2018年全国卷理科数学十年真题分类汇编 数列

数列

一．基础题组

1. 【2013课标全国Ⅰ，理7】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )．

A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C

【解析】∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，∴am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3.

∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.∵Sm＝ma1＋又∵am＋1＝a1＋m×1＝3，∴?m?m?1?m?1×1＝0，∴a1??. 22m?1?m?3.∴m＝5.故选C. 22. 【2012全国，理5】已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( ) A．7 B．5 C．－5 D．－7 【答案】D

3. 【2008全国1，理5】已知等差数列?an?满足a2?a4?4，a3?a5?10，则它的前10项的和S10?（ ） A．138

B．135

C．95

D．23

【答案】C.

【解析】由a2?a4?4,a3?a5?10?a1??4,d?3,S10?10a1?45d?95.

4. 【2013课标全国Ⅰ，理14】若数列{an}的前n项和Sn?21an?，则{an}的通项公式是33an＝__________.

【答案】(－2)

n－1

【解析】∵Sn?①－②，得an?2121an?，①∴当n≥2时，Sn?1?an?1?.② 333322aan?an?1，即n＝－2. 33an?1∵a1＝S1＝

21a1?，∴a1＝1. 33n－1

∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝(－2).

5. 【2009全国卷Ⅰ，理14】设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9=72,则a2+a4+a9=___________. 【答案】24

【解析】∵S9?72?9(a1?a2),∴a1+a9=16. 2∵a1+a9=2a5,∴a5=8.∴a2+a4+a9=a1+a5+a9=3a5=24.

6. 【2011全国新课标，理17】等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a3?9a2a3. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋?＋log3an，求数列{21}的前n项和． bn (2)bn?log3a1?log3a2???log3an??(1?2???n)??n(n?1)故21211????2(?)， bnn(n?1)nn?111111111?2n???????2?(1?)?(?)???(?)???. b1b2bn223nn?1n?1???1?2n?所以数列??的前n项和为. n?1b?n?7. 【2010新课标，理17】（12分）设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·2(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 【解析】 (1)由已知，当n≥1时，

an＋1＝(an＋1－an)＋(an－an－1)＋?＋(a2－a1)]＋a1＝3(2而a1＝2，

所以数列{an}的通项公式为an＝2(2)由bn＝nan＝n·2

3

2n－1

2n－1

2n－1

2n－1

.

＋2

2n－3

＋?＋2)＋2＝2

2(n＋1)－1

.

.

知

2n－1

Sn＝1·2＋2·2＋3·2＋?＋n·2

2

3

5

7

5

. ①

2n＋1

从而2·Sn＝1·2＋2·2＋3·2＋?＋n·2①－②，得

(1－2)Sn＝2＋2＋2＋?＋2

2

3

5

2n－1

. ②

－n·2

2n＋1

，

12n＋1

即Sn＝ (3n－1)2＋2]．

98. 【2005全国1，理19】设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0（n=1，2，?） （1）求q的取值范围； （2）设bn?an?2?3an?1,记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn和Tn的大小. 2

解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1

（Ⅱ）由bn?aa?2?3an?1得 2bn?an(q2?33q),Tn?(q2?q)Sn. 223q?1) 22于是Tn?Sn?Sn(q?1?Sn(q?)(q?2).

2又因为Sn?0,且?1?q?0或q?0,所以,1当?1?q??或q?2时,Tn?Sn?0,即Tn?Sn;2 1当??q?2且q?0时,Tn?Sn?0,即Tn?Sn;21当q??,或q?2时,Tn?Sn?0,即Tn?Sn.29. 【2015高考新课标1，理17】Sn为数列{an}的前项和.已知an＞0，an?an=4Sn?3. （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn?21 ,求数列{bn}的前项和. anan?111? 64n?6【答案】（Ⅰ）2n?1（Ⅱ）【解析】

试题分析：（Ⅰ）先用数列第项与前项和的关系求出数列{an}的递推公式，可以判断数列{an}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{an}的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{bn}的通项公式，再用拆项消去法求其前项和.

【考点定位】数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法 10.【2016高考新课标理数3】已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100= （A）100 （B）99 （C）98 （D）97 【答案】C 【解析】

?9a1?36d?27,所以a1??1,d?1,a100?a1?99d??1?99?98,故试题分析：由已知，?a?9d?8?1选C.

【考点】等差数列及其运算

【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 二．能力题组

1. 【2011全国，理4】设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝( )

A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D

2. 【2006全国，理10】设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80则a11+a12+a13＝（ ）

（A）120 （B）105 （C）90 （D）75 【答案】B 【解析】

3. 【2012全国，理16】数列{an}满足an＋1＋(－1)an＝2n－1，则{an}的前60项和为__________． 【答案】1 830

【解析】：∵an＋1＋(－1)an＝2n－1，

∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，?，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1， ∴a1＋a2＋?＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋?＋(a57＋a58＋a59＋a60) ＝10＋26＋42＋?＋234＝

nn15?(10?234)?1830．

24. 【2014课标Ⅰ，理17】

已知数列?an?的前项和为Sn，a1?1，an?0，anan?1??Sn?1，其中?为常数， （I）证明：an?2?an??；

（II）是否存在?，使得?an?为等差数列？并说明理由. 【答案】（I）详见解析；（II）存在，??4.

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