几何证明——中点模型(高级)

★初中几何证明专题★

几何证明——中点模型(高级)

【经典例题】

例1、已知?ABC中，?ACB?90，AB边上的高线CH与?ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于

0P、Q两点，PM、QN的中点分别为E、F，求证：EF//AB。

AHNFQPECMB

例2、已知，D为AC边的中点，?A?3?C，?ADB?45?求证：AB?BC。

BADC

例3、已知FC是正方形ABCD和正方形AEFG上的点F、C的连线，点H是FC的中点，连接EH、DH。 求证：EH?DH且EH?DH。

EFADHGBC

◆中点模型◆

1 ★初中几何证明专题★

例4、如图，在四边形ABCD中，AB?CD，E,F分别是BC,AD的中点，A,CD的延长线分别交EF的延长线G,H。 求证：?BGE??CHE.

GHAFDBEC

例5、如图，在?ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE?DF，过E、F分别作CA、CB的垂线，相交于P。求证：?PAE??PBF。

CADBFEP

例6、如图，分别以?ABC的AC和BC为一边，在?ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，过点C作直线MN垂直于AB，交AB于N，交DG于M，证明：M为DG中点，且CM的长为AB的一半。

DMGECFAB

◆中点模型◆

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例7、如图，已知四边形ABCD、EFGH均为正方形，I、J、K、L分别为AE、BK、CG、DH、的中点，求证：IJKL为正方形。

AIEHLDFGJKBC

【提升训练】

1、在?ABC中，D是AB的中点，?DAC?2?DCA，?DCB?30?，求?B的度数。

BDA

2、如图所示，?BAC??DAE?90?，M是BE的中点，AB?AC，AD?AE，求证AM?CD．

AC

MBCED

◆中点模型◆

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3、在四边形ABCD中，设M,N分别为CD,AB的中点，求证MN≤号成立．

CMD1?AD?BC?，当且仅当AD∥BC时等2ANB

4、以?ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt?ABD和等腰Rt?ACE，?BAD??CAE?90?.连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系． ⑴如图① 当?ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ；线段AM与DE的数量关系是 ； ⑵将图①中的等腰Rt?ABD绕点A沿逆时针方向旋转??(0???90)后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

DNEDNAAEBM图①CBM图②C

5、如图，在Rt?ABC中，AB?BC，在Rt?ADE中，AD?DE，且A在线段EC上，连结EC，取EC 的中点M，连结DM和BM．证明：?MBD??MDB．

BDEAMC

◆中点模型◆

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6、如图，在Rt?ABC中，AB?BC，在Rt?ADE中，AD?DE，且AD?AC，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．结论?MBD??MDB成立吗?

BAMDEC

7、如图，?ABC和?ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点，求证：?MBD??MDB．

BDEAMC

8、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF?BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． ⑴求证：EG?CG； ⑵将图①中?BEF绕B点逆时针旋转45?，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． ⑶将图①中?BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问⑴中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

ADAGDADGEEFC图②EBFBF图①CBC图③

◆中点模型◆

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