2016年广州市荔湾区中考一模数学

2016年广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.实数a的相反数是（ ）． A. a B. ?a C.

1 D.|a| a2.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）． A．1 5 B．0.5 C．5 D．50 3.直线y?x?2不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．抛物线y?2x2?3的对称轴是（ ）． A. y轴

B. 直线x?2 C. 直线x?3 D.直线x??3 45.将图1所示的图案通过平移后可以得到的图案是（ ）．

A. B. C. D . 图1

6.甲、乙两名同学在参加体育中考前各作了5次投掷实心球的测试，甲、乙所测得的成绩的平均数相同，且甲、乙成绩的方差分别为0.62、0.72，那么（ ）． A.甲、乙成绩一样稳定 B. 甲成绩更稳定 C.乙成绩更稳定 D.不能确定谁的成绩更稳定 7. 下列函数中，当x>0时，y值随x值增大而减小的是（ ）．

2A.y?x B. y?x?1 C. y?31x D. y? 4x2

8.如图，用一个半径为30cm，面积为300?cm的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（ ）．

A．5cm B．10cm C．20cm D．5?cm

9. 如图，把矩形ABCD沿EF对折，若?1?50，则?AEF等于（ ）．

?A．115? B．130? C．120?

D．65?

第1页（共25页）

10. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A = 22.5°，OC = 4，CD的长为（ ）． A．2

B．4 C．4

D．8

A B

E D 1

F

第9题

C

第10题

第8题

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 方程组??2x?y?3的解是 ．

x?y?3?12.用科学记数法表示0.00210，结果是 . 13．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.

14．已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为 ．

15．若m，n是方程x2?2x?1?0 的解，则2m2?3m?n 的值是 .

16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是 .

第13题 第16题

三、解答题（本大题共9题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题满分9分）

?3x?2??4?求不等式组 的解，并在数轴上表示出来. ??x??2

第2页（共25页）

18．（本小题满分9分）

已知：如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE=CF． 求证：BE=DF．

B F

第18题

C A

E D

19.（本题满分10分）先化简：(1?1a?1)?2，若?1?a?4时， aa?2a请代入你认为合适的一个a值，并求出这个代数式的值.

20．（本小题满分10分）

如图，?ABC的三个顶点都在5?5的网格（每个小正方形的边长均 为1个单位长度）的格点上.

（1）在网格中画出将?ABC绕点B顺时针旋转90°后的

△A′BC′的图形.

（2）求点A在旋转中经过的路线的长度.（结果保留?）

第3页（共25页）

第20题 21.(本小题满分12分).某校七年级各班分别选出3名学生组成班级代表队，参加知识竞赛，得分最多的班级为优胜班级，各代表队比赛结果如下：

班级 七(1) 七(2) 七(3) 七(4) 七(5) 七(6) 七(7) 七(8) 七(9) 七(10) 得分 85 90 90 100 80 100 90 80 85 90 (1)写出表格中得分的众数、中位数；

(2)学校从获胜班级的代表队中各抽取1名学生组成“绿色环保监督”小组，小明、小红分别是七(4)班和七(6)班代表队的学生，用列表法或画树状图的方法说明同时抽到小明和小红的概率是多少？

22． (本小题满分12分) 如图，在直角坐标系中，O为坐标原点.已知反比例函数y?＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为k（kx1. 2（1）求k和m的值；

（2）求当x≥1时函数值y的取值范围.

第4页（共25页）

第22题

23．（本小题满分12分）

广州市体育中考项目改为耐力跑后，某体育用品商场预测某款运动鞋能够畅销，就用16000元购进了一批这款运动鞋，上市后很快脱销，商场又用40000元购进第二批这款运动鞋，所购数量是第一批的2倍，但每双鞋的进价高了10元。求该款运动鞋第一次进价是多少元？

24.（本小题满分14分）

如图，正三角形ABC内接于⊙O，P是弧BC上的一点（P不与点B、C重合），且PB?PC，

PA交BC于E，点F是PC延长线上的点，CF?PB，AB?13，PA?4． （1）求证?ABP≌?ACF； （2）求证AC?PA?AE； （3）求PB和PC的长．

第5页（共25页）

2ABEPOCF第24题

25．（本小题满分14分）

如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象的顶点为D点，与

y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝

OC ，tan∠ACO＝

1． 3（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点

A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求

该圆半径的长度．

（4）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，

当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

图1 图2

第25题

第6页（共25页）

2016年广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．实数a的相反数是（ ） A．a

B．﹣a C．

D．|a|

【考点】实数的性质．

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【解答】解：a的相反数是﹣a， 故选：B．

2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】最简二次根式．

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【解答】解：A、B、C、D.

=

=

，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项错误；

，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项错误；

，是最简二次根式；故C选项正确； =5

，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项错误；

故选C．

3．直线y=x﹣2不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】一次函数图象与系数的关系．

【分析】由已知中函数的解析式，结合一次函数的图象和性质，分析直线y=x﹣2的位置，可得答案．

第7页（共25页）

【解答】解：∵直线y=x﹣2的斜率k=1＞0，故直线必过第一，第三象限， 又∵直线y=x﹣2的截距b=﹣2＜0， 故直线与y轴的交点在原点下方， 故直线过第四象限，

即直线y=x﹣2不经过第二象限， 故选：B

4．抛物线y=2x2﹣3的对称轴是（ ） A．y轴 B．直线x=2 C．直线【考点】二次函数的性质．

【分析】根据所给的二次函数表达式，可知a、b、c的值，再代入对称轴的计算公式，即可求．

【解答】解：∵a=2，b=0，c=3=﹣3， ∴﹣

=﹣

=0，

D．直线x=﹣3

故对称轴是x=0． 故选A．

5．将图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（ ）

A． B． C． D．

【考点】利用平移设计图案．

【分析】根据平移的特征分析各图特点，只要符合“图形的形状、大小和方向都不改变”即为答案．

【解答】解：根据平移不改变图形的形状、大小和方向， 将题图所示的图案通过平移后可以得到的图案是A， 其它三项皆改变了方向，故错误． 故选A．

第8页（共25页）

6．甲、乙两名同学在参加体育中考前各作了5次投掷实心球的测试，甲、乙所测得的成绩的平均数相同，且甲、乙成绩的方差分别为0.62、0.72，那么（ ） A．甲、乙成绩一样稳定

B．甲成绩更稳定

C．乙成绩更稳定 D．不能确定谁的成绩更稳定 【考点】方差；算术平均数． 【分析】根据方差的意义解得即可． 【解答】解：∵S甲2=0.62，S乙2=0.72， ∴S甲2＜S乙2， ∴甲成绩更稳定． 故选B．

7．下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ ） A．y=x2 B．y=x﹣1

C．

D．

【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质． 【分析】A、根据二次函数的图象的性质解答；B、由一次函数的图象的性质解答；C、由正比例函数的图象的性质解答； D、由反比例函数的图象的性质解答．

【解答】解：A、二次函数y=x2的图象，开口向上，并向上无限延伸，在y轴右侧（x＞0时），y随x的增大而增大；故本选项错误；

B、一次函数y=x﹣1的图象，y随x的增大而增大； 故本选项错误； C、正比例函数D、反比例函数故选：D．

8．用一个半径为30cm，面积为300π cm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（ ） A．5cm B．10cm C．20cm D．5πcm 【考点】圆锥的计算．

第9页（共25页）

的图象在一、三象限内，y随x的增大而增大； 故本选项错误； 中的1＞0，所以y随x的增大而减小； 故本选项正确；

【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到?2π?r?30=300π，然后解方程求出r即可． 【解答】解：根据题意得?2π?r?30=300π， 解得r=10（cm）． 故选B．

9．如图，在平面内，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF等于（ ）

A．115° B．130° C．120° D．65° 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】根据折叠前后角相等可知． 【解答】解：∵∠1=50°，

∴∠AEF=180°2=115° ﹣∠BFE=180°﹣÷故选A．

10．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5° ，OC=4，CD的长为（ ）

A．2 B．4 C．4 D．8

【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．

【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=CD=2CE进行计算． 【解答】解：∵∠A=22.5°，

第10页（共25页）

OC=2，然后利用

∴∠BOC=2∠A=45°，

∵⊙O的直径AB垂直于弦CD， ∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形， ∴CE=

OC=2

， ．

∴CD=2CE=4故选：C．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．方程组

的解是 ．

【考点】解二元一次方程组．

【分析】先用加减消元法消去y求出x的值，再用代入法求出y的值即可． 【解答】解：（1）+（2）得，3x=6， 解得，x=2．

把x=2代入（2）得，2+y=3， y=1．

故原方程组的解为

12．用科学记数法表示0.00210，结果是 2.1×10﹣3 ． 【考点】科学记数法—表示较小的数．

10﹣n，与较大数【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×

的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

10﹣3． 【解答】解：用科学记数法表示0.00210，结果是2.1×10﹣3． 故答案为：2.1×

第11页（共25页）

．

13．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA= ．

【考点】锐角三角函数的定义．

【分析】在直角△ABD中利用勾股定理求得AD的长，然后利用正弦的定义求解． 【解答】解：在直角△ABD中，BD=1，AB=2， 则AD=则sinA=

=

=．

=．

=

，

故答案是：

14．已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为 10 ． 【考点】角平分线的性质．

【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PD． 【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PE=PD=10． 故答案为：10．

15．若m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的解，则2m2﹣3m+n的值是 4 ．

第12页（共25页）

【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．

【分析】由m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的解，利用根与系数的关系即可得出“m+n=﹣=2，mn==﹣1”，再将2m2﹣3m+n变成m+n与mn的形式，代入数据即可得出结论． 【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的解， ∴m+n=﹣=2，mn==﹣1．

∵2m2﹣3m+n=2m2﹣4m+（m+n）=2m（m﹣2）+（m+n）=﹣2mn+（m+n）， ∴2m2﹣3m+n=﹣2×（﹣1）+2=4． 故答案为：4．

16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是

．

【考点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．

【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF，根据勾股定理求出AF即可．

【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3， ∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°， 延长AD交EF于M，连接AC、CF，

则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF﹣AB=3﹣1=2，∠AMF=90°， ∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形， ∴∠ACD=∠GCF=45°， ∴∠ACF=90°， ∵H为AF的中点，

第13页（共25页）

∴CH=AF，

在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=∴CH=

，

．

=

=2

，

故答案为：

三、解答题（本大题共9题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．求不等式组

的解，并在数轴上表示出来．

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．

【分析】分别求出每个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集即可．【解答】解：解不等式3x+2＞﹣4，得x＞﹣2， 解不等式﹣x＞﹣2，得x＜2， ∴不等式组的解集为：﹣2＜x＜2 把解集在数轴上表示，

18．已知，如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE=CF．求证：BE=DF．

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．

【分析】证法一：根据矩形的对边相等可得AB=CD，四个角都是直角可得∠A=∠C=90°，然后利用“边角边”证明△ABE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；

第14页（共25页）

证法二：先求出BF=DE，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BFDE为平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证． 【解答】证法一：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB=CD，∠A=∠C=90°， 在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SAS），

∴BE=DF（全等三角形对应边相等）；

证法二：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，AD=BC， 又∵AE=CF， ∴AD﹣AE=BC﹣CF， 即ED=BF， 而ED∥BF，

∴四边形BFDE为平行四边形， ∴BE=DF（平行四边形对边相等）．

19．先化简：这个代数式的值． 【考点】分式的化简求值．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．

【解答】解：原式=

?

=a﹣2，

，若﹣1＜a＜4时，请代入你认为合适的一个a值并求出

当a=1时，原式=1﹣2=﹣1．

第15页（共25页）

20．如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上．

（1）在网格中画出将△ABC绕点B顺时针旋转90°后的△A′BC′的图形． （2）求点A在旋转中经过的路线的长度．（结果保留π）

【考点】作图-旋转变换；弧长的计算．

【分析】（1）将BC绕点B顺时针旋转90°，得到BC′，再以BC′为直角边，利用网格画出△A′BC′即可；

（2）利用网格，根据勾股定理求出BA的长，在根据扇形弧长公式解答即可． 【解答】解：（1）△A′BC′为所求；

（2）∵在△ABC中，∠ACB=90°∴AB=∵∠ABA'=90° ∴

=

=

．

=

=

21．某校七年级各班分别选出3名学生组成班级代表队，参加知识竞赛，得分最多的班级为优胜班级，各代表队比赛结果如下：

班级 七（1）七（2）七（3）七（4）七（5）七（6）七（7）七（8）七（9）七（10）第16页（共25页）

得分 85 90 90 100 80 100 90 80 85 90 （1）写出表格中得分的众数、中位数；

（2）学校从获胜班级的代表队中各抽取1名学生组成“绿色环保监督”小组，小明、小红分别是七（4）班和七（6）班代表队的学生，用列表法或画树状图的方法说明同时抽到小明和小红的概率是多少？

【考点】列表法与树状图法；中位数；众数．

【分析】（1）由表格，直接根据众数与中位数的定义求解即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与同时抽到小明和小红的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）众数90，中位数90；

（2）设七（4）班另外两名学生为A、B，七（6）班另外两名学生为a、b， 据此可画树状图：

∴所有可能出现的结果有9种，其中同时抽到小明、小红的结果有1种， ∴同时抽到小明和小红的概率P=．

22．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数y=（k＞0）的图象经过点A（2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为． （1）求k和m的值；

（2）求当x≥1时函数值y的取值范围．

第17页（共25页）

【考点】反比例函数系数k的几何意义．

【分析】（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y=，可求出k的值；

（2）求出x=1时，y的值，再根据反比例函数的性质求解． 【解答】解：（1）∵A（2，m）， ∴OB=2，AB=m，

∴S△AOB=?OB?AB=×2×m=， ∴m=，

∴点A的坐标为（2，）， 把A（2，）代入y=，得k=1；

（2）∵当x=1时，y=1，

又∵反比例函数y=在x＞0时，y随x的增大而减小， ∴当x≥1时，y的取值范围为0＜y≤1．

23．广州市体育中考项目改为耐力跑后，某体育用品商场预测某款运动鞋能够畅销，就用16000元购进了一批这款运动鞋，上市后很快脱销，商场又用40000元购进第二批这款运动鞋，所购数量是第一批的2倍，但每双鞋的进价高了10元．求该款运动鞋第一次进价是多少元？

【考点】分式方程的应用．

【分析】设该款运动鞋第一次进价为x元，则第二次进价为（x+10）元，接下来，用含x的式子可表示出两次购进这款运动鞋的数量，最后依据第二批所购数量是第一批的2倍列方程求解即可．

【解答】解：设该款运动鞋第一次进价为x元，则第二次进价为（x+10）元． 依题意得 2?解得：x=40．

经检验x=40是原分式方程的根．

第18页（共25页）

=，

答：该款运动鞋第一次进价为40元．

24．如图，正三角形ABC内接于⊙O，P是BC上的一点，且PB＜PC，PA交BC于E，点F是PC延长线上的点，CF=PB，AB=（1）求证：△ABP≌△ACF； （2）求证：AC2=PA?AE； （3）求PB和PC的长．

，PA=4．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）先根据等边三角形的性质得到AB=AC，再利用圆的内接四边形的性质得∠ACF=∠ABP，于是可根据“SAS”判断△ABP≌△ACF；

（2）先根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，再根据圆周角定理得

∠APC=∠ABB=60°，加上∠CAE=∠PAC，于是可判断△ACE∽△APC，然后利用相似比即可得到结论；

（3）先利用AC2=PA?AE计算出AE=

，则PE=AP﹣AE=，再证△APF为等边三角形，

得到PF=PA=4，则有PC+PB=4，接着证明△ABP∽△CEP，得到PB?PC=PE?A=3，然后根据根与系数的关系，可把PB和PC看作方程x2﹣4x+3=0的两实数解，再解此方程即可得到PB和PC的长．

【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，

∵四边形ABPC为圆的内接四边形， ∴∠ACF=∠ABP， 在△ABP和△ACF中，

，

∴△ABP≌△ACF；

第19页（共25页）

（2）∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠APC=∠ABB=60°， ∴∠ACE=∠APC， ∵∠CAE=∠PAC， ∴△ACE∽△APC， ∴AE：AC=AC：AP， ∴AC2=PA?AE；

（3）解：∵AC2=PA?AE，AB=AC， ∴AE=

=

，

=，

∴PE=AP﹣AE=4﹣∵△ABP≌△ACF， ∴∠APB=∠F=60°， 而∠APC=60°，

∴△APF为等边三角形， ∴PF=PA=4， ∴PC+CF=PC+PB=4，

∵∠BAP=∠PCE，∠APB=∠APC， ∴△ABP∽△CEP， ∴PB：PE=AP：PC， ∴PB?PC=PE?AP=×4=3， ∵PB+PC=4，

∴PB和PC可看作方程x2﹣4x+3=0的两实数解，解此方程得x1=1，x2=3， ∵PB＜PC， ∴PB=1，PC=3．

第20页（共25页）

25．如左图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为0）OB=OC，与y轴交于C点，与x轴交于A、（3，，tan∠ACO=．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积． 当点P运动到什么位置时，

【考点】二次函数综合题．

B、C三点坐标．【分析】（1）求二次函数的表达式，需要求出A、已知B点坐标，且OB=OC，可知C（0，3），tan∠ACO=，则A坐标为（﹣1，0）．将A，B，C三点坐标代入关系式，可求得二次函数的表达式．

（2）假设存在这样的点F（m，n），已知抛物线关系式，求出顶点D坐标，今儿求出直线CD，E是直线与x轴交点，可得E点坐标．四边形AECF为平行四边形，则CE∥AF，则两直线斜率相等，可列等式（1），CE=AF，可列等式（2），F在抛物线上，为等式（3），根据这三个等式，即可求出m、n是否存在．

（3）分情况讨论，当圆在x轴上方时，根据题意可知，圆心必定在抛物线的对称轴上，设圆半径为r，则N的坐标为（r+1，r），将其代入抛物线解析式，可求出r的值．当圆在x轴的下方时，方法同上，只是N的坐标变为（r+1，﹣r），代入抛物线解析式即可求解． （4）G在抛物线上，代入解析式求出G点坐标，设点P的坐标为（x，y），即（x，x2﹣2x﹣3）已知点A、G坐标，可求出线段AG的长度，以及直线AG的解析式，再根据点到直

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线的距离求出P到直线的距离，即为三角形AGP的高，从而用x表示出三角形的面积，然后求当面积最大时x的值．

【解答】解：（1）方法一：由已知得：C（0，﹣3），A（﹣1，0）， 将A、B、C三点的坐标代入，得：

，

解得：，

所以这个二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3， 方法二：由已知得：C（0，﹣3），A（﹣1，0）， 设该表达式为：y=a（x+1）（x﹣3）， 将C点的坐标代入得：a=1，

所以这个二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3；

（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，﹣3）， 理由：易得D（1，﹣4），

所以直线CD的解析式为：y=﹣x﹣3， ∴E点的坐标为（﹣3，0），

由A、C、E、F四点的坐标得：AE=CF=2，AE∥CF， ∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形， ∴存在点F，坐标为（2，﹣3），

方法二：易得D（1，﹣4），所以直线CD的解析式为：y=﹣x﹣3， ∴E点的坐标为（﹣3，0），

∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形， ∴F点的坐标为（2，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（﹣4，3）， 代入抛物线的表达式检验，只有（2，﹣3）符合， ∴存在点F，坐标为（2，﹣3）．

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（3）如图，①当直线MN在x轴上方时， 设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，R）， 代入抛物线的表达式，解得②当直线MN在x轴下方时， 设圆的半径为r（r＞0）， 则N（r+1，﹣r）， 代入抛物线的表达式， 解得∴圆的半径为

，

或

．

，

（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q， 易得G（2，﹣3），直线AG为y=﹣x﹣1． 设P（x，x2﹣2x﹣3），则Q（x，﹣x﹣1），

PQ=﹣x2+x+2．S△APG=S△APQ+S△GPQ=（﹣x2+x+2）×3 当x=时，△APG的面积最大 此时P点的坐标为（，﹣

），S△APG的最大值为

．

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2016年6月27日

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