初中圆知识点及练习题

第三章 圆

【课标要求】

（1）认识圆并掌握圆的有关概念和计算

① 知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性. ② 通过图形直观识别圆的弦、弧、圆心角等基本元素.

③ 利用圆的对称性探索弧、弦、圆心角之间的关系，并会进行简单计算和说理. ④ 探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征. ⑤ 掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理. ⑥ 了解三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的概念. ⑦ 掌握圆内接四边形的性质 （2）点与圆的位置关系

① 能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系. ② 知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”并会作图. （3）直线与圆的位置关系

① 能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系. ② 了解切线的概念.

③ 能运用切线的性质进行简单计算和说理. ④ 掌握切线的识别方法.

⑤ 了解三角形内心、三角形内切圆和圆的外切三角形的概念.

⑥ 能过圆上一点画圆的切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算. （4）圆与圆的位置关系

① 了解圆与圆的五种位置关系及相应的数量关系.

② 能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关系. ③ 掌握两圆公切线的定义并能进行简单计算 （5）圆中的计算问题

① 掌握弧长的计算公式，由弧长、半径、圆心角中已知两个量求第三个量. ② 掌握求扇形面积的两个计算公式，并灵活运用.

1

③ 了解圆锥的高、母线等概念.

④ 结合生活中的实例(模型)了解圆柱、圆锥的侧面展开图. ⑤ 会求圆柱、圆锥的侧面积、全面积，并能结合实际问题加以应用. ⑥ 能综合运用基本图形的面积公式求阴影部分面积. 2、基础知识

（1）掌握圆的有关性质和计算

① 弧、弦、圆心角之间的关系:

在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.

② 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理的推论:

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

③ 在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半. ④ 圆内接四边形的性质:

圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角.

（2）点与圆的位置关系

① 设点与圆心的距离为

则点在圆外

，圆的半径为，

； 点在圆内

．

； 点在圆上

② 过不在同一直线上的三点有且只有一个圆. 一个三角形有且只有一个外接

圆.

③ 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.

三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.

（3）直线与圆的位置关系

① 设圆心到直线的距离为

则直线与圆相离

，圆的半径为，

；直线与圆相交

．

；直线与圆相切

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② 切线的性质:与圆只有一个公共点；

圆心到切线的距离等于半径； 圆的切线垂直于过切点的半径.

③ 切线的识别:如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线. 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.

经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线.

④ 三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点.

三角形的内心到三角形三边的距离相等.

⑤ 切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. ⑥ 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.

这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.

（4）圆与圆的位置关系

① 圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含. 设两圆心的距离为

，两圆的半径为

，则两圆外离

两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含

② 两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴.

由对称性知:两圆相切，连心线经过切点. 两圆相交，连心线垂直平分公共弦. ③ 两圆公切线的定义:和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线.

两个圆在公切线同旁时,这样的公切线叫做外公切线. 两个圆在公切线两旁时,这样的公切线叫做内公切线.

④ 公切线上两个切点的距离叫做公切线的长. （5）与圆有关的计算

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① 弧长公式： 扇形面积公式：

（其中为圆心角的度数，为半径） ② 圆柱的侧面展开图是矩形．

圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体． 圆柱的侧面积＝底面周长×高 圆柱的全面积＝侧面积＋２×底面积

③ 圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半

径等于圆锥的母线长．

圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体．

④ 圆锥的侧面积＝3、能力要求

×底面周长×母线；圆锥的全面积＝侧面积＋底面积

例1 如图，AC为⊙O 的直径，B、D、E都是⊙O上的点，求∠A+∠B +∠C的度数.

【分析】由AC为直径，可以得出它所对的圆周角是直角，所以连

结AE，这样将∠CAD（∠A）、∠C放在了△AEC中，而∠B与∠EAD是同弧所对的圆周角相等，这样问题迎刃而解．

【解】 连结AE

∵AC是⊙O的直径 ∴∠AEC=90

O

∴∠CAD +∠EAD+∠C =90

O

∵ ∴∠B=∠EAD

O

∴∠CAD +∠B+∠C =90

【说明】这里通过将∠B转化为∠EAD，从而使原本没有联系的∠A、∠B 、∠C都在 △AEC中，又利用“直径对直角”得到它们的和是90．解题中一方面注意到了隐含条件“同弧所对的圆周角相等”，另一方面也注意到了将“特殊的弦”（直径）转化为“特殊的角”（直角），很好地体现了“转化”的思想方法．

4

O

练习二

一、知识点：

㈠、确定圆的条件

1．过已知两点的圆的圆心组成的图形是_____________________________________， _____________________________________确定一个圆．

2.三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的_____________，它的圆心叫做三角形的_______，它是三角形_______________________的交点；这个三角形叫做圆的__________________- 3．三角形外心的位置：

锐角三角形的外心在_________________________; 直角三角形的外心是_________________________; 钝角三角形的外心在_________________________．

㈡直线和圆的位置关系 1．直线和圆的位置关系有三种：（1）_____________；（2）____________；（3）____________ 2．当直线和圆 _____________公共点时，叫做直线和圆相交，此时圆心到直线的距离_______半径；

当直线和圆 _____________公共点时，叫做直线和圆相切，此时圆心到直线的距离_______半径；

当直线和圆 _____________公共点时，叫做直线和圆相离，此时圆心到直线的距离_______半径；

3．切线的性质：圆的切线___________________

PA是?O的切线???_______________

______________?或：PA切⊙O于点A?____________________________

4．判定直线为圆的切线：经过_____________，并且垂直于_______________的直线

如图可表述为：是圆的切线。

O P

A

_______________???PA是?O的切线

______________?5．和三角形各边____________的圆叫做三角形的___________，它的圆心叫做三角形的

如图可表述为：

__________，是三角形__________________________________的交点; 这个三角形叫做圆的__________________-

6.过圆外一点可引圆的______条切线，这个点到各个切点的距离________。 二、一些常见关系及辅助线作法：

7.已知⊙O中，直径CD⊥AB于点E，

⑴若a＝r，则∠AOB＝_______o，d＝______（用含r的代数式表示）．

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⑵若a＝2r，则∠AOB＝_______o，d＝______（用含r的代数式表示）． ⑶若a＝3r，则∠AOB＝_______o，d＝______（用含r的代数式表示）．

8. 已知△ABC是⊙O的内接三角形，⊙I的外切三角形。设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r。

⑴若△ABC的周长为s，则△ABC的面积与s，r的关系为_______________________． ⑵若△ABC是边长为a的等边三角形，则R＝_______，r＝______（用含a的代数式表示）．

⑶若△ABC是直角边长为a, b，斜边长为c的直角三角形，则R＝_______，r＝______________（用含a, b, c的代数式表示）．

⑷若△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，则R＝_______，r＝_______（用含a的代数式表示）．

⑸若△ABC是腰长为a，顶角为120o的等腰三角形，则R＝_______（用含a的代数式表示）．

9.已知直线是圆的切线，常作的辅助线是连接_____________得________________ 10.证明一条直线是圆的切线方法：

⑴证明直线和圆只有一个公共点（不常用）

⑵已知直线和圆有一个公共点时所作的辅助线为_____________，证明______________ ⑶已知中没有说明直线和圆的公共点时所作的辅助线为_____________，证明______________

11. 作△ABC的外接圆的方法：分别作两边的________________，使这两条直线交于点O，以Ｏ为圆心，OA为半径作圆。所作的圆就是△ABC的外接圆。

12．作△ABC的内切圆的方法：⑴分别作两内角的________________，使这两条线段交于点I；⑵过I作IE⊥BC于E；⑶以I为圆心，IE为半径作圆。所作的圆就是△ABC的内切圆。

三、课堂练习题：

13．下列命题中，真命题的个数是 （ ）

①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形。③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等。

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

14．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在的圆的圆心的坐标 。

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第14题 第15题 第16题

15. 图中△ABC外接圆的圆心坐标是 16. 如图，方格纸上一圆经过（2，5），（2，－3）两点，则该圆圆心的坐标为 17. 一只猫观察到一老鼠洞的全部三个出口，它们不在一条直线上，这只猫应蹲在___________地方，才能最省力地顾及到三个洞口。

18.圆外切平行四边形是_____________形，圆内接平行四边形是_______形。 19．已知直线a：y＝x－3和点A（0，－3），B（3，0）.设P为a上一点，试判断P、A、B是否在同一个圆上。

20.如图，已知圆的内接三角形ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，E是直线AD的延长线与

△ABC外接圆的交点。

（1）求证：AB2＝AD·AE

（2）当D为BC延长线上一点时，第（1）问的结论成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由。

21.直线AB经过⊙O上一点C，且OA＝OB，CA＝CB，求证直线AB是⊙O的切线。

A

22.直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，则以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？

E

B

四、课后练习题：

1. Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5 ，AC＝12 则其外接圆半径为

2. 若直角三角形的两直角边长分别为6，8，则这个三角形的外接圆直径是 3. 等腰三角形ABC内接于半径为5cm的⊙O中，若底边BC＝8cm，则△ABC的面积是 4. 在Rt△ABC中，如果两条直角边的长分别为3、4，那么Rt△ABC的外接圆的面积为

5. 等边三角形的边长为4，则此三角形外接圆的半径为 6．边长为6的正三角形的内切圆的半径是（ ）

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D C

3 D. 2 27．△ABC中∠A＝90°，AB＝AC，以A为圆心的圆切BC于Ｄ，若BC＝12CM，则⊙A的半径d为 cm

8. 如图，AB是⊙Ｏ的直径，∠CAB＝30°，过C作⊙Ｏ的切线交AB的延长线于D，OD＝15cm， 则AB＝ cm

A.3 B. 23 C.

第8题 第13题 第15题

9. 已知等边三角形ABC的边长为2，那么这个三角形的内切圆的半径为 。

10. Rt △ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以C为圆心作⊙C 与AB相切，则⊙C的半径为 。

11. 已知⊙O的直径为6，P为直线l上一点，OP＝3，那么直线l与⊙O的位置关系是 12. 若一个直角三角形的斜边长为10，其内切圆半径为2，则这个三角形的周长是 。 13. 如图，PA切⊙Ｏ于点A，PO交⊙Ｏ于点Ｂ，若PA＝６，BP＝4，则⊙Ｏ的半径为（ ）

55 A. B. C.2 D.5

4214. 以三角形的一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是（ ）

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 15如图，是一块残破的圆轮片，A、B、C是圆弧上的三点 ⑴作出弧ACB所在的⊙O（不写作法，保留作图痕迹） ⑵如果AC＝BC＝60cm，∠ACB＝120°， 求该残破圆轮片的半径。

16．已知圆的直经为13cm，如果直线和圆心的距离为4.5cm，那么直线和圆有 公共点。

17. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm， AC＝3cm，以点C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？为什么？

18．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，（ 点D在⊙O外）AC平分∠BAD

（1）求证：CD是⊙O的切线

（2）若DC、AB的延长线相交于点E，且DE＝12，AD＝9，求BE的长。

19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC 的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB的长的半径作圆，求证：

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（1）AC是⊙D的切线 （2）AB+EB＝AC

20．一个圆球放置在V形架中，如图是它的平面示意图，CA和CB是⊙O的切线，切点分别为A，B，如果⊙O的半径为23cm且AB＝6m，求∠ACB的度数。

21. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AD是△ABC的高，⊙O的直径AE交BC于点F，点P在BC的延长线上，∠CAP＝∠B

（1）求证：PA是⊙O的切线 （2）求证：PC·PB＝PD·PF

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