2017-2018学年北京市海淀区高一（下）期中数学试卷

2017-2018学年北京市海淀区高一（下）期中数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（4分）sin18°cos12°+cos18°sin12°=（ ） A．﹣

B．﹣ C．

D．

，则sinA=（ ）

2．（4分）在△ABC中，已知a=3，b=4，A． B． C． D．1

3．（4分）函数f（x）=sinxcosx的最大值为（ ） A．1

B． C．

D．

4．（4分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，那么该几何体的

体积为（ ）A．3

B．6

C．

D．12

5．（4分）如图，飞机飞行的航线AB和地面目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行10千米到达B处，测得目标C的俯角为75°，这时B处与地面目标C的距离为（ ）

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A．5千米 B．千米 C．4千米 D．千米

6．（4分）如图1，直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE和平面CDEF不重合

）

下

面

说

法

正

确

的

是

（

）

A．存在某一位置，使得CD∥平面ABFE B．存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE C．在翻折的过程中，BF∥平面ADE恒成立 D．在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF恒成立

7．（4分）在△ABC中，A＜B＜C，则下列结论中不正确的是（ ） A．sinA＜sinC B．cosA＞cosC C．tanA＜tanB D．cosB＜cosC

8．（4分）在△ABC中，若AC=2，∠B=60°，∠A=45°，点D为AB边上的动点，则下列结论中不正确的是（ ） A．存在点D使得△BCD为等边三角形 B．存在点D使得C．存在点D使得D．存在点D使得CD=1

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．（4分）计算：cos215°﹣sin215°= ． 10．（4分）已知

，则tanα的值为 ．

11．（4分）已知正四棱柱底面边长为1，高为2，则其外接球的表面积为 ． 12．（4分）在△ABC中，已知A=60°，

，b=3，则c= ．

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13．（4分）若α，β均为锐角，且满足是 ．

14．（4分）如图，棱长为

，，则sinβ的值

的正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1逆时针

旋转θ（θ＞0），若旋转后三棱锥D1﹣DC1A1与其自身重合，则θ的最小值是 ；三棱锥D1﹣DC1A1在此旋转过程中所成几何体的体积为 ．

三、解答题：本大题共4小题，每小题11分，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15．（11分）已知函数f（x）=2sinx（cosx﹣sinx）+1． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求f（x）在区间

上的最大值．

16．（11分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，∠ACD=45°，∠BCD=90°． （Ⅰ）求证：（Ⅱ）若

；

，求BC的长．

17．（11分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，AC⊥CB，侧面B1BCC1⊥底面ABCD，E，F分别是AB，C1D的中点． （Ⅰ）求证：EF∥平面B1BCC1； （Ⅱ）求证：EF⊥AC；

（Ⅲ）在线段EF上是否存在点G，使得AC⊥平面C1D1G？并说明理由．

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18．（11分）正四棱锥S﹣ABCD的展开图如图所示，侧棱SA长为1，记∠ASB=α，其表面积记为f（α），体积记为g（α）．

（Ⅰ）求f（α）的解析式，并直接写出α的取值范围； （Ⅱ）求数；

（Ⅲ）试判断

是否存在最大值，最小值？（写出结论即可） ，并将其化简为

的形式，其中a，b，c为常

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2017-2018学年北京市海淀区高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（4分）sin18°cos12°+cos18°sin12°=（ ） A．﹣

B．﹣ C．

D．

【分析】根据题意和两角和的正弦函数化简，由特殊角的三角函数值求值． 【解答】解：sin18°cos12°+cos18°sin12° =sin（18°+12°）=sin30°=， 故选：D．

【点评】本题考查两角和的正弦函数，以及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．

2．（4分）在△ABC中，已知a=3，b=4，A． B． C． D．1

【分析】利用正弦定理，即可求得sinA的值． 【解答】解：△ABC中，a=3，b=4，由正弦定理得，

=

，

，

，则sinA=（ ）

则sinA=故选：C．

=．

【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题．

3．（4分）函数f（x）=sinxcosx的最大值为（ ） A．1

B． C．

D．

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【分析】由二倍角公式可得函数y=sinxcosx=sin2x≤．

【解答】解：由于函数y=sinxcosx=sin2x，而sin2x的最大值等于1，故函数y的最大值等于， 故选：B．

【点评】本题考查二倍角公式，正弦函数的值域，是一道基础题．

4．（4分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，那么该几何体的

体积为（ ）A．3

B．6

C．

D．12

【分析】由几何体的三视图得出原几何体一个底面为正方形的正四棱柱，结合图中数据求出它的体积．

【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个底面为正方形的直四棱柱， 正四棱柱的底面正方形的对角线长为2，高是3； 所以，底面正方形的边长为：该长方体的体积为：故选：B．

【点评】本题考查了由几何体的三视图求表面积的应用问题，也考查了空间想象能力和逻辑思维能力，是基础题．

5．（4分）如图，飞机飞行的航线AB和地面目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行10千米到达B处，测得目标C的俯角为75°，这时B处与地面目标C的距离为（ ）

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， =6．

A．5千米 B．千米 C．4千米 D．千米

【分析】由题意，利用正弦定理即可求得BC的值．

【解答】解：由题意知，在△ABC中，AB=10，∠BAC=30°，∠ACB=75°﹣30°=45°， 由正弦定理得

=

，

解得BC==5．

∴B处与地面目标C的距离为5故选：B．

千米．

【点评】本题考查了利用正弦定理解答实际应用问题，是基础题．

6．（4分）如图1，直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE和平面CDEF不重合

）

下

面

说

法

正

确

的

是

（

）

A．存在某一位置，使得CD∥平面ABFE B．存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE C．在翻折的过程中，BF∥平面ADE恒成立 D．在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF恒成立

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【分析】在A中，CD与EF相交，从而CD与平面ABFE相交；在B中，DE与EF不垂直，从而不存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE；在C中，DE∥CF，从而在翻折的过程中，BF∥平面ADE恒成立；在D中，BF与FE不垂直，在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF不一定成立．

【解答】解：在A中，∵四边形DEFC是梯形，DE∥CF，∴CD与EF相交， ∴CD与平面ABFE相交，故A错误； 在B中，∵四边形DEFC是梯形，DE⊥CD，

∴DE与EF不垂直，∴不存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE，故B错误； 在C中，∵四边形DEFC是梯形，DE∥CF，CF?平面ADE，DE?平面ADE， ∴在翻折的过程中，BF∥平面ADE恒成立，故C正确； 在D中，∵四边形ABFE是梯形，AB⊥BF，

∴BF与FE不垂直，在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF不一定成立，故D错误． 故选：C．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

7．（4分）在△ABC中，A＜B＜C，则下列结论中不正确的是（ ） A．sinA＜sinC B．cosA＞cosC C．tanA＜tanB D．cosB＜cosC

【分析】利用三角形中大角对大边可得a＜c，再利用特殊值判断可得结论． 【解答】解：∵△ABC中，A＜B＜C，利用大角对大边，可得a＜c． 不妨C为钝角，则B是锐角，cosB＞0，cosC＜0， 所以cosB＜cosC不成立． 故选：D．

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【点评】本题主要考查三角形中大角对大边，特殊值判断法的应用，属于基础题．

8．（4分）在△ABC中，若AC=2，∠B=60°，∠A=45°，点D为AB边上的动点，则下列结论中不正确的是（ ） A．存在点D使得△BCD为等边三角形 B．存在点D使得C．存在点D使得D．存在点D使得CD=1

【分析】运用三角形的正弦定理和三角形的内角和定理、边角关系，结合正弦函数的性质，对选项一一判断，即可得到结论．

【解答】解：若△BCD为边长为x的等边三角形，可得

=

解得x=

＜2，

满足AC＞CD，则A成立； cos∠CDA=＜=cos60°， 且0°＜∠CDA＜180°， 可得∠CDA＞B，

AB上存在点D，则B成立；

，可得

可得sin∠BCD=则C成立；

若CD=1，在△ACD中可得

=

，

=

=

，

，即有∠BCD=45°＜∠BCA=75°，

可得sin∠ADC=则D不成立． 故选：D．

=＞1，∠ADC不存在，

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【点评】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9．（4分）计算：cos215°﹣sin215°= ．

【分析】由二倍角的余弦公式可得 cos215°﹣sin215°=cos30°，从而得到结果． 【解答】解：由二倍角的余弦公式可得， cos215°﹣sin215°=cos30°=故答案为：

．

．

【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，考查特殊角的三角函数值，属于基础题．

10．（4分）已知

，则tanα的值为 ．

【分析】由题意利用二倍角的正切公式，求得tanα的值．

【解答】解：∵已知，则tanα===﹣，

故答案为：﹣．

【点评】本题主要考查二倍角的正切公式的应用，属于基础题．

11．（4分）已知正四棱柱底面边长为1，高为2，则其外接球的表面积为 6π ． 【分析】通过正四棱柱的对角线就是外接球的直径，求出直径即可求出球的表面积．

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【解答】解：正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的直径，就是正四棱柱的对角线的长， 所以球的直径为：所以球的表面积为：4π（ 故答案为：6π．

【点评】本题是基础题，考查球的内接体的特征与球的关系，考查计算能力、空间想象能力．

12．（4分）在△ABC中，已知A=60°，

，b=3，则c= 1或2 ．

=

，

）2=6π．

【分析】利用余弦定理列方程求得c的值，再验证c的值是否满足题意即可． 【解答】解：△ABC中，A=60°，则a2=b2+c2﹣2bccosA， ∴7=9+c2﹣3c， 解得c=1或c=2；

经验证，c=1或c=2都满足题意， ∴c的值为1或2． 故答案为：1或2．

【点评】本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题．

13．（4分）若α，β均为锐角，且满足是

．

，

，则sinβ的值

，b=3，

【分析】由已知及角的范围，利用同角三角函数基本关系式可求sinα，sin（α+β）的值，利用两角差的正弦函数公式即可化简求值． 【解答】解：∵锐角α、β满足cosα=，cos（α+β）=， ∴sinα=

=，

=，

=

．

∴α+β∈（0，π），sin（α+β）=

∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=×﹣

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