2012年高一数学竞赛解答15

2012年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料 教练员 凌彬

平面几何竞赛基础15 ── 塞瓦定理及其逆定理

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爱因斯坦曾说：如果平面几何不能激起一个人的好奇心，那么这个人在科学上的发展也不会很远诶． 自学处理方法：先阅读完成例题解答，再独立完成练习并将解答回发jylingbin@ 邮箱，以便批阅反馈． 注意要求目的：要求独立完成，可以参阅资料．目的是开学后考试选拔100名思维好且钻研能力强的竞赛选手．

一、基本知识

定理：设M 是ΔABC 内任一点，连接AM ，BM ，CM 并延长，分别交对边于P ，Q ，R ；则有：

1=??RB

AR

QA CQ PC BP ；其逆命题也成立．

（提示：用面积法，逆命题用“同一法”证明）

证明：∵BP S BPA S BPM S BPA S BPM S BMA

PC S CPA S CPM S CPA S CPM S CMA

-====

- 同理

CQ S CMB QA S AMB

=

，AR S AMC RB S BMC = ∴BP CQ AR S BMA S AMC S CMB PC QA RB S CMA S BMC S AMB ??=??

=1 二、重要例题

例1．如图，在ΔABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，设BE

与CD 交于S ，求证：AS 通过BC 边的中点M ．（提示：直接使用定理）

证明：∵S 为△ABC 内一点

∴

AD BM CE

1DB MC EA ??= ∵DE ∥BC ∴AD AE DB EC = ∴BM 1MC

= 即M 为BC 中点

例2．如图，设ΔABC 的内切圆与三边BC ，CA ，AB 分别切于R ，S ，T ；

试证：AR ，BS ，CT 交于一点．（提示：直接使用定理） 证明：∵AB,BC,CA 为圆外切线 ∴AT=AS,BT=BR,CR=CS ∴AT BR CS 1TB RC SA

??= ∴AR ，BS ，CT 交于一点

A

B

C

M

R

P

Q

A

B

C

D

E

S

M

B C

R

2012年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料 教练员 凌彬

2

例3．如图，以ΔABC 的边BC ，CA ，AB 为边向外作正方形；A 1，B 1，C 1是正方形的边BC ，CA ，

AB 的对边的中点；试证明：AA 1，BB 1，CC 1相交于一点．（提示：用面积转化比，三角形的面

积公式可用111

sin sin sin 222

ABC S ab C bc A ac B ?=∠=∠=∠）

证明：1

1ABA 2112ACA 11S BA BA sin ABA AB AB sin(B )

A C S AC CA sin ACA AC sin(C )

??∠∠+φ==??=?

∠∠+φ

其中11CBA BCA arctan 2φ=∠=∠= 同理

2222CB AC BC sin(C )

AC sin(A )

B A AB sin(A )

C B BC sin(B )

∠+φ∠+φ=?=?∠+φ∠+φ 三式相乘

222

222BA CB AC 1A C B A C B

?? ∴AA 1，BB 1，CC 1相交于一点

三、巩固练习15 （以下两道题的解答要回发到邮箱jylingbin@ ） 1．如图1，已知ΔABC 中，M 是BC 的中点，AD 平分∠BAC ，B 在AD 上的射影为E ，BE 交AM 于N ，求证：DN ∥AB

延长BE,AC 交于F 点，延长EM 交AB 于G 点 ∵∠BAE=∠FAE,AE=AE, AE ⊥BF ∴△ABE ≌△ACE ∴BE=EF ∴EM ∥AF

易知G 为AB 中点

由塞瓦定理得AG BN ED

1GB NE DA

??=

∴BN ED 1NE DA ?= ∴ED NE DA BN = ∴DN ∥AB

2．如图2，设P 是ΔABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别与BC ，CA ，AB 交于D ，E ，F ；过D ，E ，F

三点作圆与三边又交于D 1，E 1，F 1；求证：AD 1，BE 1，CF 1三线交于一点． ∵P 为△内一点 ∴AF BD CE 1FB DC EA ??= ∴BD AF CE 1FB EA DC

??= 由割线定理知11BF BF BD BD ?=? ∴

11B BD F F B BD =,同理11A AF E E A AF =, 1

1

C CE

D D C C

E = ∴

111

111

BF AE CD BD AF 1CE ??= A 1

B 1

C

1

A

B

C

A 2

B 2

C 2

F 1

D 1

E 1P A

B

C

D

E

F

图2

2012年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料 教练员 凌彬 3 ∴111111BF AE CD F A E C 1D B

??= ∴AD 1，BE 1，CF 1三线交于一点

3．在ΔABC 中，D ，D 1在BC 边上；E ，E 1在AC 边上；F ，F 1在AB 边上；且直线AD 与AD 1，BE

与BE 1，CF 与CF 1分别关于∠A ，∠B ，∠C 的角平分线对称；若AD ，BE ，CF 三线共点时，则AD 1，BE 1，CF 1三线也共点．

在△ACF 1与△BCF 1，利用正弦定理有

111111

AF sin ACF F C sin B ,F C sin A BF sin BCF ∠∠==∠∠ ∴11111111AF AF F C sin ACF sin B BF F C BF sin BCF sin A ∠∠=?=?∠∠，同理得

1111BD sin BAD sin C D C sin D AC sin B ∠∠=?∠∠,1111CE sin CBE sin A E A sin ABE sin C

∠∠=?∠∠ ∴111111111111

AF BD CE sin ACF sin BAD sin CBE F C D C E A sin BCF sin D AC sin ABE ∠∠∠??=??∠∠∠ ∵关于角平分线对称

∴∠ACF 1=∠BCF, ∠BCF 1=∠ACF, ∠BAD 1=∠CAD, ∠CAD 1=∠BAD, ∠ABE 1=∠CBE, ∠

CBE 1=∠ABE ∴111111AF BD CE sin BCF sin CAD sin ABE BF DC AE 1F C D C E A sin ACF sin BAD sin CBE AF BD CE

∠∠∠??=??=??=∠∠∠ ∴AD 1，BE 1，CF 1三线也共点

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