金融工程练习题集（第一部分）

《金融工程》综合练习题

一、 不定项选择

1、下列关于远期价格和期货价格关系的说法中，不正确的有：（BC ）

A．当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。

B．当利率变化无法预测时，如果标的资产价格与利率呈正相关，那么远期价格高于期货价格。

C．当利率变化无法预测时，如果标的资产价格与利率呈负相关，那么期货价格高于远期价格。

D．远期价格和期货价格的差异幅度取决于合约有效期的长短、税收、交易费用、违约风险等因素的影响。

2、期货合约的空头有权选择具体的交割品种、交割地点、交割时间等，这些权利将对期货价格产生怎样的影响？（ B ） A．提高期货价格 B．降低期货价格

C．可能提高也可能降低期货价格 D．对期货价格没有影响

3、下列说法中，不正确的有：（ACD ）

A．维持保证金是当期货交易者买卖一份期货合约时存入经纪人帐户的一定数量的资金 B．维持保证金是最低保证金，低于这一水平期货合约的持有者将收到要求追加保证金的通知

C．期货交易中的保证金只能用现金支付 D．所有的期货合约都要求同样多的保证金 4、假设当前市场上长期国债期货的报价为93-08，下列债券中交割最便宜的债券为：（ D ） A．债券市场报价99-16，转换因子1.0382 B．债券市场报价118-16，转换因子1.2408 C．债券市场报价119-24，转换因子1.2615 D．债券市场报价143-16，转换因子1.5188

5、假定某无红利支付股票的预期收益率为15%（1年计一次复利的年利率），其目前的市场价格为100元，已知市场无风险利率为5%（1年计一次复利的年利率），那么基于该股票的一年期远期合约价格应该等于：（ B ） A．115元 B．105元 C．109.52元

D．以上答案都不正确

6、下列因素中，与股票欧式期权价格呈负相关的是：（ BD ） A．标的股票市场价格 B．期权执行价格

1

C．标的股票价格波动率

D．期权有效期内标的股票发放的红利

7、已知某种标的资产为股票的欧式看跌期权的执行价格为50美元，期权到期日为3个月，股票目前的市场价格为49美元，预计股票会在1个月后派发0.5美元的红利，连续复利的无风险年利率为10%，那么该看跌期权的内在价值为：（ C ） A．0.24美元 B．0.25美元 C．0.26美元 D．0.27美元

8、拥有无红利股票美式看涨期权多头的投资者有可能采取下列行动中的哪些？（CD ） A．一旦有钱可赚就立即执行期权

B．当股价跌到执行价格以下时，购买一补偿性的看跌期权 C．当期权处于深度实值时，该投资者可以立即出售期权 D．对于投资者而言，提前执行该期权可能是不明智的

9、假设一种无红利支付股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票的价格要么是11元，要么是9元，如果无风险利率是10%，那么对于一份3个月期，协议价格为10.5元的欧式看涨期权而言，下列说法正确的是：（AC ） A．该看涨期权的价值为0.31元 B．该看涨期权的价值为0.32元

C．该股票在风险中性世界中上涨的概率为62.66% D．该股票在风险中性世界中上涨的概率为61.46%

10、下列期权的组合中，可以构成牛市差价组合的是：（ AB ） A．一份看涨期权多头与一份同一期限较高协议价格的看涨期权空头 B．一份看跌期权多头与一份同一期限较高协议价格的看跌期权空头 C．一份看涨期权多头与一份同一期限较低协议价格的看涨期权空头 D．一份看跌期权多头与一份同一期限较低协议价格的看跌期权空头

11、下列关于远期价格和远期价值的说法中，不正确的是：（ B ） A．远期价格是使得远期合约价值为零的交割价格

B．远期价格等于远期合约在实际交易中形成的交割价格 C．远期价值由远期实际价格和远期理论价格共同决定

D．远期价格与标的物现货价格紧密相连，而远期价值是指远期合约本身的价值

12、下列关于期货价格与预期的未来现货价格关系的说法中，不正确的是：（ BD ） A．期货价格与预期的未来现货价格孰大孰小，取决于标的资产的系统性风险 B．如果标的资产的系统性风险为正，那么期货价格大于预期的未来现货价格 C．如果标的资产的系统性风险为零，那么期货价格等于预期的未来现货价格 D．如果标的资产的系统性风险为负，那么期货价格小于预期的未来现货价格

13、以下关于实值期权和虚值期权的说法中，不正确的是：（ ABCD ）

2

A．当标的资产价格高于期权执行价格时，我们将其称为实值期权 B．当标的资产价格低于期权执行价格时，我们将其称为虚值期权 C．当标的资产价格低于期权执行价格时，我们将其称为实值期权 D．当标的资产价格高于期权执行价格时，我们将其称为虚值期权

14、根据有收益资产的欧式看涨和看跌期权平价关系，下列说法不正确的是：（ BC ） A．当标的资产收益的现值增加时，意味着欧式看涨期权的价值会上升 B．当标的资产收益的现值增加时，意味着欧式看跌期权的价值会上升 C．当标的资产收益的现值增加时，意味着欧式看涨期权的价值会下降 D．当标的资产收益的现值增加时，意味着欧式看跌期权的价值会下降

15、下列关于有收益资产的美式看跌期权的说法中，不正确的是：（ AC ）

A．对于有收益资产的美式看涨期权，提前执行期权意味着放弃收益权，因此不应提前执行 B．对于有收益资产的美式看跌期权，当标的资产收益很小时，可以提前执行期权 C．对于有收益资产的美式看跌期权，提前执行期权可以获得利息收入，应该提前执行 D．对于有收益资产的美式看跌期权，提前执行期权可能是合理的 16、某公司计划在3个月之后发行股票，那么该公司可以采用以下哪些措施来进行相应的套期保值？（ B ） A．购买股票指数期货 B．出售股票指数期货

C．购买股票指数期货的看涨期权 D．出售股票指数期货的看跌期权

17、当利率期限结构向上倾斜时，下列关于利率互换中的说法中，不正确的是：（BCD ） A．利率互换中，收到浮动利率的一方初期现金流为负，后期现金流为正，后期面临的信用风险较大

B．利率互换中，收到浮动利率的一方初期现金流为正，后期现金流为负，后期面临的信用风险较大

C．利率互换中，收到固定利率的一方初期现金流为正，后期现金流为负，后期面临的信用风险较大

D．利率互换中，收到固定利率的一方初期现金流为负，后期现金流为正，后期面临的信用风险较大

18、某股票目前的市场价格为31元，执行价格为30元，连续复利的无风险年利率为10%，3个月期的该股票欧式看涨期权价格为3元，相应的欧式看跌期权价格为2.25，请问套利者应该采取以下哪些策略？（A ）

A．买入看涨期权，卖空看跌期权和股票，将现金收入进行无风险投资 B．买入看跌期权，卖空看涨期权和股票，将现金收入进行无风险投资 C．卖空看跌期权，买入看涨期权和股票，将现金收入进行无风险投资 D．卖空看涨期权，买入看跌期权和股票，将现金收入进行无风险投资 19、当投资者相信股票将有巨大的变动但是方向不确定时，投资者能采用以下哪些策略是合理的？（BD ）

3

A．正向差期组合 B．反向差期组合 C．正向蝶式组合 D．反向蝶式组合 20、某股票价格遵循几何布朗运动，期望收益率为16％，波动率为25％。该股票现价为$38，基于该股票的欧式看涨期权的执行价格为$40，6个月后到期。该期权被执行的概率为：（ D ） A．0.4698 B．0.4786 C．0.4862 D．0.4968

21、 假设某投资者进行一个利率互换，收到浮动利率，支付固定利率。以下哪些说法是

正确的：（AD ）

A. 当利率期限结构向上倾斜时，该投资者的信用风险相对较大；而利率期限结构向下

倾斜时，投资者的信用风险相对较小。

B. 当利率期限结构向下倾斜时，该投资者的信用风险相对较大；而利率期限结构向上

倾斜时，投资者的信用风险相对较小。

C. 当利率出现预期之外的下降时，该投资者的信用风险上升。 D. 当利率出现预期之外的上升时，该投资者的信用风险上升。

22、 以下哪些说法是正确的：（ B ）

A. 在货币互换中，本金通常没有交换。

B. 在货币互换开始时，本金的流动方向通常是和利息的流动方向相反的，而在互换结

束时，两者的流动方向则是相同的。

C. 在货币互换开始时，本金的流动方向通常是和利息的流动方向相同的，而在互换结

束时，两者的流动方向则是相反的。 D. 在货币互换中，本金通常是不确定的。 23、 假设当前市场期货价格报价为103.5，以下四个债券中，使用哪个交割最为便宜？

（ C ）

a) 债券市场报价110，转换因子1.04。 b) 债券市场报价160，转换因子1.52。 c) 债券市场报价131，转换因子1.25。 d) 债券市场报价143，转换因子1.35。 24、 当基差（现货价格－期货价格）出人意料地增大时，以下哪些说法是正确的：（A ）

a) 利用期货空头进行套期保值的投资者有利。 b) 利用期货空头进行套期保值的投资者不利。

c) 利用期货空头进行套期保值的投资者有时有利，有时不利。 d) 这对利用期货空头进行套期保值的投资者并无影响。

25、 假设某资产的即期价格与市场正相关。你认为以下那些说法正确？（ C ）

4

a) b) c) d) 远期价格等于预期的未来即期价格。 远期价格大于预期的未来即期价格。 远期价格小于预期的未来即期价格。

远期价格与预期的未来即期价格的关系不确定。

26、 运用三个市场中的欧式看跌期权构造蝶式期权组合，其执行价格分别为50，55和

60，期权价格分别为2，4和7，以下哪些答案是正确的：（ BC ） a) 蝶式组合的最大可能收益是5。 b) 蝶式组合的最大可能损失是1.

c) 蝶式组合的一个未来盈亏平衡点为51 。 d) 蝶式组合的另一个未来盈亏平衡点为60。 27、 以下的那些参数与股票欧式看涨期权的价格总是正相关？（ AD ）

a) 股票价格 b) 执行价格 c) 到期时间 d) 波动率

e) 期权存续期内发放的预期红利

28、 考虑一个6个月期的股票看跌期权，执行价格为32，当前股票价格为30，预期在

六个月后，股票价格或者涨到36，或者跌到27，无风险利率为6%。则：（ ABD ） a) 股票价格涨到36的风险中性概率为0.435。

b) 要构造一个可以完全对冲1单位该看跌期权多头的套期保值组合，需要购买0.555

单位的股票。

c) 要构造一个可以完全对冲1单位该看跌期权多头的套期保值组合，需要出售0.555

单位的股票。

d) 该期权价值为2.74。 29、 以下哪个说法是不正确的：（ AC ）

a) 期货合约到期时间几乎总是长于远期合约。

b) 期货合约是标准化的，远期合约则是非标准化的。 c) 无论在什么情况下，期货价格都不会等于远期的价格。 d) 当标的资产价格与利率正相关时，期货价格高于远期价格。

30、 某个持有大量分散化股票投资的养老基金预期股市长期看好，但在未来的三个月内

将会下跌，根据这一预期，基金管理者可以采取的策略包括： （ CD ） A．买入股指期货 B. 购买股指期货的看涨期权

C．卖出股指期货 D. 购买股指期货的看跌期权

二、 判断题

1、 其他条件均相同，?值高的股票的期货价格要高于?值低的股票的期货价格。(错误) 2、 基差（现货价格－期货价格）出人意料地增大，会对利用期货合约空头进行套期保值的

投资者不利。(错误)

5

3、 在货币互换开始时，本金的流动方向通常是和利息的流动方向相反的，而在互换结束时，

两者的流动方向则是相同的。(正确)

4、 如果从动态的角度来考察，那么当无风险利率越低时，看跌期权的价格就越高。(错误) 5、 期权时间价值的大小受到期权有效期长短、标的资产价格波动率和内在价值这三个因素

的共同影响。(正确)

6、 当标的资产价格超过期权协议价格时，我们把这种期权称为实值期权。(正确)

7、 有收益资产美式看跌期权价格可以通过布莱克－舒尔斯期权定价公式直接求得。(错误) 8、 假定证券价格服从几何布朗运动，那么意味着证券价格的对数收益率遵循普通布朗运

动。(正确)

9、 标准布朗运动定义为随机扰动项与根号时间长度的乘积，而非随机扰动项与时间长度本

身的乘积，这是因为期望值和方差具有可加性，而标准差不具有可加性。(正确) 10、 宽跨式组合（Strangle）由相同到期日但协议价格不同的一份看涨期权和一份看跌

期权构成，其中看涨期权的协议价格低于看跌期权的协议价格。(错误)

11、当标的资产价格远远高于期权执行价格时，应该提前执行美式看涨期权。(错误) 12、欧式看跌期权和美式看跌期权的价格上限是相同的，都为期权执行价格。(错误)

13、从比较静态的角度来考察，如果无风险利率越低，那么看跌期权的价格就越高。(正确) 14、有收益美式看跌期权的内在价值为期权执行价格与标的资产派发的现金收益的现值及标的资产市价之间的差额。(错误)

15、期权交易同期货交易一样，买卖双方都需要交纳保证金。(错误) 16、期货合约的到期时间几乎总是长于远期合约。(错误)

17、当标的资产价格与利率呈负相关性时，远期价格就会高于期货价格。(正确) 18、只能通过数值方法求得有收益资产美式看跌期权的价格。(正确)

19、如果股票价格的变化遵循伊藤过程，那么基于该股票的期权价格的变化遵循维纳过程。(错误)

20、看跌期权的反向差期组合是由一份看跌期权多头与一份期限较短的看跌期权多头所组成。(错误)

21. 从持有成本的观点来看，在远期和期货的定价中，标的资产保存成本越高，远期或期货

价格越低。(错误)

22. 一个计划在6个月后进行国债投资的基金经理可以通过卖空国债期货进行套期保值。(错

误) 23. 股票价格服从几何布朗运动意味着

?S服从正态分布。(错误) S24. 利率平价关系表明，若外汇的利率大于本国利率，则该外汇的远期和期货汇率应小于现

货汇率；若外汇的利率小于本国的利率，则该外汇的远期和期货汇率应大于现货汇率。(正确)

25. 在风险中性世界中，期货的漂移率为零。(正确)

26. 在货币互换中，支付高利率货币的投资者所面临的可能损失较小。(错误)

27. 相对而言，条式（Strip）组合更有利于价格大幅上升的情形而带式组合（Strap）有利于

价格大幅下跌的情形。(错误)

28. 平价期权的时间价值最大，深度实值和深度虚值期权的时间价值最小。(正确) 29. N?d2???c，就是在构建期权的套期保值组合时标的资产的投资数量。(错误) ?S30. 风险中性定价原理只是我们进行证券定价时提出的一个假设条件，但是基于这一思想计

算得到的所有证券的价格都符合现实世界。(错误)

6

三、 计算题

1、某无红利支付股票的欧式期权执行价格为29美元，股票现价为30美元，无风险年利率为5%，股票年波动率为25%，期权到期日为4个月。（1）如果该期权为欧式看涨期权，计算其价格；（2）如果该期权为欧式看跌期权，计算其价格；（3）验证看涨看跌期权平价关系是否成立。

解答：在本题中，S0?30,K?29,r?0.05,??0.25,T?0.3333

所以：

ln(30/29)?(0.05?0.252/2)0.3333d1??0.42250.250.3333

2ln(30/29)?(0.05?0.25/2)0.3333d2??0.27820.250.3333N(0.4225)?0.6637,N(0.2782)?0.6096

N(?0.4225)?0.3363,N(?0.2782)?0.3904因此：

（1）欧式看涨期权的价格为：30?0.6637?29e（2）欧式看跌期权的价格为：29e?0.05?0.3333?0.05?0.3333?0.6096?2.52

?0.3094?30?0.3363?1.05

（3）欧式看涨看跌期权平价关系为：p?S0?c?Ke?r(T?t)

将c?2.52,S0?30,K?29,p?1.05,e?r(T?t)?0.9835带入上式，可以发现计算出的欧式看涨看跌期权的价格满足欧式看涨看跌期权平价关系。

2、一家金融机构与A公司签订了一份5年期的利率互换协议，收取10%的固定年利率，支付6个月期的LIBOR，本金为$10,000,000，每6个月支付一次。假设A公司未能进行第六次支付（即在第3年末违约），当时的利率期限结构是平坦的，都为8%（按半年计一次复利计），而第3年年中的6个月期的LIBOR为年利率9%。请问，该金融机构的损失是多少？（15分） 解答：

解法一：

V?Bfix?Bfl?0.5?解法二：

0.50.50.510.5????10.45?0.413百万美元 2341?4%?1?4%??1?4%??1?4%?V?S3?S3.5?S4?S4.5?S5?0.05?0.10.10.10.1????0.413百万美元 234?1?4%??1?4%??1?4%??1?4%?

7

3、假设无风险利率是常数r，股票价格满足dS?uSdt??Sdz，以该股票为标的的期货的理论价格为F，假设股票不支付红利，试证明：dF??u?r?Fdt??Fdz。（15分） 解答：

2?F?Fr?T?t??F?e,?0,??rSer?T?t?r?T?t?2?S?t证明：因为F?Se，?S，

根据Ito引理，有

r?T?t?r?T?t??dt?er?T?t??SdzdF??euS?rSe??，

所以

dF??u?r?Fdt??Fdz。

4、请运用无套利方法推导Black-Scholes微分方程（10分）。并回答下列问题

（1）Black-scholes股票期权定价模型中对股票价格随机过程的假设是什么？（2分） （2）Black-scholes股票期权定价模型中对股票价格概率分布的假设是什么？（2分）

（3）若一股票价格的波动率为每年30％，则在一个交易日内其相应的价格变化的标准差是多少？（假设一年有250个交易日）（2分）

（4） 简要阐述Black-Scholes微分方程中所蕴涵的风险中性定价思想。（4分） 解答：

（1）证明：

假设证券价格S遵循几何布朗运动，因此有：dS??Sdt??Sdz 其在一个小的时间间隔?t中，S的变化值?S为：?S??S?t??S?z

假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函数，从Ito引理可得：

?f?f1?2f22?fdf?(?S???S)dt??Sdz?S?t2?S2?S

在一个小的时间间隔?t中，f的变化值?f为：

?f?f1?2f22?f?f?(?S???S)?t??S?z2?S?t2?S?S

?f构建一个包括一单位衍生证券空头和?S单位标的证券多头的组合。令?代表该投资组

???f?合的价值，则：

?fS?x。在?t时间后，该投资组合的价值变化??为：

?f1?2f22?f???(???S)?t?????f??S2?t2?S?S，可得：

由于不含有?z，该组合的价值在一个小时间间隔?t后必定没有风险，因此该组合在?t

8

中的瞬时收益率一定等于?t中的无风险收益率。否则的话，套利者就可以通过套利获得无风险收益率。因此，在没有套利机会的条件下：???r??t

?f1?2f22?f(??S)?t?r(f?S)?t2?t2?S?S从而： ?f?f122?2f?rS??S?rf22?S?S化简为：?t

这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的

所有衍生证券的定价。

（2）股票价格服从几何布朗运动和对数正态分布。 （3）标准差是??t?0.30.004?0.019。

（4）从BS方程中我们可以看到，衍生证券的价值决定公式中出现的变量均为客观变量，独立于主观变量——风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。因而在为衍生证券定价时，我们可以作出一个可以大大简化我们工作的简单假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。在所有投资者都是风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。同样，在风险中性条件下，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。

5、假设一个不支付红利的股票预期收益率为?，波动率为?，其价格表示为S。现有另一种证券，该证券承诺在其到期时刻T，投资者将获得lnST的payoff。（15分） （1）请用风险中性定价原理为该证券定价。

（2）证明这一价格符合Black-Scholes微分方程。 解答：

f?e?r?T?t????2??r?T?t???E?lnST??elnS?r?T?t???? ??2??????r?T?t???2???2??f?2??r?T?t???r?T?t???re?lnS??r???T?t???e?r???rf?e?r?? ?t222?????????f1?r?T?t? ?e?SS?2f1?r?T?t? ??e?S2S2?f?f122?2f?2?r?T?t????rS??S?rf?e?r??t22?S?S2??1?r?T?t??rT?t??2e???rf ?＋re2?6、假设x是在T时刻支付1美元的贴现债券按连续复利计息的到期收益率。假设x遵循如下过程：dx??(x0?x)dt?sxdz，其中?、x0和s是正常数，dz是维纳过程。那么此债

9

券的价格运动遵循何种过程？（提示：运用Ito引理）（15分） 解答：

假设债券价格为B，由Ito引理可得，债券价格遵循的过程为：

??B?B1?2B??B dB???(x0?x)??dt?sxdz 2??t2?x??x??x因为：B?1?e所以：

?x(T?t)?e?x(T?t)

?B?xe?x(T?t)?xB ?t?B??(T?t)e?x(T?t)??(T?t)B ?x?2B2?x(T?t)?(T?t)e?(T? 2?xt)2 B因此，代入得，债券价格遵循的过程为：

1??dB????(x0?x)(T?t)?x?s2x2(T?t)2?Bdt?sx(T?t)Bdz

2??7、股票价格为50美元，无风险年利率为10%，一个基于这个股票、执行价格都为40美元

的欧式看涨和欧式看跌期权价格相差7美元，都将于6个月后到期。这其中是否存在套利机会？如果有，应该如何进行套利？ 解答：

由于S?Xe?r?T?t??50?40*e?10%*0.5?11.95?C?P?7，因而存在套利机会。套利

方法为：卖空股票，买入看涨期权，卖出看跌期权，将所有现金p?S0?c?43投资于无风险利率，到期无论价格如何，都需要用40元执行价格买入股票，对冲股票空头头寸，从而获得43e10%*0.5?40?5.20的无风险利润。

8、某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息，该股票目前市价等于30，所有期限的无风险连续复利年利率均为6%，某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约空头，请问：?该远期价格等于多少？若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始价值等于多少？?3个月后，该股票价格涨到35元，无风险利率仍为6%，此时远期价格和该合约空头价值等于多少？ 解答：

?

F??S?I?er?T?t?151?6%*?6%*?6%*???30?1*e6?1*e12?e2?28.89

??

f?0

10

F??S?I?e

?

r?T?t?21?6%*?6%*???35?1*e12?e4?34.52??

?6%*14f??(S?I?Ke?r?T?t?)??(35?1*e2?6%*12?28.89*e)??5.55 11

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