一元二次方程经典例题

一元二次方程应用题经典题型汇总

一 几何图形转换问题

例1、（2013?昆明）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）

2

A． 100×80﹣100x﹣80x=7644 C． （100﹣x）（80﹣x）=7644

考由实际问题抽象出一元二次方程． 点： 专几何图形问题． 题： 分把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方析： 形，根据长方形的面积公式列方程． 解解：设道路的宽应为x米，由题意有 答： （100﹣x）（80﹣x）=7644， 故选C． 点此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移评： 到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． B． （100﹣x）（80﹣x）+x=7644 D． 100x+80x=356 2练习: 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）

（1）设计方案1（如图2）花园是两个互相垂直且宽度相等的矩形. （2）设计方案2（如图3）花园是四个相等的扇形.

以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形

B的半径；若不能符合条件，请说明理由.

www.czsx.com.cnQACPwww.czsx.com.cn图4

图2

图3

二、动态几何问题

例2 如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.

（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？ （2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.

解 因为∠C＝90°，所以AB＝AC2?BC2＝62?82＝10（cm）.

（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以 AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.

则根据题意，得x2＝4.

1·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，2所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2. （2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.

则根据题意，得

111(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x+12＝0. 222由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻. 说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程＝速度×时间.

练习： 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m. （1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？ （2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？

（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？

三、增长率问题

例3、（2013?衡阳）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）

222 A． 168（1+x）=128 B． 168（1﹣x）=128 C． 168（1﹣2x）=128 D． 168（1﹣x）=128

考由实际问题抽象出一元二次方程． 点： 专增长率问题． 题： 分设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），析： 则第一次降价后的价格是168（1﹣x），第二次后的价格是168（1﹣x）2，据此即可列方程求解． 解解：根据题意得：168（1﹣x）2=128， 答： 故选B． 点此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，评： 这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可． 练习： 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.

四、商品定价与数量关系问题

例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？

解 根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0， 解这个方程，得a1＝25，a2＝31.

因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去. 所以350－10a＝350－10×25＝100（件）. 答 需要进货100件，每件商品应定价25元.

说明 商品定价与数量关系问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点. 练习：春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.

某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？ 如果人数不超过25人，

图1

人均旅游费用为1000如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于五、储蓄问题

例4 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）

解 设第一次存款时的年利率为x.

则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530.整理，得90x2+145x－3＝0. 解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去.

答 第一次存款的年利率约是2.04%.

说明 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税. 六、比赛问题

例6、（4-4一元二次方程·2013东营中考）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（ ） A. 5个

D. 8个

B. 6个

C. 7个

C.解析：设参赛球队有x个，由题意得x(x-1)=21,解得，去），故共有7个参赛球队.

x1?7,x2??6（不合题意舍

练习： 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，经统计，本次比赛选手总得分为1980分.试计算这次比赛共有多少个选手参加.

七、平分几何图形的周长与面积问题

例14 如图7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.点E?在下底边BC上，点F在腰AB上.（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.

解（1）由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.

AFD过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K.

则可得，FG＝

12?x×4， 5BG K ECwww.czsx.com.cn图7

所以S△BEF＝

12224BE·FG＝－x+x（7≤x≤10）. 2552224x+x＝14，解这个方程，得x1＝7，x2＝5（不合题55（2）存在.由（1）得－意，舍去），

所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7. （3）不存在.假设存在，显然有S△BEF∶S多边形AFECD ＝1∶2，

即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.则有－

221628x+x＝， 553整理，得3x2－24x+70＝0，此时的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0， 所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.

七、平分几何图形的周长与面积问题

例14 如图7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.点E?在下底边BC上，点F在腰AB上.（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.

解（1）由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.

AFD过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K.

则可得，FG＝

12?x×4， 5BG K ECwww.czsx.com.cn图7

所以S△BEF＝

12224BE·FG＝－x+x（7≤x≤10）. 2552224x+x＝14，解这个方程，得x1＝7，x2＝5（不合题55（2）存在.由（1）得－意，舍去），

所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7. （3）不存在.假设存在，显然有S△BEF∶S多边形AFECD ＝1∶2，

即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.则有－

221628x+x＝， 553整理，得3x2－24x+70＝0，此时的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0， 所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.

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