概率论与数理统计试题和答案上海大学

概率论与数理统计试题和答案上海大学

上海大学2011～2012学年冬季学期试卷（A卷）

课程名: 概率论与数理统计A 课程号：。

应试人 应试人学号 应试人所在院系

一．是非题（每小题2分，5题共10分）

B互不相容，若A不发生，那么B一定发生。 （ ）

2、事件AB表示事件“A与B都没有发生”。 （

）

3、设和S2分别是总体X~N( , 2)的样本均值和样本方差，样本容量是n，

和 2是未知参数，但U （ ）

仍是一个统计量。

4、如果X是一个连续型的随机变量，那么P(X x) 0。 （ ）

5、如果X~ 2(n)，Y~ 2(m)，则一定有结论：F

（ ）

X/n

~F(n,m)。 Y/m

二． 填空题（每空3分，共15分）

和B的概率分别为P(A) 0.7和P(B) 0.5，且这两个事件独立，那么，P(B A) 。

7、设随机变量X服从区间[0,1]上的均匀分布，则随机变量Y eX的数学期望

EY DY 。

8、把5只球随机放入三个盒中，则每个盒子中至少有一球的概率为 。 9、设X1,

9

,X10是来自总体X~N( , 2)的简单样本，当常数c 统计量c (Xi 1 Xi)2为参数 2的无偏估计。

i 1

三． 选择题（每小题2分，5题共10分）

概率论与数理统计试题和答案上海大学

10、随机事件A和B的概率为P(A) 0.6，P(B) 0.4，则正确的是。 (A) A B； (B) A与B互不相容； (C) P(AB) 0； (D)上述结论不一定成立。

11、设随机变量X和Y服从指数分布，且相互独立，则下列分布一定服从指数分布的是 。

(A) Z X Y； (B) Z min{X,Y}； (C) Z max{X,Y}； (D)

Z XY。

12、设总体X~N( 1, 2)，总体Y~N( 2, 2)，且相互独立，X1,分别是它们的简单样本，那么不正确的是 。

(A)

,Xn1和Y1,,Yn2

~t(n1 n2 1)；

(B)

~t(n1 1)；

~t(n2 1)。

~t(n1 n2 2)；

(D)

13、如果总体X服从正态分布N( , 2)，其中， 已知， 2未知，X1，X2，X3是取自总体的一个样本，那么是统计量的是 。

2S2(A) (B) 2；

(C)max{X1,X2,X3}； (D)

1

2

14、设随机变量X~t(n)，则正确的是 (A) P(X 0) (C) P(X 0) (X1 X2 X3)。

11； (B) P(X 0) ； 221

； (D) 以上结论都不正确。

2

四．计算题:（5题，共60分）

,n，

n种品牌的电脑，市场占有率分别为 i 0，i 1,

n

其中 i 1。第i种品牌电脑有质量问题的概率为 i。现在对市场上的这些品

i 1

牌电脑进行质量抽查，计算 1）电脑产品的抽样合格率；

2）如果发现一台电脑被抽检后判断为不合格，那么该电脑是第一种品牌的概率

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是多大。

16、（15分）设随机变量X的密度函数为

Ae 2xx 1

， f(x)

x 1 0

1）确定参数A的值并计算相应的概率分布函数F(x)； 2）计算P( 1 X 2)；

3）计算Y lnX的概率密度函数； 4

）计算E。

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17、（10分）设某种产品的寿命X~N( ,2002)。以往的统计数据显示，旧工艺下生产的产品寿命的均值不超过1500小时。现在，改进了生产工艺。为弄清新工艺是否有效提高了产品的寿命，做了样本容量为25的抽样，得到的样本均值的观测值为 1575。由此抽样结果，你对此新工艺可作出什么样的判断？给出相应的参数假设检验问题，并在置信水平为 0.05时，对你的假设作出判断。 （附注），u0.025 1.96，u0.05 1.645。

18、（10分）一位顾客进入银行柜台等候服务，他前面还有二位顾客，其中一位顾客刚刚开始接受服务。假设每位顾客完成服务所需时间是随机的，并且独立，服从参数为 的指数分布，即密度函数都为 e x。那么，

（1）给出这位顾客在接受服务之前所需的等待时间的概率密度函数； （2）该顾客所需等待的平均时间是多长；

（3）如果顾客不是刚刚开始接受服务，已经过了一段时间的服务，那么由（1），（2）给出的结论是否仍正确？是否进入顾客的等待时间会缩短？

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19、（15分）设总体X的密度函数为

f(x) 0,

1

,0 x 1x 0,x 1

，

（1

1；

； （2

2

2和 2。 （3）此时，参数 的矩估计和最大似然估计是否相应为 12

20、（5分）设随机变量X和Y独立，且均服从正态分布N(0,)。证明：

2

Z X Y~N(0,1)。

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上海大学2011～2012学年冬季学期试卷（B卷）

课程名： 概率论与数理统计A

应试人

应试人学号 应试人所在院系

一．是非题（每小题2分，5题共10分，正确的填“对”，错误的填“错”）

1、概率不为零且相互独立的两个事件A与B一定不是互不相容的。 （ ） 2、事件（

）

3、设和S2分别是总体X~N( , 2)的样本均值和样本方差，样本容量是n，

仍是一个统计量。

AB表示事件“

A

与B都没有发生”。

是已知参数， 2是未知参数，则T （ ）

4、样本容量给定时，无法同时减小假设检验发生第一和第二类错误的概率。 （ ）

5、设随机变量X~ 2(m)，Y~ 2(n)，则一定有X Y~ 2(m n)。

（ ） 二．填空题（每空3分，共15分）

3分，共15分）

6、已知随机事件A和B的概率分别为P(A) 0.4和P(B) 0.5，且P(A|B) 0.2，那么，

P(A B) 。

7、设随机变量X的密度函数为f(x) ce 2|x|， x ，则c

EX

；

。

8、甲乙两人分别抛均匀硬币3次和2次。那么甲抛出的正面次数超过乙的概率为

。

9、设X1,,X10是来自总体X~N( , 2)的简单样本，当常数c

时，统计

量2 cS2为参数 2的无偏估计。

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三．选择题（每小2分，5题共10分）

A和B，一定有结论

(A) P(A|B) P(|) 1； (B) P(A|B) P(A|) 1； (C) P(A|B) P(|B) 1； (D)上述结论都不一定成立。 11、设相互独立的随机变量X和Y服从参数为 的泊松分别，则仍服从泊松分布的是 。

(A) Z X Y； (B) Z min{X,Y}； (C) Z max{X,Y}； (D)

Z XY。

12、设总体X~N(0, 2)，X1,是

。

,X100是它的一个简单样本，则不正确的

50

~t(n 1)； (B) (A)

S/10

X

k

~t(50)；

50 X

(C)；

k 1100k 51

50

2k

2X k

~F(50,50) (D)

X

k

~t(49)。

13、如果总体X服从正态分布N( , 2)，其中， 未知， 2已知，X1，X2，X3是取自总体的一个样本，那么不是统计量的是 。 (A) X1 X2 X3； (B) (C) min{X1,X2,X3}； (D)

X1 X2 X3

；

31

2

2

(X12 X2 X32)。

14、设随机变量X~t(n)，则正确的是 (A) P(X 0) (C) P(X 0) 11

； (B) P(X 0) ； 22

1

； (D) 以上结论都不正确。

2

四．计算题:（5题共60分）

概率论与数理统计试题和答案上海大学

15、（10分）设市场共有n种品牌的电脑，市场占有率分别为 i 0，i 1,

n

,n，

其中 i 1。第i种品牌电脑有质量问题的概率为 i。现在对市场上的这些品

i 1

牌电脑进行质量抽查，计算: 1）电脑产品的抽样不合格率；

2）如果发现一台电脑被抽检后判断为不合格，那么该电脑是第k种品牌的概率是多大。

16、（15分）设随机变量X与Y的联合密度函数为

Ae (x y 1),0 x 1,1 y

， f(x,y)

其它 0,

1）确定参数A的值；

2）计算边缘概率密度函数fX(x)和fY(y)；并判断它们是否独立； 3）计算Z lnY的概率密度函数； 4

）计算E。

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17、（15分）设商场随机调查了25位顾客的消费额，得到样本均值的观测值为 80元。样本标准差的观测值为s 12元。如果顾客的消费额X~N( , 2)， 1）求顾客的平均消费额 的置信区间，置信度取为95%；

2）如果以往的经验表明，方差一般为100，那么，能否认为此次方差偏大是一次偶然现象。显著性水平取为5%。

2

（附注），t0.025(24) 2.0639，t0.025(25) 2.0595； 0.05(24) 36.415，

2 0.05(25) 37.652。

18、（10分）一位病人到医院去挂号看病。他发现前面有三位病人在挂号，而且，到达时恰好一位病人刚完成挂号。假设每位病人挂号所需时间都服从参数为 的指数分布，即密度函数都为 e x，并且相互独立。那么， （1）计算这位病人挂号之前所需等待时间的概率密度函数； （2）该顾客挂完号所需的平均时间是多长。

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19、（10分）设总体X的密度函数为

2 x ( 1),

f(x)

0,

其中 为未知参数。 （1）求参数 的矩估计 1；

x 2x 2

，

。 （2）求参数 的最大似然估计 2

2

证明：X2

Y2 ~ (1)。

（提示

可利用结论：Z1

2

，Z2 ，则(Z1,Z2)服从二维正态分布）

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1. 错 2 对 3 错4 对 5 错 6 P(B) P(AB) 0.5 0.35 0.15

121 exdx e 1 e2xdx (EY)2 (e2 1) (e 1) (e 1)(3 e) 2200

25 1

0.62 8.1 34

9

11

118

10—14 d b a c b

15解 以A记事件“抽检的电脑是合格的”；以Bi记事件“该电脑是第i种品牌的

电脑”。

那么已知条件为：P(A|Bi) 1 i；P(Bi) i。 （2分） 1）P(A) P(Bi)P(A|Bi) (1 i) i

i 1

i 1

n

n

（2分） （2分） 2）P(B1|)

P(|B1)P(B1)

n11

1 P(A)

ii 1

i

16. 解 1）Ae 2xdx 1，则

1

A 2

e 1，即A 2e2。 （2分） 2

0,

概率分布函数：F(x) x 2(t 1)

dt, 2 e

1

2

0,

x 1 1 e 2(x 1),

x 1

x 1x 1

。 （ 3分）

2）P( 1 X 2) 2e 2(x 1)dx F(2) F( 1) 1 e 2。 （ 2分）

1

0,

3）FY(y)

P(lnX y),

0,

所以fY(y) 2(ey 1) y

, 2e

0,

y 0 ey

y 0 2e 2(x 1)dx,

1y 0y 0

y 0y 0

， （2分）

， （ 2分）

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4

）E 2(x 1)dx y2e

1

y22

dy （2分）

y2e

y22

dy

（2分）

17. （附注），u0.025 1.96，u0.05 1.645。

解 由给出的样本均值 1500，假设检验问题： 原假设 H0： 1500；备选假设H1： 1500 （2分） （2分）

拒绝域：W {x分）.

u0.05} （2

1.875 W， （2

分）

结论：拒绝原假设，接受备选假设，即认为新工艺确实提高了产品的寿命。 （2分）

18. 解 （1）两位顾客完成服务的时间记为X1和X2，则由假设条件：

f1(x) e x，f2(x) e x， （2分）

所以，等待时间为当W X1 X2， （2分）

利用随机变量和的密度函数的计算公式：

x

fW(x) 2e (x y)e ydy 2xe x。 （2分）

（2）利用期望的线性：EW EX1 EX2

2

. （ 2

分）

（3）由于指数分布的无记忆性，该顾客在新顾客进入系统之前已经过的服务时

间不影响完成服务所需的时间的概率分布，因此，所有结论仍成立。 （2分）

1

1

19. 解 （1）

EX 0

1

dx

，

(2分) （1分） （1分)

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。 （2分） 所以 1

1 （2

）对数最大似然函数，lnL( ;x1,

lnL( ;x1,

所以， 2

n

n

n

（4分） ,xn) ln 1) lnx

i，

2k 1

n,xn) 2 n

lnx

k 1

n

i

0 （ 2分）

。 （1分）

lnx

k 1

k

（3）结论正确。

20. 证明：Z

X Y~N(0,1)。

2

证 fZ(z)

1

x

2

(z x)

2

2

2(x z)2

2

e

dx

z

e

dx

e

（2分）

（1

分）

z222

2

u2

du e

z2

所以Z X Y~N(0,1)

（ 2分）

（1分）

（1分）

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Bbbbbbbbbb

1.对 2.错 3.对 4对 5错 6 P(A) P(A|B)P(B) 0.4 0.1 0.3 7 1 0 8. 1/2 9. 1/10

10-----14 c a d b b

15. 解 以A记事件“抽检的电脑是合格的”；以Bi记事件“该电脑是第i种品牌

的电脑”。

那么已知条件为：P(A|B) 1 i；P(Bi) i。 （2分） 1）P() P(Bi)P(|Bi) i i

i 1

i 1

n

n

（2分） （2分） 2）P(Bk|)

P(|Bk)P(Bk)

nkk

1 P(A)

ii 1

i

（2分） （2分）

1

16. 解 1）A

1 (x y 1)

，则即A A1( e)1 ，edxdy 1

01

e

。 （ 2e 1

分） 2）f(x,y) (

e x (y 1)

e)e fX(x)fY(y)，所以 e 1

e x

e,0 x 1

， （ 2分） fX(x) e 1

x 0,x 1 0,

e (y 1),fY(y)

0,

y 1y 1

， （ 2分）

且独立。 （2分）

0,

3）FZ(z)

P(lnY z),分）

0,z 0 ez

z 0 e (y 1)dy,

1

z 0z 0

， （ 2

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0,

所以fZ(z) (ez 1) z

, e

z 0z 0

， （ 2

分）

4

）E (y 1)dy z2e

1

z2

2

dz

z2e

z22

dz

（ 3

分）

2

17. （附注），t0.025(24) 2.0639，t0.025(25) 2.0595； 0.05(24) 36.415，

2 0.05(25) 37.652。

解 1）这是一个方差未知的区间估计问题。 置信度为95%的置信区间为

( t0.025 t0.025 (75.05,84.95)。 （3分） （+2分） 2）原假设 H0： 2 100；备选假设H1： 2 100 （2分） （2分）

24S22 0.05(24) 36.415} （ 2分）. 拒绝域：W {S|

100

2

24s224 1442

34.56 0.05(24) 36.415，不在拒绝域内。 （ 2分）判断：， 100100

结论：接受原假设，，即认为此次方差较大是一次偶然。 （ 2分）

18. 解 （1）两位顾客完成服务的时间记为X1和X2，则由假设条件：

f1(x) e x，f2(x) e x， （2分）

所以，等待时间为当W X1 X2。 （2分）

利用随机变量和的密度函数的计算公式：

x

fW(x) 2e (x y)e ydy 2xe x。 （2分）

（2）他自己需要的挂号时间为X3概率密度函数为f3(x) e x。所以完成整个挂号过程所需的时间为X1 X2 X3，利用期望的线性，E(X1 X2 X3)

（2分） ( 2分）

3

。

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( 1)

19. 解 （1） EX 2

x x

2

dx 2 x dx 2

2

1

2 ( 1) ， （2

分）

所以 1

。 （2分） 2

（2）对数最大似然函数，lnL( ;x1,,xn) n ln2 nln ( 1) lnxi， （2

n

k 1

分）

n

lnL( ;x1,,xn) nln2

n

lnxi 0 k 1

分）

所以， n

2

n

。 lnx

k 1

k

nln2

分）

20. 证 可证cov(Z1,Z2) 0，所以Z1与Z2独立，且都服从标准正态分布分 ）

2

此时，X2 Y2 22

Z2~ (1)。

（ 2

（2

（ 2

3分） （

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