二重积分的概念和性质

第九章 重积分

第一节 二重积分的概 念与性质1、二重积分的概念 2、二重积分的性质

一、二重积分的概念1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面

D

侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱 面 求其体积. 解法: 类似定积分解决问题的思想:“大化小,常代变,近似和,求极限”

机动

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1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域

1, 2 , , n

以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 f ( k , k ) 小曲顶柱体 ( k , k ) 2)“常代变” 在每个

D k

中任取一点

则

Vk f ( k , k ) k3)“近似和”n

(k 1, 2 , , n)

f ( k , k ) kk 1机动 目录 上页 下页 返回 结束

4)“取极限”

( k ) max P P2 P ,P2 k 1 1令 max ( k )1 k nn

f ( k , k )( k , k ) k

V lim f ( k , k ) k 0 k 1

机动

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2. 平面薄片的质量有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密 度为 计算该薄片的质量 M .

设D 的面积为 , 则

M 若 非常数 , 仍可用

y

D

“大化小,常代变,近似和,求极限” 解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1, 2 , , n ,

x

相应把薄片也分为小区域 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

2)“常代变” 在每个 k 中任取一点 ( k , k ),则第 k 小块的质量3)“近似和”

y ( k , k ) kk 1 n

4)“取极限”

令 max ( k ) 1 k n

( k , k ) k

x

M lim ( k , k ) k 0 k 1机动 目录 上页 下页 返回 结束

n

两个问题的共性：(1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” (2) 所求量的结构式相同 曲顶柱体体积:

V lim f ( k , k ) k 0 k 1n

n

平面薄片的质量:

M lim ( k , k ) k 0 k 1

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定义: 设 f ( x, y ) 是定义在有界区域 D上的有界函数 ,

将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点 若存在一个常数 I , 使 记作

则称 f ( x, y ) 可积 , 称 I 为 f ( x, y ) 在D上的二重积分.积分和 积分表达式

x, y 称为积分变量积分域 被积函数 面积元素机动 目录 上页 下页 返回 结束

如果 f ( x, y ) 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划 分区域D , 这时 也常 因此面积元素 记作 d x d y, 二重积分记作

D f ( x, y) dx d y.引例1中曲顶柱体体积:

V f ( x, y ) d f ( x, y ) d x d yD D

引例2中平面薄板的质量

:

M ( x, y ) d ( x, y ) d x d yD D机动 目录 上页 下页 返回 结束

二重积分存在定理: (证明略)定理1. 若函数

在有界闭区域 D上连续, 则在有界闭区域 D 上除去有

在D上可积.定理2. 若有界函数 积. 限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,

0 x 1 y 例如, f ( x, y) x y 在D : 1 0 y 1 D 1 上二重积分存在 ; 但 f ( x, y ) 在D 上 o 1x x y2 2

二重积分不存在 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、二重积分的性质

2. f ( x, y)d f ( x, y) d D D1

D2

f ( x, y) d

为D 的面积, 则

D 1 d D d 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4. 若在D上f ( x, y ) ( x, y ) , 则

D f ( x, y) d D ( x, y) d 特别,由于 f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y )

5.设 则有

D f ( x, y) d

D

f ( x, y ) d D 的面积为 ,

m f ( x, y ) d M D

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6.(二重积分的中值定理)连续, 为D 的面积 , 则至少存在一点

在闭区域D上使

D f ( x, y)d f ( , ) 证: 由性质5可知, 1 m f ( x, y ) d M

D

由连续函数介值定理,至少有一点 1 f ( , ) f ( x, y ) d

使

D

因此机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.

比较下列积分的大小:

D解: 周

( x y) 2 d ,

D

( x y)3 d

y

其中 D : ( x 2) 2 ( y 1) 2 2积分域 D 的边界为圆

1

D

o 1 2 3 x x y 1而域 D 位

它与 x 轴交于点 (1,0) ,于直线的上方, 故在 D 上 x y 1, 从而

( x y) 2 ( x y)3

D

( x y ) 2 d ( x y )3 d D机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 估计下列积分之 值 d xd y I 100 cos 2 x cos 2 y D

D : x y 10

解: D 的面积 (10 2) 2 200 为 由于 1 10 1 1 2 2 102 100 cos x cos y 100积分性质5

y

10

D

o 10

10

x

200 200 I 102 100

即: 1.96 I 2

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作业：习题9-14(1)(2)(3)(4) 5(1)(3)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fczj.html