和Sn?an?，则{an}的通项公式是an?_________ 【解题指南】先利用S1=a1求出a1的值,再利用Sn-Sn-1=an求出通项公式an.

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12122313【解析】由S1?a1??a1，解得a1?1，又Sn?an?，所以

Sn?Sn?1?22aan?an?1?an，得n??2 ，所以数列{an}是首项为1，公比为?2的等33an?123132313比数列.故数列的通项公式an?(?2)n?1 【答案】(?2)n?1

3. （2013·湖南高考理科·Ｔ15） 设Sn为数列?an?的前n项和，Sn?(?1)nan?（1）a3?_____；

（2）S1?S2?????S100?___________.

【解题指南】（1） 令n?3，n?4代入 即可得到答案. （2）通过an?sn?sn?1?(?1)nan?an?an?1?11n?1?(?1)a?整理可发现当当n为偶数时有n?12n?1221,n?N?,则 n21，于是代入第（2）问的展开式即可得到答案. 2n?1111【解析】（1）因为a1?s1??a1?，所以a1??，s3?a1?a2?a3??a3? ①，

428111s4?a1?a2?a3?a4?a4?，即a1?a2?a3?? ②， 把②代入①得a3??.

16161611（2）因为当n?2时，an?sn?sn?1?(?1)nan?n?(?1)n?1an?1?n?1，整理得

2211(1?(?1)n)an?(?1)n?1an?1?n，所以，当n为偶数时，an?1??n，

2211当n为奇数时，2an?an?1?n，所以an?1?n?1，

22所以an???,n为奇数2n?11，n为偶数2n1，所以当n为偶数时，an?an?1?121， n?12所以s1?s2?s3?s4???s99?s100??a1??a2??a99?11?a??? 3222311?a??(a2?a1)?(a4?a3)???(a100?a99)? 100991002211111111111(?2?3??100)?(?3?5??99)?(?2??100) 22222222222- 2 -

1111(1?50)(1?100)211114?22?2?(1?100)?(1?100)?(100?1).

11322321?1?42111【答案】（1）? （2）(100?1)

16324. （2013·重庆高考理科·Ｔ12）已知?an?是等差数列，a1?1，公差d?0，Sn为其前n项和，若a1、a2、a5成等比数列，则S8? 【解题指南】先根据a1、a2、a5成等比数列求出数列的公差,然后根据公式求出S8. 【解析】因为a1、a2、a5成等1比数列, a1?1所以(1?d)2?1?4d,化简得d2?2d 因为d?0,所以d?2,故S8?8a1?【答案】64 三、解答题

x?1??x?. 5.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ22）已知函数f?x?=ln?1?x??1?x8?7d?8?56?64. 2（I）若x?0时,f?x??0,求?的最小值;；

（II）设数列?an?的通项an?1???????,证明：a2n?an?(1?2?)x??x2【解析】（I）f?(x)?， 2(1?x)1?2?(1?2?)x??x2x?0x?令f?(x)?0，即，解得或 ?0?(1?x)21

21

若??，则x?0时，f￠(x)<0，f(0)=0，所以f(x)?0.

2

1综上?的最小值为.

21

（II）令??，由（I）知，x?0时，f(x)?0.

2

x(2?x)?ln(1?x). 即

2?2x12131n1?ln2. 4n若??，则0?x?2(1?2?)时， f?(x)?0，所以f(x)?0.

取x?，则

1k2k?1k?1?ln.

2k(k?1)k- 3 -

2n?12n?112n?1112k?1k?1?ln2n?lnn?ln2. 于是a2n?an???(?)??()??ln4nk?n2k2(k?1)kk?n2k(k?1)k?n所以a2n?an?1?ln2 4n6.(2013·浙江高考文科·T19)在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列. (1)求d,an.

(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

【解题指南】(1)由a1,2a2+2,5a3成等比数列可以求得a1与d的关系,进而可求得d与an.

(2)由d<0,先判断该数列从第几项开始大于零,从第几项开始小于零,再根据等差数列前n项和的性质求解.

【解析】(1)由题意得,5a3·a1=(2a2+2)2,

d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以an=-n+11或an=4n+6. (2)设数列{an}前n项和为Sn, 因为d<0,所以d=-1,an=-n+11,则 n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+

1221n; 2n≥12时,|a1|+|a2|+…+|a11|+|a12|+…+|an|=a1+a2+…+a11-a12-…-an=S11-(Sn-S11)= -Sn+2S11=n2-1221n +110. 21221??n?n,n≤11,??22综上所述,|a1|+|a2|+…+|an|=?

121?n2?n?110,n≥12.??227. （2013·重庆高考文科·Ｔ16）设数列?an?满足：a1?1，an?1?3an，n?N?． （Ⅰ）求?an?的通项公式及前n项和Sn；

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（Ⅱ）已知?bn?是等差数列，Tn为前n项和，且b1?a2，b3?a1?a2?a3，求T20． 【解题指南】直接根据递推关系可求出数列的通项公式及前n项和,再利用题目中所给条件求解T20.

【解析】（Ⅰ）由题设知?an?是首项为1,公比为3的等比数列,所以an?3n?1,

1?3n1nSn??3?1.

1?32??（Ⅱ）b1?a2?3,b3?1?3?9?13,b3?b1?10?2d,所以公差d?5， 故T20?20?3?20?19?5?1010. 28.（2013·上海高考理科·T23）给定常数c>0,定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数列a1,a2,a3,…,满足an+1=f(an),n∈N*. (1)若a1=-c-2,求a2及a3. (2)求证:对任意n∈N*,an+1-an≥c.

(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…,成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.

【解析】(1)a2=2,a3=c+10. (2)f(x)=

当an≥-c时,an+1-an=c+8>c.

当-c-4≤an<-c时,an+1-an=2an+3c+8≥2(-c-4)+3c+8=c; 当an<-c-4时,an+1-an=-2an-c-8>-2(-c-4)-c-8=c; 所以,对任意n∈N*,an+1-an≥c.

(3)由(2),结合c>0,得an+1>an,即{an}为无穷递增数列, 又{an}为等差数列,所以存在正数M,当n>M时,an>-c,

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从而an+1=f(an)=an+c+8,

由于{an}为等差数列,因此其公差d=c+8. ①若a1<-c-4,则a2=f(a1)=-a1-c-8, 又a2=a1+d=a1+c+8,故-a1-c-8=a1+c+8, 即a1=-c-8,从而a2=0,

当n≥2时,由于{an}为递增数列,故an≥a2=0>-c,所以an+1=f(an)=an+c+8, 而a2=a1+c+8,故当a1=-c-8时,{an}为无穷等差数列,符合要求. ②若-c-4≤a1<-c,则a2=f(a1)=3a1+3c+8,

又a2=a1+d=a1+c+8,所以,3a1+3c+8=a1+c+8,得a1=-c,舍去. ③若a1≥-c,则由an≥a1得到an+1=f(an)=an+c+8, 从而{an}为无穷等差数列,符合要求. 综上a1的取值集合为{-c-8}∪[-c,+∞).

9.（2013·上海高考文科·T22）已知函数f(x)?2?x，无穷数列?an?满足an+1=f(an),n∈N*

（1）若a1=0，求a2，a3，a4；

（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值.

（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由. 【解析】(1)a2=2,a3=0,a4=2. (2)a2=2-|a1|=2-a1,a3=2-|a2|=2-|2-a1|. ①当0

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②当a1>2时,a3=2-(a1-2)=4-a1, 所以a1(4-a1)=(2-a1)2, 得a1=2-(舍去)或a1=2+. 综合①②得a1=1或a1=2+.

(3)假设这样的等差数列存在,那么a2=2-|a1|,a3=2-|2-|a1||. 由2a2=a1+a3得2-a1+|2-|a1||=2|a1|(*). 以下分情况讨论:

①当a1>2时,由(*)得a1=0,与a1>2矛盾; ②当0

③当a1≤0时,则公差d=a2-a1=(a1+2)-a1=2>0, 因此存在m≥2使得am=a1+2(m-1)>2. 此时d=am+1-am=2-|am|-am<0,矛盾.

综合①②③可知,当且仅当a1=1时,a1,a2,a3,…,构成等差数列.

10. （2013·江苏高考数学科·Ｔ19）设{an}是首项为a，公差为d的等差数列

(d?0)，Sn是其前n项和。记bn?nSn*n?N，，其中c为实数。 2n?c（1）若c?0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk?n2Sk（k,n?N*）； （2）若{bn}是等差数列，证明：c?0。

【解题指南】利用条件c?0，且b1，b2，b4成等比数列，求出Sn，再代入证明（2）利用条件{bn}是等差数列建立与c有关方程。 【证明】由题设知,Sn=na+

n(n?1)d. 2- 7 -

（1）若c?0，得bn?2Sn(n?1)d?a?.又因为b1,b2,b4成等比数列,所以b22?b1b4, n2d?3d?2?即：??a???a?a??，化简得d-2ad=0.因为d≠0,所以d=2a.

2?2???因此,对于所有的m∈N*,有Sm=m2a.

从而对于所有的k,n∈N*,有Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk. (2)设数列{bn}的公差是d1,则bn=b1+(n-1)d1, n∈N*, 代入Sn的表达式,整理得,对于所有的n∈N*,有

112

(d1?d)n3+(b1-d1-a+d)n+cd1n=c(d1-b1).

2211令A=d1-d,B=b1-d1-a+d,D=c(d1-b1),则对于所有的n∈N*,有An3+Bn2+cd1n=D.

22(*)

在(*)式中分别取n=1,2,3,4,得

A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1,

(1)?7A?3B?cd1?0?从而有?19A?5B?cd1?0(2)

?21A?5B?cd?0(3)1?由（2）（3）得A=0,cd1=-5B,代入方程（1）,得B=0,从而cd1=0. 即d1-d=0,b1-d1-a+d=0,cd1=0.

若d1=0,则由d1-d=0,得d=0,与题设矛盾,所以d1≠0. 又因为cd1=0,所以c=0.

11.（2013·湖南高考文科·Ｔ19）设Sn为数列{an}的前项和，已知a1?0，2an?a1?S1?Sn，n?N?

（Ⅰ）求a1，a2，并求数列｛an｝的通项公式； (Ⅱ) 求数列｛nan｝的前n项和。

121212- 8 -

【解题指南】（Ⅰ）本题是利用递推关系 an???S1,n?1, 求数列的通项公式 ；

?Sn?Sn?1,n?2,（Ⅱ）根据第(Ⅰ)问可知应利用错位相减法求数列前n项和. 【解析】（Ⅰ）令n?1，得2a1?a1?a12，因为a1?0，所以a1?1， 令n?2，得2a2?1?s2?1?a2，解得a2?2。当n?2时，由2an?1?sn

2an?1?1?sn?1，两式相减，整理得an?2an?1，于是数列?an?是首项为1，公比为2

的等比数列，所以，an?2n?1。

(Ⅱ)由(I )知nan?n2n?1，记其前n项和为Tn，于是 Tn?1?2?2?3?22???n?2n?1 ① 2Tn?1?2?2?22?3?23???n?2n ②

① -②得 ?Tn?1?2?22???2n?1?n?2n?2n?1?n?2n 从而Tn?1?(n?1)2n

12.（2013·江西高考理科·Ｔ17）正项数列{an}的前n项和Sn满足：

Sn2?(n2?n?1)Sn?(n2?n)?0

(1)求数列{an}的通项公式an. (2)令bn=5n+1n?N*T?，数列{b}的前n项和为T．证明：对于任意，都有. nnn2264(n+2)an【解题指南】(1)由题目中的等式求出Sn，然后由Sn求an；（2）化简bn，观察结构特征，选取求和的方法求Tn.

【解析】（1）由Sn2?(n2?n?1)Sn?(n2?n)?0得[Sn?(n2?n)](Sn?1)?0 由于?an?是正项数列，所以Sn?0,Sn?n2?n.于是，当n?2时，

an?Sn?Sn?1?(n2?n)?[(n?1)2?(n?1)]=2n,又因为a1?s1?2符合上式.综上，数列?an?的通项公式为an?2n.

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(2)因为an?2n，bn=则Tn??n+1111n+1，所以b=?[?]. n(n+2)24n216n2(n?2)2(n+2)2an2?1111???] 2222(n?1)(n?1)n(n?2)111111[1?2?2?2?2?2?16324351111115. [1?2??]?(1?)?162(n?1)2(n?2)216226413.（2013·江西高考文科·Ｔ16）正项数列｛an｝满足an2?(2n?1)an?2n?0. (1)求数列｛an｝的通项公式an； (2)令bn=

1(n?1)an，求数列｛bn｝的前n项和Tn.

【解题指南】借助二次三项式的因式分解来求an，分析｛bn｝通项公式的特点选择正确的求和方法.

【解析】(1)由an2?(2n?1)an?2n?0，得(an?2n)(an?1)?0.由于｛an｝是正项数列，所以an?2n. (2)由an?2n，bn=

1(n?1)an，则bn??1111?(?).

2n(n?1)2nn?1所以Tn?1(1?1?1?1?2223111111n???)?(1?)?. n?1nnn?12n?12(n?1)14.(2013·福建高考文科·T17)已知等差数列{an}的公差d=1,前n项和为Sn. (1)若1,a1,a3成等比数列,求a1. (2)若S5>a1a9,求a1的取值范围.

【解题指南】按等比中项列式,a3用通项表示,求出首项,第(2)问,直接按基本量列式求解.

【解析】(1)因为数列{an}的公差d=1,且1,a1,a3成等比数列,所以a12=1×(a1+2),即

a12-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2.

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(2)因为数列{an}的公差d=1,且S5>a1a9, 所以5a1+10>a12+8a1, 即a12+3a1-10<0,解得-5

15.（2013·广东高考理科·Ｔ19）设数列｛an｝的前n项和为Sn，已知

a1?1,2Sn12?an?1?n2?n?，n?N?. n33（1）求a2的值；

（2）求数列｛an｝的通项公式； （3）证明：对一切正整数n，有

11??a1a2?17?. an4【解题指南】本题以递推数列为背景，考查通项公式与前n项和的关系及不等式的证明，要注意转化思想、构造法、数学归纳法的应用.证明不等式的过程中，放缩的尺度要拿捏准确.

2Sn12?an?1?n2?n?中令n?1，可得a2?4； n3312n(n?1)(n?2)（2）由已知可得2Sn?nan?1?n3?n2?n，即2Sn?nan?1?①，则当n?2333(n?1)n(n?1)时，2Sn?1?(n?1)an?②，①?②可得2an?nan?1?(n?1)an?n(n?1)，也就是

3aaa(n?1)an?nan?1?n(n?1)，同除以n(n?1)可得n?1?n?1，数列{n}是公差为1的等

nn?1naa

差数列，且1?1，所以n?n，an?n2，显然a1?1也满足an?n2，即所求通项公

1n【解析】（1）因为a1?1，在

式为an?n2. （3）当n?1时，当n?2时，当n?3时，

117?2?1?结论成立； a11411157??1???结论成立； a1a244411111?2???，则annn(n?1)n?1n- 11 -

11??a1a2??1111?1??2?2?an434??1111?1????42?33?4n2?1n(n?1)51111?????423341171711????，即对一切n?N?，??n?1n4n4a1a2?17?成立. an416.（2013·广东高考文科·Ｔ19）设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，

2?满足4Sn?an?4n?1,n?N,且a2,a5,a14构成等比数列． ?1(1) 证明：a2?4a1?5； (2) 求数列?an?的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n，有

11??a1a2a2a3?11?． anan?12【解题指南】本题以递推数列为背景，考查通项公式与前n项和的关系及不等式的证明，要注意转化思想、构造法、数学归纳法的应用.证明不等式的过程中，放缩的尺度要拿捏准确.

22【解析】（1）当n?1时，4a1?a2?5,a2?4a1?5，因为an?0，所以a2?4a1?5；

222（2）当n?2时，4Sn?1?an?4?n?1??1，4an?4Sn?4Sn?1?an?1?an?4，22an?1?an?4an?4??an?2?，

2因为an?0，所以an?1?an?2，当n?2时，?an?是公差d?2的等差数列.

22因为a2,a5,a14构成等比数列，a5?a2?a14，?a2?6??a2??a2?24?，解得a2?3,

2由（1）可知，4a1?a2?5=4,a1?1，又因为a2?a1?3?1?2，则?an?是首项a1?1,公

差d?2的等差数列.数列?an?的通项公式为an?2n?1. （3）

11??a1a2a2a3?1111????anan?11?33?55?7?(?1?2n?1??2n?1?

111111?[(1?)?(?)?(?)?23355711111?)]?(1?)?. 2n?12n?122n?1217. （2013·山东高考理科·Ｔ20）设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1

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（Ⅰ） 求数列｛an｝的通项公式； （Ⅱ） 设数列｛bn｝的前n项和Tn，且Tn+（n∈N?）.求数列｛cn｝的前n项和Rn.

【解题指南】（Ⅰ）先设出等差数列的首项和公差，然后根据S4?4S2,a2n?2an?1可列方程组求得数列的通项公式；（Ⅱ）先根据前n 项和与通项的关系求出?bn? 的通项公式，由cn=b2n求出?cn? 的通项，再利用错位相减法求出Rn. 【解析】（Ⅰ）设等差数列?an?的首项为a1，公差为d， 由S4?4S2,a2n?2an?1得

4a1?6d?8a1?4d,? ?????a?2n?1d?2a?2n?1d?11?1an?1

= ?（?为常数），令cn=b2n，2n

解得a1?1,d?2， 因此an?2n?1,n?N*

n， 2n?1nn?1n?2所以n?2时，bn?Tn?Tn?1=?n?1?n?2?n?1

222（Ⅱ）由题意知Tn???2n?21?*故cn?b2n?2n?1??n?1????,n?N

2?4?1??1??1??1??1?所以Rn?0?????1??2??3??????n?1????????????4??4??4??4??4?1234n0123n?1n?1，

11??1??1??1??1?则Rn?0?????1????2????3?????????n?1????， 4?4??4??4??4??4?31??1??1??1??1?两式相减得Rn????????????????????4?4??4??4??4??4?n1234n?1?1???n?1???

?4?n1?1????nn11?3n?1?4?4??1???n?1????? ??? 133?4??4?1?4- 13 -

13n?1?整理得Rn???4?n?1?，

9?4?13n?1?所以 数列?cn?的前n项和Rn???4?n?1?.

9?4?18. （2013·山东高考文科·Ｔ20）设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1

（Ⅰ） 求数列｛an｝的通项公式； （Ⅱ）设数列?bn?满足

bb1b21??????n?1?n,n?N* ，求?bn?的前n项和Tn. a1a2an2【解题指南】（Ⅰ）先设出等差数列的首项和公差，然后根据S4?4S2,a2n?2an?1可列方程组求得数列的通项公式；（Ⅱ）先根据的通项公式,再利用错位相减法求出Tn.

【解析】（Ⅰ）设等差数列?an?的首项为a1，公差为d， 由S4?4S2,a2n?2an?1得

4a1?6d?8a1?4d,? ??a1??2n?1?d?2a1?2?n?1?d?1bb1b21??????n?1?n,n?N*求出bna1a2an2解得a1?1,d?2， 因此an?2n?1,n?N* （Ⅱ）由已知当n?1时，当n?2时，所以

bb1b21??????n?1?n,n?N*, a1a2an2b11?, a12bn1?1?1?1?n??1?n?1??n， an2?2?2bn1?n,n?N*， an2- 14 -

由（Ⅰ）知an?2n?1,n?N*，

2n?1,n?N*， n21352n?1又Tn??2?3?????n，

222211352n?32n?1Tn?2?3?4??????n?1， n222222所以bn?两式相减得Tn????321212222?2n?1， ?????????2?2223242n?2n?112n?1?， 2n?12n?1 ??所以Tn?3?2n?3. n219. （2013·陕西高考文科·Ｔ17）设Sn表示数列{an}的前n项和. (Ⅰ) 若{an}是等差数列, 推导Sn的计算公式; (Ⅱ) 若a1?1,q?0, 且对所有正整数n, 证明你的结论.

，n?1?S1【解题指南】倒序相加法推导等差数列的前n项和；利用an??，n?2?Sn?Sn?11?qn有Sn?1?q. 判断{an}是否为等比数列，并

推导an的通项公式判断是否为等比数列. 【解析】(Ⅰ) 设公差为d,则an?a1?(n?1)d，

?Sn?a1?a2???an?1?an?2Sn?(a1?an)?(a2?an?1)???(an?1?a1)?(an?a1)?S?a?a???a?ann?121?n?2Sn?n(a1?an)?Sn?n(a1?an)n?1?n(a1?d). 22(Ⅱ) {an}是等比数列.证明如下：

1?qn1?qn?11?qnqn?qn?1?an?1?Sn?1?Sn????qn， 因为Sn?1?q1?q1?q1?q又因为a1?1,q?0，所以当n≥1时，

- 15 -

an?1qn有?n?1?q, anq因此,数列{an}是首项1,公比q?0的等比数列.

20. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ17）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3?0，

S5?5.

（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列???1?的前n项和.

?a2n?1a2n?1?【解题指南】（Ⅰ）利用S3?0，S5?5求出等差数列的首项及公差，利用

an?a1?(n?1)d求出{an}的通项公式；

（Ⅱ）将（Ⅰ）中的通项公式，代入到?和.

??1?中，利用裂项相消法求前n项

?a2n?1a2n?1?【解析】（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，则Sn?na1?由已知可得??a?1.?3a1?3d?0,解得?1

?d??1.?5a1?10d??5.n(n?1)d. 2故{an}的通项公式为an?2?n. （Ⅱ）由（Ⅰ）知从而数列??11111??(?)，

a2n?1a2n?1(3?2n)(1?2n)22n?32n?1?1?的前n项和为

aa?2n?12n?1?1111111n(?????????)? 2?11132n?32n?11?2n- 16 -

an?1qn有?n?1?q, anq因此,数列{an}是首项1,公比q?0的等比数列.

20. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ17）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3?0，

S5?5.

（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列???1?的前n项和.

?a2n?1a2n?1?【解题指南】（Ⅰ）利用S3?0，S5?5求出等差数列的首项及公差，利用

an?a1?(n?1)d求出{an}的通项公式；

（Ⅱ）将（Ⅰ）中的通项公式，代入到?和.

??1?中，利用裂项相消法求前n项

?a2n?1a2n?1?【解析】（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，则Sn?na1?由已知可得??a?1.?3a1?3d?0,解得?1

?d??1.?5a1?10d??5.n(n?1)d. 2故{an}的通项公式为an?2?n. （Ⅱ）由（Ⅰ）知从而数列??11111??(?)，

a2n?1a2n?1(3?2n)(1?2n)22n?32n?1?1?的前n项和为

aa?2n?12n?1?1111111n(?????????)? 2?11132n?32n?11?2n- 16 -

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