广东省江门市2015届高三3月模拟数学文试卷 Word版含答案

秘密★启用前 试卷类型：B

江门市2015年高考模拟考试

数学（文科）2015.3

本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：

1． 答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。

2． 做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3． 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。 4． 所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。 5． 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。 参考公式：锥体的体积公式V?1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 3如果事件A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1．集合A??x|2?x?7?，B??x|3?x?10?，A?B?

A．(2 , 10) B．[3 , 7) C．(2 , 3] D．(7 , 10) 2．i 是虚数单位，

1?i? 1?i1?i1?i1?3i?1?iA． B． C． D．

2222A．f(x)?2x B．f(x)?log2x C．f(x)?sinx?1 D．f(x)?sinx?tanx

3．下列函数中，奇函数是

4．已知向量a ?(?3 , 4)，b ?(1 , m)，若a ?(a ?b )?0，则m? A．

1111 B．? C．7 D．?7 22D15．如图1，四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，E、F分 别是AB1、BC1的中点．下列结论中，正确的是 A．EF?BB1 B．EF//平面ACC1A1 C．EF?BD D．EF?平面BCC1B1

A1B1EDA图1 C1FCB报时，他等待的时

6．某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点间不多于15分钟的概率是 A．

1111 B． C． D． 2346?x?2y?5?7．若变量x、y满足约束条件?x?3，则z?x?y的取值范围是

?y?4?A．[4 , 7] B．[?1 , 7] C．[ , 7] D．[1 , 7] 8．将函数f(x)?sin(x?52?3)的图象向右平移?（??0）个单位长度，得到的曲线经过

原点，则?的最小值为 A．

?12 B．

?6 C．

?4 D．

?3

9．下列命题中，错误的是 ．．

A．在?ABC中，A?B是sinA?sinB的充要条件； B．在锐角?ABC中，不等式sinA?cosB恒成立；

C．在?ABC中，若acosA?bcosB，则?ABC必是等腰直角三角形； D．在?ABC中，若B?60?，b2?ac，则?ABC必是等边三角形．

10．设f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(f?g)(x)：?x?R，

?x , x?0,?ex , x?0,，g(x)??，则 (f?g)(x)?f(g(x))．若f(x)??2?x, x?0.?lnx, x?0.A．(f?f)(x)?f(x) B．(f?g)(x)?f(x)

C．(g?f)(x)?g(x) D．(g?g)(x)?g(x)

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． (一)必做题（11～13题）

11．命题“若a、b都是偶数，则a?b是偶数”的逆命题是 ． 12．数列?an?满足a1?2，?n?N*，an?1?1，则a2015? ． 1?an这5

13．某班甲、乙两位同学升入高中以来的5次数学考试成绩的茎叶图如图，则乙同学这5

次数学成绩的中位数是 ；已知两位同学

次成绩的平均数都是84，成绩比较稳定的是 （第二个空填“甲”或“乙”）．

(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程是x2?2y2?5，

??x?3tC2的参数方程是?（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标是 ．

??y??t15．（几何证明选讲选做题）如图2，⊙O的两条割线 与⊙O交于A、B、C、D，圆心O在PAB上，

图2 若PC?6，CD?7，PO?12，则AB? ．

13

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?sin?x?3cos?x的最小正周期为?，x?R，??0是常数． ⑴求?的值； ⑵若f(

17．（本小题满分13分）

从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图3的频率分布直方图，从左到右各组的频数依次记为A1，A2，A3，A4，A5．

⑴求图3中a的值；

⑵图4是统计图3中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果S； ⑶从质量指标值分布在[80 , 90)、[110 , 120)的产品中随机抽取2件产品，求所抽取两件产品的质量指标值之差大于10的概率．

18．（本小题满分14分）

如图5，直角梯形ABCD，?ADC?900，AB//CD，AD?CD??2??12)?6?，??(0 , )，求sin2?． 521AB?2，点E2为AC的中点，将?ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直（如图6）．在图6所示的几何体D?ABC中：

⑴求证：BC?平面ACD；

⑵点F在棱CD上，且满足AD//平面BEF，求几何体F?BCE的体积．

D

CD

E

CE

A图5 BA图6 B

19．（本小题满分13分）

已知?an?是公差为d的等差数列，?n?N*，an与an?1的等差中项为n．

⑴求a1与d的值；

⑵设bn?2n?an，求数列?bn?的前n项和Sn． 20．（本小题满分14分）

设A是圆x2?y2?4上的任意一点，l 是过点A与x轴垂直的直线，D是直线 l 与x轴的交点，点M在直线 l 上，且满足DM?轨迹为曲线C．

⑴求曲线C的标准方程；

⑵设曲线C的左右焦点分别为F1、F2，经过F2的直线m与曲线C交于P、Q两点，若|PQ|2?|F1P|2?|F1Q|2，求直线m的方程． 21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?x3?ax2?4（a?R是常数），曲线y?f(x)在点(1 , f(1))处的切线在y轴上的截距为5．

⑴求a的值；

⑵k?0，讨论直线y?kx与曲线y?f(x)的公共点的个数．

3DA．当点A在圆上运动时，记点M的2评分参考

一、选择题 BADCB CDDCA

二、填空题 ⒒若a?b是偶数，则a、b都是偶数（对1句3分；表达有误适当扣分） ⒓?1 ⒔82，甲（若两空一对一错，给3分）

⒕(3 , ?1)（若坐标符号错误给2分，其他不给分） ⒖16

三、解答题

⒗⑴f(x)?sin?x?3cos?x?2sin(?x?由f(x)的最小正周期T?⑵由⑴知f(x)?2sin(2x??3)??3分（振幅1分，辅助角2分）

2??3)

????4分，得??2??5分

???????6f(?)?2sin[2?(?)?]?2sin(??)?2cos????8分（前3个等212212325号每个1分），cos??3??9分 5∵??(0 , )，∴sin??1?cos2???24??10分 5sin2??2sin?cos??24??12分（公式1分，代入求值1分） 25

⒘⑴依题意，(2a?0.02?0.03?0.04)?10?1??2分

解得a?0.005??3分

⑵A1?0.005?10?20?1，A2?0.040?10?20?8，A3?0.030?10?20?6，

A4?0.020?10?20?4，A5?0.005?10?20?1??6分（A2、A3、A4各1分）

输出的S?A2?A3?A4?18??8分（列式、结果各1分）

⑶记质量指标在[110 , 120)的4件产品为x1，x2，x3，x4，质量指标在[80 , 90)的1件产品为y1，则从5件产品中任取2件产品的结果为：?x1,x2?，?x1,x3?，?x1,x4?，?x1,y1?，

?x2,x3?，?x2,x4?，?x2,y1?，?x3,x4?， ?x3,y1?，?x4,y1?，共10种??10分

?x1,y1?，记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A，则事件A中包含的基本事件为：

?x2,y1?，?x3,y1?，?x4,y1?共4种??11分

∴P(A)?42???12分 1052??13分 5答：从质量指标??，??的概率为⒙⑴AC?AD2?CD2?22??1分，?BAC??ACD?450，AB?4，

BC2?AC2?AB2?2AC?AB?cos450?8??3分（其他方法求值也参照给分）

∵AB2?AC2?BC2?16，∴?ACB?900（AC?BC）??4分 ∵平面ACD?平面ABC，平面ACD?平面ABC?AC， ∴BC?平面ACD??6分

⑵∵AD//平面BEF，AD?平面ACD，平面ACD?平面BEF?EF， ∴AD//EF??8分

∵点E为AC的中点，∴EF为?ACD的中位线??9分

由⑴知，几何体F?BCE的体积VF?BCE?VB?CEF?1?S?CEF?BC??11分 3S?CEF?VF?BCE11S?ACD???13分， 42112??14分 ???22?323

⒚⑴依题意，an?a1?(n?1)d??1分

（方法一）由an与an?1的等差中项为n得

an?an?1?n??2分 2

[a1?(n?1)d]?[a1?nd]1?a1?(n?)d?n??3分

22?d?11???5分，解得a1?，d?1??6分 ?d2a1??0?2?（方法二）由an与an?1的等差中项为n得，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中

即

项为2??3分

d?a1?a2?a??11?1?22??5分，解得，d?1??6分 a??12?a2?a3?a?3d?21?2?21⑵由⑴得an?n?，bn?2n?an?n?2n?2n?1??7分

2（方法一）记Tn?1?2?2?22?3?23???(n?1)?2n?1?n?2n，则

2Tn?1?22?2?23?3?24???(n?1)?2n?n?2n?1??8分

两式相减得，Tn??2?22?23???2n?n?2n?1??10分

?n?2n?1?2n?1?2??11分

数列2??的前n项和1?2?2n?12???2n?1?2n?1??12分

∴Sn?(n?2n?1?2n?1?2)?(2n?1)?n?2n?1?3?2n?3??13分 （方法二）

Sn?(1?2?20)?(2?22?21)?(3?23?22)???[(n?1)?2n?1?2n?2]?(n?2n?2n?1)2Sn?(1?22?21)?(2?23?22)?(3?24?23)???[(n?1)?2n?2n?1]?(n?2n?1?2n)??9分，两式相减得

Sn??(1?2?20)?(1?22?1?23???1?2n)?(n?2n?1?2n)??11分

?n?2n?1?3?2n?3??13分

⒛⑴设M(x , y)是曲线C上任意一点，则D(x , 0)??1分，

33DA得(0 , y)?(0 , y0)??2分 22232322y0?y??3分，依题意，x2?y0?4，x2?(y)?4??4分

33x2y2??1??5分 曲线C的标准方程为43⑵由⑴得c?1，F1(?1 , 0)，F2(1 , 0)??6分

对应圆上的点为A(x , y0)，由DM?x2y2333??1得y??，即P(1 , )，Q(1 , ?)??7分 ①若m为直线x?1，代入43222252直接计算知|PQ|?9，|F1P|2?|F1Q|2?，|PQ|2?|F1P|2?|F1Q|2，x?1不

2符合题意??8分

②若直线m的斜率为k，直线m的方程为y?k(x?1)

?x2y2?1??2222由?4得(3?4k)x?8kx?(4k?12)?0??9分 3?y?k(x?1)?8k24k2?12设P(x1 , y1)，Q(x2 , y2)，则x1?x2?，x1?x2???10分 223?4k3?4k222由|PQ|?|F1P|?|F1Q|得，F1P?F1Q?0??11分

即(x1?1)(x2?1)?y1y2?0，(x1?1)(x2?1)?k(x1?1)?k(x2?1)?0

(1?k2)x1x2?(1?k2)(x1?x2)?(1?k2)?0??12分

4k2?128k222代入得(1?k)(，即?1)?(1?k)??07k?9?0??13分 223?4k3?4k2解得k??3737，直线m的方程为y??(x?1)??14分 77/2/21．⑴?x?R，f(x)?3x?2ax??1分，f(1)?3?2a，f(1)?5?a

切线方程为y?(5?a)?(3?2a)(x?1)??2分

切线在y轴上的截距(5?a)?(3?2a)?5??3分，解得a??3??4分

32/2⑵由⑴得f(x)?x?3x?4，解f(x)?3x?6x?0得x?0，x?2??5分

x (?? , 0) 0 f/(x)

+

0

(0 , 2) 2

－

0

(2 , ??)

+

f(x)

??7分

↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

记g(x)?f(x)?kx?x?3x?kx?4，则直线y?kx与曲线y?f(x)的公共点的个

32数即为函数g(x)?x3?3x2?kx?4零点的个数

①k?0时， g(0)?4，g(?1)?k，g(0)g(?1)?4k?0，g(x)在(?1 , 0)至少有一个零点??9分，

∵g(x)?f(x)?kx在(?? , 0)单调递增，∴g(x)在(?? , 0)上有且仅有一个零点??10分

x?[0 , ??)时，f(x)?f(2)?0（等号当且仅当x?2时成立）??11分，从而

g(x)?f(x)?kx?0，g(x)在[0 , ??)上没有零点??12分

②k?0时，g(x)?f(x)，由①讨论知，g(x)（即f(x)）有两个零点。

k?0时，k?0时，综上所述，直线y?kx与曲线y?f(x)有1个公共点，直线y?kx与曲线y?f(x)有两个公共点??14分

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