高考数学真题分类解析总复习资料考点48 随机事件的概率、古典概

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考点48 随机事件的概率、古典概型、几何概型

一、选择题

1. (2014·湖北高考文科·T5)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则 ( ) A.p1

B.p2

【解题提示】考查古典概型及其概率计算公式.首先列表,然后根据表格点数之和不超过5,点数之和大于5,点数之和为偶数情况,再根据概率公式求解即可. 【解析】选C.列表得:

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

所以一共有36种等可能的结果,两个骰子点数之和不超过5的有10种情况,点数之和大于5的有26种情况,点数之和为偶数的有18种情况,所以向上的点数之和不超过5的概率p1=率p2=

105=,点数之和大于5的概36182613181=,点数之和为偶数的概率记为p3= =3618362.

?x?0?x?y?1?2. （2014·湖北高考理科·Ｔ7）由不等式?y?0确定的平面区域记为?1，不等式?，

?x?y??2?y?x?2?0?确定的平面区域记为?2，在?1中随机取一点，则该点恰好在?2内的概率为（ ） A.

1137 B. C. D. 84481

【解题提示】 首先根据给出的不等式组表示出平面区域，然后利用面积型的几何概型公式求解

【解析】选D. 依题意，不等式组表示的平面区域如图，

由几何概型概率公式知，该点落在?2内的概率为P?SBDF?SBDFCEFS111?2?2???122?7. ?218?2?223. （2014·湖南高考文科·Ｔ5）在区间[?2,3]上随机选取一个数X，则X?1的概率 为（ ）

4321A. B. C. D. 5555【解题提示】利用几何概型的知识解决.

【解析】选B. 基本事件空间为区间[?2,3]它的度量是长度5，X?1的度量是3，所以

3所求概率为。

54. （2014·辽宁高考文科·Ｔ6）将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，

AB?2,BC?1则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是

8

【解题提示】 求出阴影部分面积，利用几何概型求概率

(A)?2(B)?4(C)?6(D)?【解析】选B.

1?s阴=??12=22，正方形面积s?2?1?2. 阴影部分为半圆，其面积

s阴2?==.所以由几何概型知质点落在以AB为直径的半圆内的概率是s24

2

?

5.(2014·陕西高考文科·T6同理科)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为 ( ) A. B. C. D.

【解题指南】根据古典概型的概率公式分别进行计算即可得到结论. 【解析】选B.

从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,共有

=10条线段,

满足该两点间的距离小于1的有AO,BO,CO,DO共6条线段,则根据古典概型的概率公式可知随机(等可能)取两点,则该两点间的距离小于1的概率P==.

6. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45

【解题提示】设出所求概率为p,然后根据已知条件列出关于p的方程,求得p. 【解析】选A.设某天空气质量优良,则随后一天空气质量也优良的概率为p, 则据题有0.6=0.75·p,解得p=0.8,故选A.

二、填空题

7.(2014·广东高考文科·T12)从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为 . 【解析】因为从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,不考虑先后顺序共有10种取法,分别是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),其中取到字母种:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),所求概率为P=答案:

a

的有

4

42=. 1052 5【误区警示】有无顺序是最容易出错的,列10种取法部分同学会遗漏或重复.

8.(2014·广东高考理科)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取7个不同的数,则这7个数的中位数是6的概率为 .

3

33C6?C3【解析】6之前6个数中取3个,6之后3个数中取3个,所求概率为p==1. 76C10答案:1

6【误区警示】考虑中位数是6时,7,8,9是必选的,再从0~5中选3个数字从小到大排在6的左边即可. 9. （2014·上海高考理科·Ｔ10）

为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是________（结果用最简分数表示）.

3【解题提示】选择的3天恰好为连续的3天共有8种选法，而总的选法为C10,根据古典概率公式易得.

P?881??.3C103?4?1015115

3【解析】基本事件总数为C10，3天恰好连续共有8种选法，所以所求的概率为答案：.10. （2014·上海高考文科·Ｔ13）

为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是________（结果用最简分数表示）.

3【解题提示】选择的3天恰好为连续的3天共有8种选法，而总的选法为C10,根据古典概率公式易得.

P?881??.3C103?4?1015115

3【解析】基本事件总数为C10，3天恰好连续共有8种选法，所以所求的概率为答案：.11.（2014·福建高考文科·Ｔ13）13．如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________

【解题指南】 由几何概型概率公式求解． 【解析】由几何概型可知

答案：0.18．

12. （2014·浙江高考文科·Ｔ14）在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖，甲、乙两人各

4

S180?，所以S?0.18． 11000

抽取1张，两人都中奖的概率是______________；

【解析】基本事件总数是3?2?1?6，甲、乙两人各一张，两人中奖只有两种情况，由古典概型的公

p?式知，所求的概率

21?63

1答案：3

13. （2014·辽宁高考理科·Ｔ1４）正方形的四个顶点A(?1,?1),B(1,1),C(1,?1),

D(?1,1)分别在抛物线y??x2和y?x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落

在图中阴影区域的概率是_______

【解析】阴影部分面积s阴等于正方形面积s减去其内部的非阴影部分的面积s1，由对称性可知，

11s1?4?x2dx?4?x30310?448．s阴=2?2?=

3338s2根据几何概型知，质点落在图中阴影区域的概率是p?阴=3=

s2?232答案：

3【误区警示】结合对称性，正方形内部的非阴影部分的面积s1的计算，要防止复杂化，导致增加计算量计算

14.(2014·江西高考理科·T12)10件产品中有7件正品,3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是 .

【解题指南】根据组合的知识及古典概型概率公式求解.

4

【解析】从10件产品中取4件所包含的所有结果为C10种,恰好取到1件次品所包含的

结果有种,故所求概率为答案:

1C37C34C10,计算得.

12125

15. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T13) 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为 . 【解题提示】将“相同颜色”的情况分清楚,利用独立事件的概率求法求解. 【解析】先求出基本事件的个数，再利用古典概型概率公式求解.

甲、乙两名运动员选择运动服颜色有（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，白），（白，红），（白，蓝），（蓝，蓝），（蓝，白），（蓝，红），共9种. 而同色的有（红，红），（白，白），（蓝，蓝），共3种.

31所以所求概率P＝＝.

931答案:

316. （2014·重庆高考文科·Ｔ15）某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30～7:50之间到校,且每人在该时间段内的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 .(用数字作答)

【解题提示】可设出两人到校的时刻,列出两人到校时刻满足的关系式,再根据几何概型的概率公式进行求解.

【解析】设小张与小王到校的时刻分别为7：30之后x,y分钟，则由题意知小张比小王至少早5分钟到校需满足y?x?5 ，其中0?x?20,0?y?20. 所有的基本事件构成的区域为一个边长为20的正方形，随机事件“小张比小王至少早5分钟到校”构成的区域为阴影部分.

1?15?159由几何概型的概率公式可知，其概率为p?2?.

20?20329答案：

32三、解答题

17. （2014·湖南高考文科·Ｔ17）（本小题满分12分）

某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年 研发新产品的结果如下：

6

?a，b?，?a，b?，?a，b?，?a，b?，?a，b?，?a，b?，?a，b?，?a，b?，

?a，b?，?a，b?，?a，b?，?a，?a，b?，?a，b?，?a，b?，b?a分别表示甲组研发成功和失败；b，b分别表示乙组研发成功和失败. 其中a，（1）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研 发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；

（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率. 【解题提示】（1）利用平均数，方差公式计算；（2）利用古典概型的计算公式计算。 【解析】（1）甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1 其平均数为X甲?方差为s2甲102? 15322?21??2?2?????1???10??0???5?? 15?3?????3??9乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1， 其平均数为X乙?方差为s2乙93? 15522?61??3?3?????1???9??0???6?? 15?5525???????因为X甲?X乙，s2甲?s2乙，所以甲组的研发水平优于乙组 （2）记E={恰有一组研发成功}

在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是

（a,b）,(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b),(a,b)

???????共7个，故事件E发生的频率为

7 157 15将频率视为概率，即得所求概率为P（E）?18. （2014·山东高考文科·Ｔ16）

海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.

地区

A 7

B C 数量 50 150 100 （Ⅰ）求这6件样品中来自A,B,C各地区样品的数量；

（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.

【解题指南】(1)本题考查了分层抽样，利用比例求出求这6件样品中来自A,B,C各地区样品的数量；（2）本问考查了古典概型，先将基本事件全部列出，再求这2件商品来自相同地区的概率. 【解析】：

（Ⅰ）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为： A:B:C?50:150:100?1:3:2 所以各地区抽取商品数为：A:6?132?1，B:6??3，C:6??2； 666（Ⅱ）设各地区商品分别为：A,B1,B2,B3,C1,C2

基本时间空间?为：?A,B,A,C,B?A,C??,B?1?,?A,B2?,?A,B3?,1??2??1,B21,B3

?B1,C1?,?B1,C2?,?B2,B3?,?B2,C1?,?B2,C2?,?B3,C1?,?B3,C2?,?C1,C2?，共15个.

样本时间空间为：?B1,B2?,?B1,B3?,?B2,B3?,?C1,C2? 所以这两件商品来自同一地区的概率为：P?A??4. 1519.(2014·陕西高考文科·T19)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:

赔付金额(元) 车辆数(辆) 0 500 1 000 130 2 000 100 3 000 150 4 000 120 (1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率.

(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.

【解题指南】(1)首先由已知计算赔付金额为3000元及4000元得出频率,利用频率估计概率,求和即得所求.(2)利用已知样本车辆中车主为新司机的辆数,再利用图求得赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的辆数,由频率估计概率得值.

【解析】(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”,B表示事件“赔付金额为4000元”,

8

以频率估计概率得P(A)==0.15,P(B)==0.12.

由于投保金额为2800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.

(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔金额为4000元”,由题意知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100辆,而赔付金额为4000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24辆.

所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为由频率估计概率得P(C)=0.24.

20. （2014·天津高考文科·Ｔ15）（本小题满分13分）

某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z，其年级情况如下表：

男同学 女同学 一年级 A X 二年级 B Y 三年级 C Z =0.24,

现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）

（1）用表中字母列举出所有可能的结果

（2）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率.

【解析】(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15种.

(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种. 因此,事件M发生的概率P(M)=

62=. 15521. （2014·四川高考文科·Ｔ16）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，

3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．

（1）求“抽取的卡片上的数字满足a?b?c”的概率； （2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.

9

【解题提示】本题主要考查随机事件的概率、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查应用意识.

【解析】（1）由题意，（a，b，c）所有的可能为

（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（2，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27种．

设“抽取的卡片上的数字满足a?b?c”为事件A，则事件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3种．所以P（A）=

31=． 279（2）设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3种，所以P（B）=1- P（B）=1-因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为

8. 938=. 279关闭Word文档返回原板块

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