保险精算习题

1．确定10000元在第3年年末的积累值:

(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。

2．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。

t3．基金A以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B以利息强度?t?6积累，在时刻t (t=0)，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。

4. 基金X中的投资以利息强度?t?0.01t?0.1(0≤t≤20), 基金Y中的投资以年实际利率i积累；现分别投资1元，则基金X和基金Y在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y的积累值。

5.某银行推出2年期存单，年利率为9%，存款者若提前支取则面临两种可供选择的惩罚方式：变为活期存款，年利率为7%；损失3个月的利息。某存款人拥有这种存单但要在第18个月末时支取，试问该人该选择哪种惩罚方式？

第二章：年金

练习题

nm1．证明v?v?iam?an。

??√2．某人购买一处住宅，价值16万元，首期付款额为A，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付10年。年计息12次的年名义利率为8.7% 。计算购房首期付款额A。 √3. 已知a7?5.153 , a11?7.036, a18?9.180, 计算 i。

√4．某人从50岁时起，每年年初在银行存入5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取10年。年利率为10%，计算其每年生活费用。 √5．年金A的给付情况是：1～10年，每年年末给付1000元；11～20年，每年年末给付2000元；21～30年，每年年末给付1000元。年金B在1～10年，每年给付额为K元；11～20年给付额为0；21～30年，每年年末给付K元，若A与B的现值相等，已知v计算K。

1020 √6． 化简a101?v?v ，并解释该式意义。

10?1，2?? √7. 某人计划在第5年年末从银行取出17 000元，这5年中他每半年末在银行存入一笔款项，前5次存款每次为1000元，后5次存款每次为2000元，计算每年计息2次的年名义利率。

√8. 某期初付年金每次付款额为1元，共付20次，第k年的实际利率为

1，计算8?kV(2)。

√9. 某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第1到n年每年末平分所领取的年金，n年后所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等,那么v=( )

?1? A. ?? B. 3n C.

?3?1n1?1?n?? D.3 ?3?2n 11. 延期5年连续变化的年金共付款6年，在时刻t时的年付款率为?t?1?,t时刻的利息强度为1/(1+t),该年金的现值为（ ）

A.52 B.54 C.56 D.58

第三章：生命表基础

练习题

1．给出生存函数s?x??e?x22500，求：

(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。 (2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。 (3)人能活到70岁的概率。

(4)50岁的人能活到70岁的概率。

2. 已知Pr［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr［T(60)＞5］=0.92094，求q60。 3. 已知q80?0.07，d80?3129，求l81。

4. 设某群体的初始人数为3 000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。 5. 如果?x?22?,0≤x≤100, 求l0=10 000时，在该生命表中1岁到4岁x?1100?x之间的死亡人数为（ ）。

A.2073.92 B.2081.61 C.2356.74 D.2107.56

6. 已知20岁的生存人数为1 000人，21岁的生存人数为998人，22岁的生存人数为992人，则|q20为（ ）。

1 A. 0.008 B. 0.007

C. 0.006 D. 0.005

第四章：人寿保险的精算现值

练 习 题

1. 设生存函数为s?x??1?元)：

(1)趸缴纯保费ā1的值。 30:10 (2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z的方差Var(Z)。

2． 设年龄为35岁的人，购买一张保险金额为1 000元的5年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡的保单年度末给付，年利率i=0.06，试计算： (1)该保单的趸缴纯保费。

(2)该保单自35岁～39岁各年龄的自然保费之总额。 (3)(1)与(2)的结果为何不同？为什么？

3. 设Ax?0.25, Ax?20?0.40, Ax:20?0.55, 试计算： （1） Ax:20 。

1x (0≤x≤100)，年利率i=0.10，计算(保险金额为1100 （2） Ax:20 。

1 4． 试证在UDD假设条件下： (1) Ax:n?1i?A1x:n 。

1 (2) āx:n?Ax:n?i?A1 。 x:n 5． (x)购买了一份2年定期寿险保险单，据保单规定，若(x)在保险期限内发生保险责任范围内的死亡，则在死亡年末可得保险金1元，qx?0.5,i?0,Var?z??0.1771 ，试求

qx?1。

6．已知，A76?0.8,D76?400,D77?360,i?0.03,求A77 。

7． 现年30岁的人，付趸缴纯保费5 000元，购买一张20年定期寿险保单，保险金

于被保险人死亡时所处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。

1年时段末给付1个单位的终身寿险，设k是自保m1单生效起存活的完整年数，j是死亡那年存活的完整年的时段数。

m 8． 考虑在被保险人死亡时的那个 (1) 求该保险的趸缴纯保费 Ax。

(m) (2) 设每一年龄内的死亡服从均匀分布，证明Ax(m)?ii(m)Ax 。

9． 现年35岁的人购买了一份终身寿险保单，保单规定：被保险人在10年内死亡，给付金额为15 000元；10年后死亡，给付金额为20 000元。试求趸缴纯保费。

10．年龄为40岁的人，以现金10 000元购买一份寿险保单。保单规定：被保险人在5年内死亡，则在其死亡的年末给付金额30 00元；如在5年后死亡，则在其死亡的年末给付数额R元。试求R值。

11． 设年龄为50岁的人购买一份寿险保单，保单规定：被保险人在70岁以前死亡，给付数额为3 000元；如至70岁时仍生存，给付金额为1 500元。试求该寿险保单的趸缴纯保费。

12． 设某30岁的人购买一份寿险保单，该保单规定：若(30)在第一个保单年计划内死亡，则在其死亡的保单年度末给付5000元，此后保额每年增加1000元。求此递增终身寿险的趸缴纯保费。

13． 某一年龄支付下列保费将获得一个n年期储蓄寿险保单：

(1)1 000元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为750元。 (2)1 000元储蓄寿险，被保险人生存n年时给付保险金额的2倍，死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为800元。

若现有1 700元储蓄寿险，无保费返还且死亡时无双倍保障，死亡给付均发生在死亡年末，求这个保险的趸缴纯保费。

14． 设年龄为30岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单，依保单规定：被保险人在第一个保单年度内死亡，则给付10 000元；在第二个保单年度内死亡，则给付9700元；在第三个保单年度内死亡，则给付9400元；每年递减300元，直至减到4000元为止，以后即维持此定额。试求其趸缴纯保费。

15. 某人在40岁投保的终身死亡险，在死亡后立即给付1元保险金。其中，给定

lx?110?x,0≤x≤110。利息力δ=0.05。Z表示保险人给付额的现值，则密度fz?0.8?等

于（ ）

A. 0.24 B. 0.27 C. 0.33 D. 0.36

IA???IA?? 16. 已知在每一年龄年UDD假设成立，表示式

xxA?( )

A.

i???2 B.

?1?i??2

C.

11i?i?? D. ??1? d?????

17. 在x岁投保的一年期两全保险，在个体（x）死亡的保单年度末给付b元，生存保险金为e元。保险人给付额现值记为Z, 则Var(Z)=( )

22 A. pxqxv?b?e? B. pxqxv?b?e? 22 C. pxqxvb?e22?2? D. v?bq22x?e2px?

第五章：年金的精算现值

练 习 题

1． 设随机变量T＝T(x)的概率密度函数为f(t)?0.015?e?0.015tδ＝0.05 。试计算精算现值 ax 。 2．设 ax?10, ax?7.375, VaraT2(t≥0)，利息强度为

（1）?；（2）ā???50。试求：

x 。

3． 某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年

所得年金额。

4． 某人现年23岁，约定于36年内每年年初缴付2 000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止，所缴付款额也不退还。而当此人活到60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。试求此人每次所获得的年金额。

5． 某人现年55岁，在人寿保险公司购有终身生存年金，每月末给付年金额250元，试在UDD假设和利率6%下，计算其精算现值。 6． 在UDD假设下，试证： (1)

n|??x(m)??(m)n|a??x???m?nEx 。 a??x:n??(m)a??x:n???m?(1?nEx) 。 (2) a(m)??x:n? （3）ax:n?a(m)(m)1(1?nEx) 。 m 7． 试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值，且给付方法为：(1)按年；(2)按半年；(3)按季；(4)按月。 8． 试证：

??x (1)a(m)??i(m)ax ax:n 。

??x:n? (2)a(m)?i(m)??x (3) limam??(m)?ax 。 1 。 2??x? (4) ax?a 9． 很多年龄为23岁的人共同筹集基金，并约定在每年的年初生存者缴纳R元于此

项基金，缴付到64岁为止。 到65岁时，生存者将基金均分，使所得金额可购买期初付终身生存年金，每年领取的金额为3 600元。试求数额R。

??x?10， 10． Y是x岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量，已知 a

2??x?6，i?a1 ，求Y的方差。 24 11． 某人将期末延期终身生存年金1万元遗留给其子，约定延期10年，其子现年30岁，求此年金的精算现值。

12． 某人现年35岁，购买一份即付定期年金，连续给付的年金分别为10元、8元、

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