中山市2012年初三数学竞赛试题及答案

中山市2012年初三数学竞赛试题 //////////////////////////////////////////// 一 题 号 1～5 得 分 评卷人 6～10 11 12 13 14 二 三 总 分 合分人 复查人 考 号 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．对任意实数a，下列等式一定成立的是 （ D ） A．a2?a B．a2??a C．a2??a D．a?a 2．若实数x、y、z满足?x?z??4?x?y??y?z??0，则下列式子一定成立的是 （ D ） A．x?y?z?0 B．x?y?2z?0 C．y?z?2x?0 D．z?x?2y?0 3．关于x的方程ax??3a?1?22 密 姓 名 2封 线 x??2有a?1?0两个不相等的实根x1、x2，且有?内 学 校 x1?x1x2?x21?，则?aa的值是 （ C ） A．1 B．2 C．-1 D．1或-1 不4．二次函数y?ax2?bx?c的图像如图所示，则反比列函数y?a与正比列函数y?bx在同一坐标 x系内的大致图像是 （ B ） y O x y y y y 要 答 镇 区 O A x O B x O C x O D x 题 /////////////////////////////// BC=6，5．如图，矩形ABCD中，AB=8，若将矩形顶点A、C重合折叠起来，则折痕PQ长为（ A ） A． 15 2 B．7 C．8 D．17 2 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） b??a(a＞b，a?0）6．对实数a、b，定义运算☆如下：a☆b???b ??a(a?b，a?0），计算[2☆(?3)]?[(?3)☆(?2)]= 9. 8

7．已知a?3?1，则a2 012?2a2 011?2a2 010= 0 .

8．如图，是二次函数y?ax2?bx?c(a?0)图像的一部分，给出下列结论 ：①a?b?c?0；②

2b2?4ac；③方程ax?bx?c?0的两根分别为-3和1；④a?b?c?0；⑤b?2a；⑥3a?c?0．其

中错误结论是 ④ ．（只要求填写正确命题的序号）

9．如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上，并与直线y?3x相切．设半圆3C1,C2,C3的半径分别是r1，r2，r3，则当r1?1时，r3? 9 ．

y

C3 O C1 C2

第8题图 第9题图 10．已知a1?1?x 111，a2?1?，a3?1?，…，则a2012的值为 m ．（用含m的代数式表示） ma2a1三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

2??x?2x, x?311．已知函数y?? ，且使y?k成立的x值恰好有四个，求实数k的取值范

2??x?10x?24, x ?3围.

解：如图

观察图像易知，直线y?3与函数图像恰有四个交点，直线y?-1与函数图像恰有两个交点，所以实数k的取值范围为???k?3.(画图15分，结论5分)

12．如图，在平面直角坐标系内，正?ABC的顶点坐标为B(1，0)、C(3，0)，过坐标原点O的一条直线分别与边AB、AC交于点

M、N. 若OM =MN，求点M的坐标.

解：过点N作x轴的平行线与AB交于点L，因为OM=MN，所以,?OBM∽?NLM?NL?OB?1. 由于?ABC是边长为2的等边三角形，所以?ALN是边长为1的等边三角形，N是边AC的中点， 在?ABC中可求得A(2,3)，有C(3,0)，所以，进而可求得M???5?4,3??. 4??

13.在?ABC中,?ABC?60o, ?ACB?40o,P为?ABC的角平分线与?ACB的角平分线的交点.

证明:AB?PC.

A

证明：如图，联结AP并延长至D使PD =PC，知?PAC?40. 进而 ?CPD?60，所以?PCD为等边三角形，

又?BAC?80??ACD,AC=CA，?ACB?40??CAD, 则?ABC∽?CDA，因此AB=CD. 由CD=PC，得AB=PC.

oo?oPBC

14．已知关于x的一元二次方程(k2?6k?8)x2?(2k2?6k?4)x?k2?4?0的两个根都是整数.求

实数k的值.

解：原方程可化为

[(k?4)x?(k?2)][(k?2)x?(k?2)]?0. 因为(k?4)(k?2)≠0,所以,

k?22x1????1?,k?4k?4

k?24x2????1?.k?2k?22故k?4??,

x1?14k?2??,

x2?1其中,x1≠－1, x2≠－1.

两式相减并化简得 x1(x2?3)??2.

因为x1、x2都是整数,所以,

(x1,x2)?(?2,?2),(1,?5),(2,?4).

10从而,k?6,3,.

3经检验,均满足题意.

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