漆安慎 杜禅英 力学习题及答案02章

漆安慎 杜禅英 力学习题及答案02章

第2章 质点运动学 第2章 质点运动学

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第二章 质点运动学

一、基本知识小结

⒈基本概念 2

2)

(dt

r d dt v

d a dt

r d v t r r

===

= )()()(t a t v t r ??

（向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件：000,,v v r r t t

===）

⒉直角坐标系 ,,???2

2

2

z y x r k

z j y i x r ++=++= r

与x,y,z

轴夹角的余弦分别为 r z r y r x /,/,

/.

v v v v v k v j v i v v z y x z y

x

,,???2

2

2

++=

++=与x,y,z 轴夹

角的余弦分别为 v v v v v v z y x /,

/,/.

a a a a a k

a j a i a a z y x z y x

,,???2

22++=++=与x,y,z 轴夹

角的余弦分别为 ./,

/,

/a a a a a a z y x

2

2

22

22

,

,

,

,dt

z d dt

dv a dt

y d dt

dv a dt

x d dt

dv a dt dz v dt dy v dt dx v z z y y x

x z y x =

=

==

=

=

=

==

),,(),,(),,(z y x z y x a a a v v v z y x ??

⒊自然坐标系 ||,

,

?);(ττττv v dt

ds v v v s r r ==

==

ρ

τττττ2

2

2

2

2

,

,,??v

a dt

s d dt

dv a a a a n

a a a n n n =

=

=

+=

+=

)()()(t a t v t s ττ??

⒋极坐标系 2

2,??,?θ

θθv v v v r

v v r r r r r +=

+==

dt

d r

v dt dr v r θθ==

,

⒌相对运动 对于两个相对平动的参考系

',

0't t r r r =+=

（时空变换）

0'v v v

+= （速度变换）

0'a a a

+= （加速度变换）

若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有：

z

z y y x x z z y y x x a a a a a a v v v v V v v t

t z z y y Vt x x =====-====-=',','',','',',','

y y'

V

o x o' x' z z'

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二、思考题解答

2.1质点位置矢量方向不变，质点是否作直线运动？质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？

解答：质点位置矢量方向不变，质点沿直线运动。质点沿直线运动，质点位置矢量方向不一定不变。如图所示。

2.2若质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作何种运动？速度矢量的大小不变而方向改变作何种运动？

解答：质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作变速率直线运动；速度矢量的大小不变而方向改变作匀速率曲线运动。

2.3“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法是否正确？如何正确表述瞬时速度的定义？我们是否能按照瞬时速度的定义通过实验测量瞬时速度？ 解答：“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法不正确。因为瞬时速度与一定的时刻相对应。瞬时速度的定义是质点在t 时刻

的瞬时速度等于t 至t+△t 时间内平均速度t /r ?? ，当△t →0时的

极限，即dt

r d t r lim v 0t

=

??=→?。很难直接测量，在技术上常常用很短时间

内的平均速度近似地表示瞬时速度，随着技术的进步，测量可以达

到很高的精确度。

2.4试就质点直线运动论证：加速度与速度同号时，质点作加速运动；加速度与速度反号时，作减速运动。是否可能存在这样的直线运动，质点速度逐渐增加但加速度却在减小？ 解答：

,

dt

dv t

v lim

a x

x 0

t x =

??=→?加速度与速度同号时，就是说

,0a ,0v 0a ,0v x x x x <<>>或以0a ,0v x x >>为例，速度为正表示速度

的方向与x 轴正向相同，加速度为正表示速度的增量为正，

t t ?+时刻的速度大于t 时刻的速度，质点作加速运动。同理可说明

,0a ,0v x x <<质点作加速运动。

质点在作直线运动中速度逐渐增加但加速度却在减小是可能存在的。例如初速度为x 0v ，加速度为t 6a x

-=，速度为

2

0t

0x 0x t

2

1t 6v dt )t 6(v v -

+=-+=?，,0v ,0a

6t x x

>><时，速度逐渐增加。

2.5设质点直线运动时瞬时加速度=x a 常量，试证明在任意相等的时间间隔内的平均加速度相等。 解答：平均加速度1

21x 2x x t t v v a --=

由瞬时加速度

,

dt a dv

,dt a dv

,dt

dv a 2

1

2

x 1

x t t x v v x

x x

x

x ??===

得，

1

2

1

x 2x x t t v v a --=

，=x a 常量，即1

2

1

x 2x x t t v v a --=

为常量。 2.6在参照系一定的条件下，质点运动的初始条件的具体形式是否与计时起点和坐标系的选择有关？ 解答：有关。

例子，以地面为参照系，研究物体的自由下落。

2.7中学时曾学过

as

2v v ,at 2

1

t v s ,at v v 2

02t 200t =-+

=+=，

这几个匀变速直线运动的公式，你能否指出在怎样的初始条件下，

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可得出这几个公式。 解答：0s ,v v ,0t 0===

2.8试画出匀变速直线运动公式（2.

3.7）和（2.3.9）的t v x -图和

t a x -图。

)9.3.2),......(x x (a 2v v )

7.3.2,......(t a 2

1t v x x 0x 2

x 02

x 2

x x 00-=-+

+=

解答：（1）

t

a v dt

dx v x x 0x +==

（2）

)x x (2v v tg a 02

x 02

x x --=

α=

2.9对于抛体运动，就发射角为

2 ;,0 ;0π

±

=απ=απ-α>这几种

情况说明它们各代表何种运动。

解答：①下斜抛；②平抛；③竖直上下抛。

2.10抛体运动的轨迹如图所示，试在

图中用矢量表示它在A 、B 、C 、D 、E 各点处的速度和加速度。 解答：

2.11质点作上斜抛运动时，在何处的速率最大，在何处的速率最小？

解答：

t

sin g v 2t g v v ,gt sin v v ,cos v v 02

2

2

00y 0x α-+=-α=α=

求极值，

g

sin v t 0α=

时，有极小值，

即最高点处速率最小。（O 、A 处速率最大）

2.12试画出斜抛运动的速率—时间曲线。 解答：t sin g v 2t g v v 02

2

2

0α-+=

2.13在利用自然坐标研究曲线运动时，

v v v

和、τ三个符号的含义有什么不同？

解答：τv 为速度在切线单

位矢量的投影τ

=τ?v v

，它不同于速率v ，τv 有正负，v v =τ

。v

表示的是

速度，沿切线方向，有大小和方向。

2.14质点沿圆周运动，自A 点起，从静止开始作加速运动，经B 点到C 点；从C 点开始作匀速圆周运动，经D 点直到E 点；自E 点以后作减速运动，经F 点又到A

点时速度变成零。用矢量表示出质点

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在A 、B 、C 、D 、E 、F 各点的法向加速度和切向加速度的方向。 解答：

2.15什么是伽利略变换？它所包含的时空观有何特点？ 解答：①伽利略变换 ;v v ,v v ,v v v ;z z ,y y ,vt x x z z y y x x ='='-='='='-='

②时空观特点

同时性；等时性；等长性。 相对论中的洛伦兹变换：

,1x

c v

t t ,z z ,y y ,1vt x x 2

2

2

β--

=

'='='β

--=

'

,c /v =β当0→β该变换回到伽利略变换。

时空观特点

同时的相对性；运动的杆缩短；运动的时钟变慢。

三、习题解答

2.1.1质点运动学方程为：j i t r ?5?)23(++= ⑴

j t i t r ?)14(?)32(-+-=

⑵

,求质点轨迹并用图表示.

解：⑴,5,23=+=y t x 轨迹方程为5=y 的直线.

⑵14,32-=-=t y t x ，消去参数t 得轨迹方程0534=-+y x

2.1.2 质点运动学方程为k

j e i e r t t ?2??22++=- .⑴求质点轨迹；⑵求自t= -1到t=1质点的位移。

解：⑴由运动学方程可知：1,2,,22====-xy z e y e x t t ，所以，质点是在z=2平面内的第一像限的一条双曲线上运动。

⑵j e e i e e r r r ?)(?)()1()1(2222---+-=--=?

j i ?2537.7?2537.7+-=。所以，位移大小：

x

x

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11

?==??=?==??=?=-

=??==+-=?+?=

?900arccos |

|arccos

z 45)2

2

arccos(

||arccos y 135)22

arccos(||arccos x ,

22537.72537

.7)2537.7()

()(||2

22

2r z

r y r x y x r γβα轴夹角

与轴夹角与轴夹角

与

2.1.3质点运动学方程为j t i t r ?)32(?42++=

. ⑴求质点轨迹；⑵求质点自t=0至t=1的位移.

解：⑴32,42+==t y t x ，消去参数t 得：2)3(-=y x

⑵j i j j i r r r ?2?4?3?5?4)0()1(+=-+=-=?

2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为?==7.33,410011θm R

0.75s 后测得?==3.29,424022θm R ，R 1,R 2均在铅直面内，求飞机瞬时速率的近似值和飞行方

向（α角）

解：t R t R R v v ??=?-=≈

12，在图示的矢量三角形中，应用余弦定理，可求得：

m

R R R R R 58.3494.4cos 4200410024240

4100)

cos(22

2

21212

221=???-+=

--+=?θθ

s m t R v v /8.46575.0/58.349/≈=??=≈

据正弦定理：)180sin(/)sin(/1221αθθθ--?=-?R R

?

=∴?≈--?≈?=?-=--?89.34,41.111180,

931.058.349/4.4sin 4240/)sin()180sin(12121ααθθθαθR R

2.2.2 一圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为

y=x 2/200(长度：毫米)。第一次观察到圆柱体在x=249mm 处，经过时间2ms 后，圆柱体移到x=234mm 处。求圆柱体瞬时速度的近似值。

解：由于Δt 很小，所以，t

r v v ??=≈

，

其中，15249234,??,212-=-=-=??+?=?=?x x x j y i x r ms t

2.36200/)249234

(200/)(2

2

2

12

212-=-=-=-=?x x y y y

j i j t y i t x v ?1.18?5.7?)/(?)/(--=??+??≈∴ 。其大小

ms mm v /6.19)

1.18()5.7(||2

2=+-=

；与x 轴夹角

?-=-=-==5.112)38265.0arccos(6

.195.7arccos

arccos

v

v x α

x

1

2

1

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12

2.2.3一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者17m ；另一人在广州听同一演奏的转播，广州离北京2320km ，收听者离收音机2m ，问谁先听到声音？声速为340m/s ，电磁波传播的速率为

3.0×108m/s.

解：声音传播情况如图所示，

北京人听到演奏声音所需时间：

s t 05.0340/171==

广州人听到演奏声音所需时间： s t 0136.0340

210

0.310232083

2≈+

??=

2.2.5火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90km/h 速率行驶，3min 后以70km/h 速率向北偏西30°方向行驶，求列车的平均加速度。

解：t v t v v a ??=?-=

12 对矢量三角形应用余弦定理：

s m h km v v v v v /69.12/69.453

709070

90

30cos 22

2

212

22

1==?-+=

?-+=

?

2

/07.060

369.12s m t

v a =?=??=，由正弦定理：

?

?=

30sin sin 2v v α

?≈≈?=??=50,

766.069.45/5.070/30sin sin 2ααv v

2.2.6 ⑴k t j t R i t R r ?2?

sin ?cos ++= ，R 为正常数，求t=0,π/2时的速度和加速度。⑵k t j t i t r ?

6?5.4?332+-= ，求t=0,1时的速度

和加速度（写出正交分解式）。

解：⑴k

j t R i t R dt r d v ?2?cos ?sin /++-== j

R a k i R v i R a k j R v j t R i t R dt v d a t t t t ?|,?2?|,?|,?2?|.?sin ?cos /2/2/00-=+-=-=+=∴--======ππ ⑵k

t j dt v d a k t j t i dt r d v ?36?9/,

?18?9?3/2+-==+-==

； k

j a k j i v j a i v t t t t ?36?9|,?18?9?3|,?9|,?3|1100+-=+-=-======

2.3.1图中a 、b 和c 表示质点沿直

线运动三种不同情况下的x-t 图像，试说明每种运动的特点（即速度，计时起点时质点的位置坐标，质点位于坐标原点的时刻）

解：质点直线运动的速度

dt dx v /=，在x-t

由于三种图像都是直线，因此三种运动都是匀速直线运动，设直线

与x 轴正向夹角为α，则速度t x tg v ??==/α

对于a 种运动：

s tg t m x s m tg v x t 55.113020|,20|,/312000=?==-=?===

对于b 种运动： s

tg t m x ms

tg v x t 32.1730/10|,10|,3/330001

-≈?-===

?===-对于c 种运动：

m tg x s t ms

tg v t x 254525|,25|,145001

-=?-===?===-

17m 2320km,3×108

m/s 340m/s

2m

v 1=西

t(s)

c

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13

2.3.2质点直线运动的运动学方程为x=acost,a 为正常数，求质点速度和加速度，并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）

解：t a dt dv a t a dt dx v t a x x x x cos /,sin /,cos -==-=== 显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围：

a a a a v a a x a x x ≤≤-≤≤-≤≤-,

,

2.3.3跳伞运动员的速度为qt

qt e

e v --+-=11β

，v 铅直向下，β,q 为

正常量，求其加速度，讨论时间足够长时（即t →∞）速度、加速度的变化趋势。

解：

2

2

)

1(2)

1()

)(1()1()11(qt

qt

qt

qt

qtt

qt

qt

qt qt

e

qe e qe

e

qe e

e

e

dt d dt

dv a ---------+=

+---+=+-==

ββ

β

因为v>0，a >0，所以，跳伞员做加速直线运动，但当t →∞时，v →β，a →0，说明经过较长时间后，跳伞员将做匀速直线运动。

2.3.4 直线运行的高速列车在电子计算机控制下减速进站。列车原运行速率为v 0=180km/h ，其速率变化规律如图所示。求列车行至x=1.5km 时的加速度。

解：.sin

/),5/cos(5

05

0x v dx dv x v v π

π

π-

==

dx dv dt

dx dx

dv v

a =?

=

x v ππ5

2

2

0101

sin

-=，将v 0=180km/h,x=1.5km 代入

2

2

2

10

1/75.0/9676108sin 18014.3s m h km a -=-=????-=

2.3.5在水平桌面上放置A 、B 两

物体，用一根不可伸长的绳索按图示

的装置把它们连接起来，C 点与桌面

固定，已知物体A 的加速度a A =0.5g ，求物体B 的加速度。

解：设整个绳长为L ，取图示坐标o-x ，则3x A +(-4x B ) = L

对时间求两次导数，3a A =4a B ，所以a B = 3a A /4=3×0.5g/4 = 3g/8

2.3.6质点沿直线的运动学方程为x=10t+3t 2

. ⑴将坐标原点沿o-x 正方向移动2m ，运动学方程如何？初速度有无变化？⑵将计时起点前移1s ，运动学方程如何？初始坐标和初速度发生怎样的变化？加速度变不变？

解：x=10t+3t 2，v=dx/dt=10+6t ，a =dv/dt=6，t=0时，x=0,v=10 ⑴将坐标原点向x 轴正向移动2m ，即令x'=x-2，x=x'+2，则运动学方程为：x'=10t+3t 2-2，∵v'=dx'/dt=10+6t ，∴v'=v

⑵将计时起点前移1s ，即令t'=t+1，t=t'-1，则运动学方程变为：x = 10(t'-1) + 3(t'-1)2 = 10t' – 10 + 3t'2 - 6t' + 3 = 4t' + 3t'2 – 7 v'=dx/dt'=4+6t'，t'=0时，x= -7，v'=4，加速度a 不变。

2.4.1质点从坐标原点出发时开始计时，沿x 轴运动，其加速度a x = 2t (cms -2)，求在下列两种情况下质点的运动学方程，出发后6s 时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。⑴初速度v 0=0；⑵初速度v 0的大小为9cm/s ，方向与加速度方向相反。

解：2

00

,2,

20

t v v tdt dv tdt dt a dv x t

v v x x x x

+====??

x(km) v

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14

33

100

2

00

2

0,,

)(t t v x dt t dt v dx dt t v dt v dx t

t x x +

=+=+==???

⑴cm x t x t v v x 726)6(;

,

02

3

13

3

120=?=

=

==时，

cm x S m x x x 7272)0()6(===-=??路程

⑵t t x t v v x 9,

993

3

120-=

-=-=时，

cm x x x 18)0()6(=-=?

令v x =0，由速度表达式可求出对应时刻t=3，由于3秒前质点沿x 轴反向运动，3秒后质点沿x 轴正向运动，所以路程：

cm x x x x x x S 543618)393(218)3(2)6(|)3()6(||)0()3(|3

3

1=+=?-?-=-=-+-=

2.4.2质点直线运动瞬时速度的变化规律为：v x = -3 sint ，求t 1=3至t 2=5时间内的位移。

解：??-=-==5

3

sin 3,sin 35

3

tdt dx tdt dt v dx x x x

m x x x 82.3)3cos 5(cos 335=-=-=?

2.4.3 一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为 a x = -A ω2cos ωt.在t=0时，v x =0,x=A ，其中A,ω均为正常数。求此质点的运动学方程。

解：tdt A dv t A dt dv a x x x ωω

ωωcos ,

cos /2

2

-=-==，

??

?

-=-=t

v t

x t td A tdt A dv x

2

)

(cos cos ωωωωω

t

A x t A t A A x t td A tdt A dx tdt

A dx dt dx t A v t

t t

x A

x ωωωωωωωωωωωcos ),

1(cos |cos )

(sin sin sin ,

/sin 00

=-==--=-=-==-=???

2.4.4飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动，刚着陆时，t=0

时速度为v 0，且坐标x=0，假设其加速度为 a x = - bv x 2

，b=常量，求飞机速度和坐标随时间的变化规律。

解：bt v dt b dv v dt bv dt a dv x x

v

v x

t

v v x x x x x -=--=-==--??00

|,,1

2

2

bt

v v v v bt v bt v bt v v x x

x

v 000

00

1,

1,

11

,

11+=

++=

-=-

)

1ln(1,

1)1(11,

100

000

000

00bt v b

x bt

v bt v d b

bt

v dt v dx bt

v dt v dt v dx t

t

x

x +=

++=

+=+==?

?

?

2.4.5在195m 长的坡道上，一人骑自行车以18km/h 的速度和-20cm/s 2的加速度上坡，另一自行车同时以 5.4km/h 的初速度和0.2m/s 2的加速度下坡，问：⑴经多长时间两人相遇？⑵两人相遇时各走过多长的路程？

解：以上坡者出发点为原点沿其前进方向建立坐标o-x ，用脚标1表示上坡者，用脚标2表示下坡者。

两人的加速度实际上是相同的：2

21/2.0s m a a -==

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第2章 质点运动学 第2章 质点运动学

15

s

m h km v v s m h km v v x x x x t /5.1/4.5,/5/18195

,00202101202101-=-==========时，初始条件：

根据匀变速直线运动公式：

2

2

22

1202

2

2

12

11011.05.11951951.05t

t t a t v x t

t t

a t v x --=+

+

=-=+

=

⑴令

x 1=x 2，可求得相遇时间：5t=195-1.5t, t=195/6.5=30s

⑵对于上坡者，在相遇期间做的不一定是单方向直线运动，据上坡者的速度表达式：v 1=5-0.2t ，令v 1=0，求得对应时刻t=25s ，所以，上坡者在25s 前是在上坡，但25s 后却再下坡。因此，上坡者在30s 内走过的路程：

m

x x x x x x S 65)301.0305()251.0255(2)30()25(2|)25()30(||)0()25(|2

2

1111111=?-?-?-?=-=-+-=

对于下坡者，因为做单方向直线运动，所以30s 内走过的路程： m x x x x S 13560195)30()0(|)0()30(|22222=-=-=-=

2.4.6站台上送行的人，在火车开动时站在第一节车

厢的最前面，火车开动后经过Δt=24s ，火车第一节车厢的末

尾从此人的前面通过，问第七节车厢驶过他面前需要多长时间?火车做匀加速运动。

解：设每节车厢长为L ，以地为参考系，以人所在点为原点建立图示坐标o-x ，以第一节车厢的前端点为研究对象，t=0时，前端点的坐标x=0，速度v=0，据匀加速运动公式：

2

2

1at x =

，

令x=L ，求得：2

2

24

2)

(2L t L a =

?=，∴2224/Lt x =

令x=6L ，可求得第6节车厢尾端通过人时所需时间t 6： 624,

246,

24/662

22

2

==?==t t t Lt L

令x=7L ，可求得第7节车厢尾端通过人时所需时间t 7： 724,

247,

24/772

22

2

==?==t t t Lt L

因此，第7节车厢通过人所需时间： s t t t 71.4)67(2467=-

=-=?

2.4.7 在同一铅直线上相隔h 的两点以同样速率v 0

上抛二石子，但在高处的石子早t 0秒被抛出，求此二石子何时何处相遇？

解：以地为参考系，建立图示坐标o-y 。据题意，

设t=0时，上面石子坐标y 1=h ,速度v 1=v 0；t=t 0时，下面石子坐标y 2=0，v 2=v 0

解法1：根据匀变速直线运动的规律，可知

]

4

1[2

12

)

()(,)

()(2

02

22

00002

021002

2

10212

0210022

2

101gt gt h

g

v h y t g v gt h t t t g t t v gt

t v h y y t t g t t v y gt

t v h y -

-

+

=

++=

---=-+=---=-

+=相遇时石子坐标得，代入⑴或⑵中，可求

求得相遇时间

有令⑵

⑴

解法2：可根据速度、加速度的导数定义和初始条件，通过积分得到⑴、⑵，然后求解。

x

0 a 1

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第2章 质点运动学 第2章 质点运动学

16

2.4.8电梯以1.0m/s 的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板0.50m 高，问当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离？

解：以电梯为参考系，小孩相对电梯做竖直上抛运动，他从起跳到再次落到地板所需时间，是他从最高处自由下落到地板所需时间的2倍。由自由落体运动公式：2

2

1gt h =，可求得从最高出落到

地板所需时间：s h g t 32.05.0/8.92/2≈?=

=

，所以小孩做

竖直上抛所需时间为0.64s ，在此时间内电梯对地下落距离：

L = 1.0×0.64 = 0.64 m

2.5.1质点在o-xy 平面内运动,其加速度为j t i t a ?sin ?cos --=

，位置和速度的初始条件为：t=0时，i r j v ?,?== ，求质点的运动学

方程并画出轨迹。

解：

j

t i t j t i t i r tdt j tdt i r d dt j t i t dt v r d j t i t j t i t j v tdt j tdt i v d dt j t i t dt a v d t

t

r

i t

t v

j

?sin ?cos ?sin ?)1(cos ?cos ?sin ?,

)?cos ?sin (?cos ?sin ?)1(cos ?sin ?sin ?cos ?,

)?sin ?cos (0

?

?+=+-+=+-=+-==+-=-+-=--=--==???

???

1

sin ,cos 2

2

=+==∴y

x t y t x

2.5.2 在同一竖直面内的同一水平线上A 、B 两点分别以30º、60º为发射角同时抛出两球，欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最

高点，求A 、B 两点间的距离。已知小球在A 点的发射速度v A =9.8米/秒。

解：以A 点为原点建立

图示坐标系，取发射时刻为

计时起点，两点间距离为S ，

初始条件如图所示。

据斜抛规律有：

⑷

⑶

⑵⑴gt

v v gt

v v S t v x t v x BO By AO Ay BO B AO A -?=-?=+?=?=60sin 30sin 60cos 30cos

满足题中条件，在最高点相遇，必有v Ay =v By =0,x A =x B m

ctg g

v S t v v S v v g v t AO BO AO AO BO AO 83.2)605.030(cos 2,)60cos 30cos (60sin /30sin ,/30sin ,0,2

=?-?=

?-?==??=?==⑹代入⑺中得：

把⑸⑺

⑵，得令⑴⑹⑸⑷令⑶

2.5.3迫击炮的发射角为60°发射速率150m/s ，炮弹击中倾角为30°的山坡上的目标，发射点正在山脚，求弹着点到发射点的距离OA.

解：以发射点为原点，建立图示坐标o-x ，斜抛物体的轨迹方程为（见教材）：

2

2

2

0cos 2x v g xtg y α

α-

=

本题，α=60°，v 0=150m/s ，A 点坐标x A ,y A 应满足轨迹方程，所以： 2

2

2

2

2

02360cos 260A A A A A x v g x x v g tg x y -

=

?

-

?= ①

另外，根据图中几何关系，可知：OA OA x A 2

330cos =

?=

x

x

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17

OA OA y A 2

130sin =

?=，代入①中，有：

m g

v OA OA v g OA OA 15318

.93150

232,232

2

02

2

2

32

1≈??=

=

-

=

2.5.4轰炸机沿与铅直方向成53°俯冲时，在763m 的高度投放炸弹，炸弹在离开飞机5.0s 时击中目标，不计空气阻力：⑴轰炸机的速率是多少？⑵炸弹在飞行中通过的水平距离是多少？⑶炸弹击中目标前一瞬间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少？

解：以投放点为原点，建立图示坐标o-xy,

设炸弹初速度（即轰炸机速度）为v 0. 由于炸

弹在飞行过程中的加速度j g a ?=

，所以炸弹在

x 方向做匀速直线运动，在y 方向做竖直下抛运动，有

④

③

②

①2

2

1000053cos 53sin 53cos 53sin gt t v y t

v x gt v v v v y x +

?=?=+?=?=

⑴令t=5.0s ，y=763m ，由④可求得轰炸机的速率： s m t

gt y v /86.2125

6081.05

8.95.076353cos 5.02

2

0≈???-=

?-=

⑵将v 0代入①中，可求得炸弹击中目标时速度的水平分量：

s m v x /17053sin 86.212=?=

令t=5，由②可求得炸弹击中目标时速度的竖直分量：

s m v y /1.17758.953cos 86.212=?+?=

2.5.5雷达监测员正在监视一越来越近的抛射体，在某一时刻，

他给出这样的信息：⑴抛射体达到最大高度且正以速率v 沿水平方向运动；⑵观测员到抛射体的直线距离是l ；⑶观测员观测抛体的视线与水平方向成θ角。问：⑴抛射体命中点到观测者的距离D 等于多少？⑵何种情况下抛体飞越观察员的头顶以后才命中目标？何种情况下抛体在未达到观察员以前就

命中目标？

解：以抛体所达最大高度处为

计时起点和坐标原点，建立图示坐标o-xy ，抛体以速度v 做平抛运动.

设命中时间为t 1，由自由落体公式： g l t gt l /sin 2,sin 12

121

θθ=

=

命中点x 坐标为：g l v vt x /sin 211θ==，由图中几何关系，观测者的x 坐标：θcos 2l x =。所以，观测者与命中点间的距离：

|/sin 2cos |||12g l v l x x D θθ-=-=

当x 1<x 2，即 θ

θ

θθsin 2cos ,cos /sin 2l g l v l g l v <<时，

则抛体在未达到观察员前即命中目标。

当x 1>x 2，即 θ

θ

sin 2cos l g l v >时，则抛体在飞越观察员后

才命中目标。

2.6.1列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围内，其运动学方程为S=80t-t 2（m,s ），t=0时，列车在图中O 点，此圆弧形轨道的半径r=1500m ，求列车驶过O

点以后前进至

中

点 测者

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18

1200m 处的速率及加速度。

解：S=80t-t 2 ① v=dS/dt=80-2t ②

令S=1200，由①可求得对应时间：

s s t t t 20,60,01200802

==+-求得

将t=60代入②中，v=-40，不合题意，舍去；将t=20代入②中，v=40m/s ，此即列车前进到1200m 处的速率。

?

≈-===+-=+=

===-==152)2

067.1(/267.2067

.1)2(/067.11500/40/,/2/2

2

22

2

2

2

2

2

arctg a a arctg

v a s

m a a a s m r v a s m dt dv a n n

n τ

ττα所成夹角：

与

2.6.2 火车以200米/小时的速度驶入圆形轨道，其半径为300米。司机一进入圆弧形轨道立即减速，减速度为2g 。求火车在何处的加速度最大？最大加速度是多少？

解：沿火车运动的圆形轨道建立弧坐标o-s ，t=0时，s =0,v=v 0=200km/h=55.56m/s 。据题意a τ= -2g ，v=v 0+a τt=v 0 -2g t ，a n =v 2/R=(v 0 –2gt)2/R 。∴a=(a τ2+a n 2)1/2=[4g 2+(v 0 –2gt)4/R 2]1/2，显然，t=0时，a 最大， 2

2

402

max /1.22/4s m R

v g

a =+=

2.6.3斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道上运动，当斗车达到图中所示位置时，轨道曲率半径为150m ，斗车速率为50km/h ，切向加速度a τ=0.4g ，求斗车的加速度。 解：2/92.38.94.04.0s m g a =?==τ

2

23600

10

502

286.1150/)(/3

-?===ms v a n ρ

n n

a a a n ?286.1?92.3??+=+=τττ

2

2

2

2

2

/126.4286

.192

.3s m a a a n

=+=+=

τ

加速度a

与切向单位矢量τ?夹角： ?===16.1892

.3286

.1arctg

arctg

a a n τ

θ

2.8.1 飞机在某高度的水平面上飞行，机身的方向是自东北向西南，与正西夹15º角，风以100km/h 的速率自西南向东北方向吹来，

与正南夹45º角，结果飞机向正西方向运动，

求飞机相对于风的速度及相对于地面的速度。 解：风地机风机地v v v

+=，由矢量图可知，?

=

?

=

?

15sin 135sin 30sin 风地机风机地v v v ，其中，v

风地

=100km/h=27.78m/s ，∴

可求得：

s

m v v s m v v /67.5315sin 30sin ,/89.7515sin 135sin ≈?

?=

≈?

?=

风地机地风地机风

2.8.3 一卡车在平直路面上以恒速度30米/秒行驶，在此车上射出一个抛体，要求在车前进60米时，抛体仍落回到车上原抛出点，问抛体射出时相对于卡车的初速度的大小和方向，空气阻力不计。

解：以卡车为参考系，设抛体初速为v 0，由于要落回原抛出点，

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19

故方向只能竖直向上，即抛体相对车只能作竖直上抛运动。

取向上方向为正，抛体相对车任意时刻速度 v = v 0 - g t ⑴ 由题意，抛体落回原地所需时间 t = 60/30 = 2(s)，落到车上时的速度 v = - v 0 ，把数值代入⑴中，可求得 v 0 = 9.8 m/s .

2.8.4 河的两岸互相平行，一船由A 点朝与岸垂直的方向匀速驶去，经10min 到达对岸C 点。若船从A 点出发仍按第一次渡河速率不变但垂直地到达彼岸的B 点，需要12.5min 。已知BC=120m. 求：

⑴河宽L ；⑵第二次渡河时船的速度u

；⑶水流速度v.

解：以船为运动质点，水为动系，岸为静系，由相对运动公式 v

u v u v v v v v v

+====+=ωω

则上式可改写为：令，在这里，船岸船水水岸水岸船水船岸,,

由第一次渡河矢量图可知：v=BC/t 1=120/600=0.2m/s, ⑴ u = L / t 1 ⑵, L = u t 1 ⑶. 由第二次渡河矢量图可知：

ω2 = L / t 2 ⑷， cos α= ω2/ u ⑸, v = u sin α ⑹. 把⑵、⑷

代入⑸，求得 cos α=t 1/t 2=600/750=4/5, sin α=(1-cos 2α)1/2

=3/5 ⑺

把⑴、⑺代入⑹，求得 u = 0.2×5/3 = 1/3 (m/s). 再把u 的数值代入⑶，求得L = 600/3 = 200(m).

答：河宽200米，水流速度0.2米/秒；第二次渡河时，船对水的速度是1/3米，与河岸垂直方向所成角度α=arccos(4/5)=36º52’.

2.8.5圆形公路与沿半径方向的东西向公路相交如图，某瞬时汽

车甲向东以20km/h 的速率行驶，汽车乙在θ=30°的位置向东北方

向以速率20km/h 行驶，求此瞬时甲车相对乙车的速度。

解：由相对运动公式：2121v v v

+=， 2112v v v

-=，

显然矢量三角形为等边三角形，所以，v 12=20km/h ，方向向东偏南60°

第一次渡河矢量图 第二次渡河矢量图

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/fcd4.html